加權(quán)馬爾可夫模型在企業(yè)景氣指數(shù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

王燕茹，王凱凱

（江南大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214000）

0 引言

企業(yè)景氣指數(shù)越來(lái)越受到各領(lǐng)域研究的重視，通過科學(xué)分析和預(yù)測(cè)指數(shù)未來(lái)波動(dòng)變化，不僅可以從微觀角度指導(dǎo)企業(yè)明晰行業(yè)趨勢(shì)，預(yù)先提出應(yīng)對(duì)解決策略；而且對(duì)于輔助國(guó)家統(tǒng)計(jì)部門科學(xué)準(zhǔn)確地進(jìn)行預(yù)測(cè)具有重要的宏觀現(xiàn)實(shí)意義。因此，我國(guó)不僅將景氣調(diào)查作為統(tǒng)計(jì)工作的一項(xiàng)重要內(nèi)容，還將其作為判定整個(gè)經(jīng)濟(jì)景氣狀況的重要參數(shù)。

現(xiàn)有預(yù)測(cè)企業(yè)景氣指數(shù)的方法并不豐富，根據(jù)目前參考文獻(xiàn)，學(xué)術(shù)研究通常使用的預(yù)測(cè)算法和數(shù)學(xué)模型有：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、粗糙集（RS）、遺傳算法（GA）以及支持向量機(jī)（SVM）等。本文選用另外一種預(yù)測(cè)模型——加權(quán)馬爾可夫模型對(duì)企業(yè)景氣指數(shù)預(yù)測(cè)，并通過案例論證此模型的可行性和實(shí)用性。

1 加權(quán)馬爾可夫模型

馬爾可夫模型作為分析及預(yù)測(cè)未來(lái)趨勢(shì)發(fā)展可能性的一種統(tǒng)計(jì)方法具有無(wú)后效性的特征。即序列是一個(gè)隨機(jī)過程，且計(jì)算得到的各時(shí)刻所處的狀態(tài)與時(shí)刻之前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。

馬爾可夫鏈：假設(shè)存在概率空間(K，F(xiàn)，P )上的隨機(jī)序列，其中設(shè)時(shí)間序列為，狀態(tài)空間。如果對(duì)任意非負(fù)整數(shù) 1，m，k

并且式（1）左端要有意義，即假定：

不能為零，但在實(shí)際的應(yīng)用過程中，通常情況下會(huì)令式（1）的右端：

通常只考慮齊次，也就是對(duì)任意的m，k∈T，有：

式（4）中，pij(m，k)表示是在時(shí)間m時(shí)刻處于狀態(tài)i，然后經(jīng)過了k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移到了狀態(tài) j的概率。同理，當(dāng)m=1時(shí)，即 pij(k)表示為從狀態(tài)i經(jīng)過k步狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，到達(dá)狀態(tài) j的概率，并且與初始的時(shí)刻無(wú)關(guān)。齊次的馬氏鏈僅由初始狀態(tài)分布以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣決定。

加權(quán)馬爾可夫模型的建立分以下幾個(gè)步驟：

（1）確定指數(shù)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)。即為狀態(tài)空間S，確定對(duì)應(yīng)的狀態(tài)值。

（2）計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)。這里用rk表示相關(guān)系數(shù)。

（3）歸一化自相關(guān)系數(shù)。代表各滯時(shí)的馬氏鏈權(quán)重，其中m是結(jié)合實(shí)際情況需要的最大階數(shù)，一般取5。然后按照升序排列，建立不同的步長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的馬氏鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

（4）分別按照之前某季度的景氣指數(shù)作為初始狀態(tài)，再結(jié)合對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣便可以預(yù)測(cè)到未來(lái)某季度的狀態(tài)概率值，其中i∈E ，k=1，2，…，m,k為滯時(shí)（即步長(zhǎng)）。

（5）最后由不同滯時(shí)權(quán)重wk與每個(gè)狀態(tài)的概率，求得加權(quán)和將預(yù)測(cè)概率歸一化，計(jì)算狀態(tài)特征值其中T為調(diào)整因子，這里取T為1。然后再將實(shí)際值納入數(shù)據(jù)列，重復(fù)以上步驟，即可預(yù)測(cè)xi+1的企業(yè)景氣指數(shù)。

