未決賠款準(zhǔn)備金評估Clark方法及R實(shí)現(xiàn)

閆春，劉倩，劉偉

（山東科技大學(xué)a.數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院；b.計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，山東青島266590）

0 引言

未決賠款準(zhǔn)備金的提存對非壽險保險公司至關(guān)重要，其評估的精度將顯著影響保險公司的業(yè)績和經(jīng)營的風(fēng)險。隨著時代的發(fā)展，相關(guān)研究逐漸的深入，未決賠款準(zhǔn)備金評估的重點(diǎn)已從點(diǎn)估計轉(zhuǎn)移到估計波動性與估計區(qū)間等其他統(tǒng)計特征。對原有確定性方法進(jìn)行隨機(jī)化改進(jìn)，以便對準(zhǔn)備金的損失過程建立隨機(jī)模型，這種思路已經(jīng)成為了如今準(zhǔn)備金評估模型研究的主流[1-6]。本文研究的隨機(jī)性方法基于Clark(2003)[7]，文中提出以最終賠付進(jìn)展因子倒數(shù)的變化曲線模擬索賠損失進(jìn)展趨勢，建立隨機(jī)模型并應(yīng)用最大似然法求參數(shù)估計。該方法是一種能夠?qū)α髁咳切蔚乃髻r進(jìn)展趨勢進(jìn)行模擬的隨機(jī)性方法，因此能夠合理估計隨機(jī)模型下的尾部因子，這一點(diǎn)是離散參數(shù)的隨機(jī)模型(如廣義線性模型)所不具備的。

本文首先介紹了Clark的建模思路與方法，給出該方法的模型結(jié)構(gòu)與預(yù)測誤差的計算公式。在保持原模型與結(jié)構(gòu)誤差不變的基礎(chǔ)上，引入Bootstrap法，對樣本與模型擬合值的殘差進(jìn)行重復(fù)抽樣，從數(shù)值模擬的角度來度量模型參數(shù)誤差的真值，給出Bootstrap法下模型評估未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測誤差。最后，運(yùn)用R軟件將原方法的預(yù)測誤差與Bootstrap法下的預(yù)測誤差進(jìn)行比較了算例的比較與分析。

1 Clark方法

1.1 Clark方法的基本假設(shè)

Clark建立的模型由兩部分構(gòu)成，一個是利用函數(shù)曲線對索賠損失的進(jìn)展趨勢做出合理的模擬；一個是假設(shè)每個進(jìn)展期內(nèi)發(fā)生的索賠是隨機(jī)變量。即假設(shè)損失過程滿足：

（1）各事故年累計索賠期望損失率的進(jìn)展趨勢均滿足函數(shù)曲線G的表達(dá)式；

（2）增量索賠損失相互獨(dú)立，同分布。

1.1.1 進(jìn)展趨勢的模擬曲線各事故年的索賠損失進(jìn)展趨勢曲線函數(shù)可表示為：

式(1)中LDFj即為同一事故年、不同進(jìn)展年的最終賠付進(jìn)展因子，即n為該事故年的最終進(jìn)展年，且當(dāng)j=n時，LDFn=1。所以有G(j)∈[0，1] j=1，…，n。不難發(fā)現(xiàn)，G(j)即是第j進(jìn)展年時累計已決賠款占最終賠款的比例。

Clark參考Sherman(1984)[8]中運(yùn)用反冪函數(shù)曲線擬合索賠損失進(jìn)展趨勢的結(jié)果，結(jié)合常用分布曲線的尾部特征，決定使用Loglogistic分布函數(shù)曲線與Weibull分布函數(shù)曲線。

采用Loglogistic曲線，有：

同理，Weibull曲線的表達(dá)式為：

1.1.2 增量索賠損失的分布假設(shè)

設(shè)事故年i在第j個進(jìn)展年的增量已決賠款Ci，j(1≤i≤I，1≤j≤J)為隨機(jī)變量，其相互獨(dú)立，服從過度分散泊松分布，則有：

其中μij表示為事故年i在第j進(jìn)展年間增量索賠損失的期望值，φ為OPD的散度參數(shù)，使用經(jīng)調(diào)整的Pearson殘差對其進(jìn)行估計，其估計量為：

式(2)中p為模型參數(shù)個數(shù)，n為樣本觀察值。

做出兩個假設(shè)后，還需求得各事故年的最終損失期望，才能夠得到未來各個進(jìn)展期索賠額的估計。Clark提出了分別基于LDF法與CapeCod法的思路利用最大似然法估計各事故年的最終損失，并建立了兩種不同的評估模型。