（6）根據(jù)馬氏鏈平穩(wěn)分布、遍歷性特點(diǎn)，進(jìn)一步計(jì)算極限分布Pi，以及每個(gè)狀態(tài)再現(xiàn)期Ti，其中

2 基于加權(quán)馬爾可夫模型的企業(yè)景氣指數(shù)預(yù)測(cè)

以北京市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)年鑒提供的1999—2013年共60個(gè)季度的企業(yè)景氣指數(shù)序列為例，分析并進(jìn)行預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)明此方法預(yù)測(cè)在實(shí)際具體應(yīng)用中產(chǎn)生的效果情況。企業(yè)景氣指數(shù)資料如表1所示。

表1 北京市1999—2013年60個(gè)季度企業(yè)景氣指數(shù)序列以及對(duì)應(yīng)的狀態(tài)

下文主要分析此模型在實(shí)際應(yīng)用中產(chǎn)生的效果是否與實(shí)際數(shù)據(jù)處在同一狀態(tài)內(nèi)，即是否準(zhǔn)確實(shí)用以及誤差率。首先以1999年第一季度至2013年第二季度共58個(gè)季度的景氣指數(shù)預(yù)測(cè)2013年第三季度的指數(shù)。如果結(jié)果一致，再把2013年第三季度的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)資料加入以上序列中，然后預(yù)測(cè)2013年第四季度的指數(shù)狀態(tài)。

（1）“馬氏性”檢驗(yàn)

在對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)前，需要先進(jìn)行“馬氏鏈”檢驗(yàn)。一般采用χ2統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)。

設(shè)企業(yè)景氣指數(shù)隨機(jī)序列的分布狀態(tài)處在m個(gè)狀態(tài)，然后求得邊際概率，得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣邊際概率。其中，當(dāng) n的數(shù)值充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)量χ2計(jì)算如式（7）所示。

根據(jù)所求得的以上兩者所對(duì)應(yīng)邊際概率表以及統(tǒng)計(jì)量 χ2值，參照表2和表3的結(jié)果。

表2 邊際概率值

表3 統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值

結(jié)果表明，求得的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值 χ2是74.2192，根據(jù)給定的顯著性水平α取0.05，根據(jù)查表可得到分位點(diǎn)的數(shù)值。很顯然，統(tǒng)計(jì)量值遠(yuǎn)大于分位點(diǎn)數(shù)值，因此可認(rèn)為該企業(yè)景氣指數(shù)序列具有“馬氏性”。

（2）狀態(tài)區(qū)間劃分方法

在景氣指數(shù)預(yù)測(cè)前期，指數(shù)狀態(tài)確定是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)的復(fù)雜性，劃分區(qū)間較為麻煩，其中涉及模糊理論的概念。參考文獻(xiàn)中在確定指數(shù)狀態(tài)等級(jí)時(shí)可以采用的方法主要有經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)、有序聚類、模糊聚類、數(shù)理統(tǒng)計(jì)（3σ法）等，本文中運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)法確定狀態(tài)。

經(jīng)過計(jì)算，該序列（1999年第一季度至2013年第四季度）的企業(yè)景氣指數(shù)均值=130.34。根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局對(duì)企業(yè)景氣指數(shù)具體劃分的標(biāo)準(zhǔn)確定序列的級(jí)別，通常將序列劃分成5個(gè)級(jí)別，對(duì)應(yīng)馬氏鏈的5個(gè)狀態(tài)（見表4）。

表4 企業(yè)景氣指數(shù)分級(jí)

依照表4中已確定的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，將表1中的每個(gè)季度的景氣指數(shù)狀態(tài)對(duì)號(hào)入座，然后計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)rw與不同步長(zhǎng)時(shí)的馬爾可夫鏈權(quán)重wk，結(jié)果如表5所示。

表5 各階自相關(guān)系數(shù)與各個(gè)步長(zhǎng)時(shí)的馬爾可夫鏈的權(quán)重

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算

經(jīng)過計(jì)算，可以求得不同步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，取最大步長(zhǎng)為5，即：

（4）計(jì)算預(yù)測(cè)值

依據(jù)1999年第一季度至2013年第二季度的企業(yè)景氣指數(shù)以及對(duì)應(yīng)的各步長(zhǎng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)2013年第三季度的景氣指數(shù)所處的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)步驟及結(jié)果如表6所示。

由表6可知，求得的狀態(tài)特征值S=3.0089，這就可以說(shuō)明2013年第三季度的企業(yè)景氣指數(shù)處于狀態(tài)3（較為景氣），而實(shí)際調(diào)查統(tǒng)計(jì)的企業(yè)景氣指數(shù)為126，也處于狀態(tài)3（較為景氣）區(qū)間，所以可以認(rèn)為與實(shí)際情況基本符合。同理，將第三季度的實(shí)際值加入到資料序列中，預(yù)測(cè)2013年第四季度的企業(yè)景氣指數(shù)所在的狀態(tài)，預(yù)測(cè)結(jié)果見表7。

表6 2013年第三季度企業(yè)景氣指數(shù)預(yù)測(cè)

表7 2013年第四季度企業(yè)景氣指數(shù)預(yù)測(cè)

由表7求得的狀態(tài)特征值S=3.0058，即預(yù)測(cè)的企業(yè)景氣指數(shù)也是狀態(tài)3（較為景氣），并且2013年第四季度的實(shí)際景氣指數(shù)為124.1，所以與實(shí)際情況基本上符合。這充分表明將加權(quán)馬爾可夫這一模型應(yīng)用于預(yù)測(cè)企業(yè)景氣指數(shù)還是有效可行的。

（5）馬爾可夫鏈的特征分析

最后根據(jù)馬氏鏈具有的自身特征，對(duì)其進(jìn)行分析：因?yàn)槠髽I(yè)景氣指數(shù)的5個(gè)狀態(tài)之間是相通的，即i?j(i≠j，且i，j∈I )，即遍歷性；無(wú)周期規(guī)律，即非周期性的；可以構(gòu)成完整的封閉集合，即狀態(tài)空間，所以是不可約鏈。所有的狀態(tài)之間在有限狀態(tài)集合可以正常返，具有遍歷性的特點(diǎn)，所以根據(jù)其遍歷性的定理。在此可以計(jì)算極限分布，由以下給出的方程式組求極限分布：

以步長(zhǎng)為3（相依性最強(qiáng)）的馬爾可夫鏈進(jìn)行特征分析，應(yīng)用式（9）可以求得極限分布值：p1=0.02837，p2=0.08780，p3=0.06134，p4=0.042066以及 p5=0.06730由極限分布便可求出每個(gè)狀態(tài)的再現(xiàn)期；應(yīng)用公式，每個(gè)狀態(tài)的再現(xiàn)期為：T1=35.246，T2=11.389，

3 結(jié)論

本文通過近14年的企業(yè)景氣指數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，企業(yè)景氣指數(shù)處在中度景氣次數(shù)最多，平均2.377個(gè)季度出現(xiàn)一次，概率為0.42066，可能性最大；出現(xiàn)最少的是不景氣區(qū)間，平均35.246個(gè)季度出現(xiàn)，概率為0.02837，可能性最小。

加權(quán)馬爾可夫模型預(yù)測(cè)與實(shí)際結(jié)果幾乎一致，但因?yàn)椴捎脭?shù)學(xué)模型較為單一，預(yù)測(cè)結(jié)果仍存在不足和缺陷，預(yù)測(cè)過程不夠全面深入，需要進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)模型。

（1）本文區(qū)間分級(jí)采用樣本均方差法，該方法適合數(shù)據(jù)信息較大，使用范圍廣泛，計(jì)算簡(jiǎn)單方便。除此之外，還有有序聚類、模糊聚類等描述數(shù)值的變化區(qū)間，常用的有序聚類有Fisher算法等，至于哪種方法更優(yōu)越，還有待深入研究。

（2）在今后的研究中，可以考慮加權(quán)馬爾可夫模型與其他方法組合混合模型。比如支持向量機(jī)（SVM），基于SVM在數(shù)據(jù)挖掘和分類方面有良好的擬合能力，在時(shí)間序列預(yù)測(cè)被多次采用。還可以結(jié)合其他數(shù)學(xué)模型，比如ARMA模型、ANN模型、SCGM（1,1）模型、灰色模型、粗糙集等。綜合各模型優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，尋找一種在企業(yè)景氣指數(shù)預(yù)測(cè)最優(yōu)的混合模型。

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