1.2 LDF模型

LDF模型假設(shè)各事故年索賠的最終損失是相互獨(dú)立的，增量索賠損失的期望表示為：

模型(3)中共有參數(shù)n+2個，其中包括n個事故年最終損失參數(shù)ULTi，兩個模擬曲線參數(shù)ω，θ。

構(gòu)建該模型的似然函數(shù)。由于增量已決賠款Ci，j相互獨(dú)立，服從ODP分布（同負(fù)二項分布），以增量已決賠款流量三角形為數(shù)據(jù)樣本，其對數(shù)似然函數(shù)為：

式(4)中的散度參數(shù)φ假設(shè)為未知常數(shù)。

對該模型進(jìn)行極大似然估計（MLE）等同于對下式求極大：

將式(3)代入式(5)，得到：

假設(shè)的擬合曲線不同，曲線參數(shù)ω與θ的MLE估計表達(dá)式也不同，這里不再詳細(xì)給出。

1.3 Cape Cod模型

CapeCod模型假設(shè)歷史時期內(nèi)各事故年索賠的最終損失存在一定的聯(lián)系，不妨認(rèn)為各事故年的期望賠付率相同，即各事故年的已賺純保費(fèi)與最終損失期望的比值相同。其模型為：

模型(8)中只有3個參數(shù)，分別為期望賠付率ELR和兩個擬合曲線參數(shù)ω，θ。

構(gòu)建該模型的似然函數(shù)。同LDF模型，其對數(shù)似然函數(shù)為式(4)。因此，對Cape Cod模型進(jìn)行極大似然估計也等同于對式(5)求極大。

將式(8)代入式(5)，得到：

這里，ω與θ的MLE估計也不再詳細(xì)給出。

求得各參數(shù)的MLE估計后，就可以得到增量已決賠款Ci，j的期望μij，總未決賠款準(zhǔn)備金即為：

1.4 Clark方法的預(yù)測誤差

隨機(jī)模型的預(yù)測誤差（MSEP）為：

由式(12)可知，預(yù)測誤差由過程誤差與參數(shù)誤差組成：過程誤差是由隨機(jī)假設(shè)部分造成，參數(shù)誤差由曲線擬合部分造成。

在Clark方法下，考慮增量已決賠款Ci，j相互獨(dú)立且服從過度分散泊松分布，則各模型的過程誤差均為：

對于參數(shù)估計誤差的計算，Clark使用Cramer-Rao信息不等式得到參數(shù)無偏估計的方差下界。

LDF方法下，F(xiàn)isher信息矩陣為：

那么，參數(shù)估計的協(xié)方差矩陣滿足：

其中：

那么，其參數(shù)估計的協(xié)方差矩陣滿足：

這樣就得到了Clark方法下模型參數(shù)誤差的度量，從而也就得到了預(yù)測誤差。

這里應(yīng)該指出，CapeCod模型與LDF模型比，參數(shù)誤差會比較小?？紤]包含10個事故年的流量三角形，運(yùn)用CapeCod模型只需對3個參數(shù)進(jìn)行估計，而LDF模型需要估計12個參數(shù)，因此LDF模型可能存在過度參數(shù)化的問題。

此時，本文得到的是參數(shù)無偏估計的方差下界，且當(dāng)參數(shù)估計為一致最小方差無偏估計(UMVUE)時，方差就能夠達(dá)到這個下界。但是這里必須要說明，Clark方法使用的MLE估計只是漸進(jìn)無偏的，因此在樣本容量不大的情況下，該方差下界只能作為一種近似的下界。這個近似的下界就作為Clark方法下模型參數(shù)誤差的一個度量，最后將過程誤差與其相加即得到Clark方法下模型的預(yù)測誤差。

2 Bootstrap法在Clark方法中的應(yīng)用

2.1 Bootstrap法模擬預(yù)測分布

依據(jù)Bjorkwall(2009，2011)[9,10]使用Bootstrap法給出未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測分布的具體方法，應(yīng)用參數(shù)Bootstrap法模擬Clark方法下準(zhǔn)備金預(yù)測分布的基本思路為：

（1）在給定的增量已決賠款流量三角形數(shù)據(jù)樣本下，按照Clark方法的建模思路求出模型參數(shù)的MLE估計，如LDF模型中的{，，進(jìn)而得到{Ci，j}的擬合值與預(yù)測值，如：

（2）計算分散參數(shù)φ，參考Clark方法中φ的估計，具體見（1）式。

（3）Clark方法中假設(shè)增量賠款額Ci，j服從ODP分布，因此，將第（1）步中的{Ci，j}的上三角形擬合值視為增量賠款隨機(jī)變量Ci，j的均值，從均值為、方差為的ODP分布中抽取隨機(jī)數(shù)，作為擬增量已決賠款流量三角形(i+j≤I)，然后在利用模型得到模擬數(shù)據(jù)下參數(shù)的MLE估計的預(yù)測值，如：

（5）多次Bootstrap再抽樣，可得到總未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布的多次模擬，其樣本點(diǎn)分布即為Bootstrap抽樣下得到的總未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布。均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)等相關(guān)分布度量都可以在樣本點(diǎn)分布中求得?？紤]到一般情況下，抽樣10000次即可獲得較滿意的結(jié)果。

2.2 Bootstrap法估計預(yù)測誤差

應(yīng)用Bootstrap法求Clark方法的預(yù)測誤差，實(shí)際上是用Bootstrap抽樣數(shù)值模擬模型的參數(shù)誤差。由式(13)，隨機(jī)模型的預(yù)測誤差為過程誤差與參數(shù)誤差之和，過程誤差的計算見式(14)。

對于Bootstrap法求模型的參數(shù)誤差，直接利用上文中的參數(shù)Bootstrap法計算未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測分布過程中的結(jié)果。在多次重復(fù)抽樣過程中，可以得到一系列未決賠款準(zhǔn)備金的均值估計，Bootstrap法數(shù)值模擬的參數(shù)誤差就是多次抽樣得到的未決賠款準(zhǔn)備金均值估計的方差(張連增(2008)[11])。

因此，Bootstrap法估計Clark方法的預(yù)測誤差為：

相對于Clark根據(jù)信息不等式給出模型預(yù)測誤差的一個近似下界，Bootstrap法則是利用統(tǒng)計推斷對模型進(jìn)行多次仿真來給出預(yù)測誤差的數(shù)值模擬。應(yīng)該說，這兩種方法是各具優(yōu)勢的。由于Clark方法的參數(shù)估計不滿足信息不等式的使用條件，原方法給出的預(yù)測誤差只是一個真值取值的近似下界，因此本文引入Bootstrap法給出參數(shù)誤差的數(shù)值模擬，這樣可以從另一個角度給出預(yù)測誤差真值的度量，使得精算人員對Clark方法下模型的預(yù)測誤差有更準(zhǔn)確的認(rèn)識。

3 實(shí)證分析

本文利用Taylor&Ashe(1983)[12]文中的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行實(shí)證分析。該樣本在張連增[3]、Clark[7]等學(xué)者的文中均被引用為算例，其每一事故年的索賠進(jìn)展趨勢都比較平穩(wěn)，利于分析。具體樣本數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 累計已決賠款額流量三角形

使用R軟件中ChainLadder程序包，即得到樣本下LDF模型與CapeCod模型的相關(guān)估計結(jié)果。由于CapeCod模型的建立需要各事故年已賺純保費(fèi)數(shù)據(jù)，因此參考Clark的處理方法：在該流量三角形數(shù)據(jù)樣本下，假設(shè)各事故年已賺純保費(fèi)是線性遞增的，滿足：Pi=10000000+400000×(i-1) i=1，…，10。Clark方法能夠模擬索賠損失的進(jìn)展趨勢，在僅有10年索賠數(shù)據(jù)的情況下，也可利用曲線外推得到最終賠付損失。考慮未來的不確定性，本文對每個模型都外推10年。各模型估計結(jié)果見表2所示。

表2 Clark方法下各模型的參數(shù)及誤差估計

觀察同一模型下不同曲線擬合的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)Loglogistic曲線下的準(zhǔn)備金、預(yù)測誤差都比Weibull曲線的大。造成這種情況的主要原因是因為Loglogistic分布是重尾分布，而Weibull分布的尾部較Loglogistic分布“薄”。雖然精算人員在評估未決賠款準(zhǔn)備金時都比較保守，但是Loglogistic曲線模型也有其研究意義。由于未來的不確定性，任何合理假設(shè)建立的評估模型都有其參考價值。精算人員在預(yù)感到未來可能會出現(xiàn)大量理賠的情況下，使用Loglogistic這樣的重尾分布曲線就非常合理。

觀察兩個模型的過程誤差，可以發(fā)現(xiàn)LDF模型與CapeCod模型大致相同。對于參數(shù)誤差方面，LDF模型則比CapeCod模型大了許多。這可能是因為CapeCod模型建模時使用了更多的索賠信息數(shù)據(jù)，有效降低了參數(shù)誤差。因此，盡可能多的將索賠信息考慮進(jìn)模型中對減少模型的預(yù)測誤差、提高評估精度是十分有效的，從最后的CV值情況來看也支持這個結(jié)果。但是我們同樣也不能認(rèn)定CapeCod模型要優(yōu)于LDF模型，因為兩者建模時利用的信息不對等，CapeCod模型的估計結(jié)果優(yōu)于LDF模型在一定程度上是必然的。而且，相對于CapeCod模型，LDF模型的建立更具有一般意義，該模型是以鏈梯法思想為基礎(chǔ)，可以與其他基于鏈梯法思想的隨機(jī)模型進(jìn)行比較分析，體現(xiàn)Clark方法的特點(diǎn)。

運(yùn)用Bootstrap抽樣，得到的各模型參數(shù)Bootstrap法下參數(shù)誤差及MSEP見表3所示。

表3 Bootstrap法下各模型的估計誤差

從表3可以看出，各模型Bootstrap法下的參數(shù)誤差與MSEP大小的排序與信息不等式給出的結(jié)論是一致的：采用Weibull曲線的模型比Loglogistic曲線模型的誤差要??；CapeCod模型的預(yù)測誤差比LDF模型的要小。

圖1 參數(shù)Bootstrap法下各模型評估未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布

圖1給出的是利用參數(shù)Bootstrap法模擬得到的Clark方法下四個模型評估總未決賠款準(zhǔn)備金的完整預(yù)測分布，其對應(yīng)的分布特征見下頁表4。在大量重復(fù)抽樣的情況下，總未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布呈漸進(jìn)正態(tài)，本文分別給出了對應(yīng)的正態(tài)分布曲線，各模型的預(yù)測分布曲線對比見下頁圖2。

表4 參數(shù)Bootstrap法下未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測分布的分布特征

圖2 各模型評估未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布擬合曲線的比較

4 結(jié)論

本文研究了未決賠款準(zhǔn)備金評估的Clark方法，并在此基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的探討。Clack方法利用分布函數(shù)曲線來模擬索賠損失的進(jìn)展趨勢，在假設(shè)增量已決（已報案）賠款服從過度分散泊松分布的情況下，使用最大似然法對各事故年最終損失和分布曲線中的參數(shù)進(jìn)行估計，并利用信息不等式給出預(yù)測誤差的近似下界。該方法是一種可以對損失進(jìn)展趨勢進(jìn)行模擬并估計尾部因子的隨機(jī)性評估方法，這是該方法的獨(dú)特之處，也是本文研究該方法的主要原因?？紤]原方法中計算未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測誤差的方法有條件限制且過于復(fù)雜繁瑣，本文引入了Bootstrap法相關(guān)理論，從數(shù)值模擬的角度得到預(yù)測誤差的一個度量，并給出該方法下未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布。最后，本文對兩種方法做了理論與算例的比較，分析了各自的特點(diǎn)與優(yōu)勢。

[1] 張連增,段白鴿.準(zhǔn)備金評估的隨機(jī)性Munich鏈梯法及其改進(jìn)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)研究,2011,(11).

[2] 張連增,段白鴿.基于Bootstrap方法的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法及R實(shí)現(xiàn)[J].山西財經(jīng)大學(xué)學(xué)報,2011,33(4).

[3] 張連增,段白鴿.基于GLM的未決賠款準(zhǔn)備金評估的隨機(jī)性鏈梯法[J].財經(jīng)理論與實(shí)踐,2012,33(1).

[4] Martinez M D,Nielsen J P,and Verrall R J.Double Chain Ladder[J].ASTIN Bulletin,2012,42(1).

[5] Martinez M D,Nielsen J P,and Verrall R J.Double Chain Ladder and Bornhutter-Ferguson[J].North American Actuarial Journal,2012,16(2).

[6] 錢晗.改進(jìn)Bootstrap方法在未決賠款準(zhǔn)備金估計中的應(yīng)用[D].吉林：吉林大學(xué)碩士論文,2014.

[7] Clark D R.LDF Curve-Fitting and Stochastic Reserving:A Maximum Likelihood Approach[J].CAS Forum,2003,(3).

[8] Sherman R.Extrapolating Smoothing and Interpolating Development Factors[C].Proceedings of the Casualty Actuarial Society,1984.

[9] Bjorkwall S,Hossjer O,Ohlsson E.Non-parametric and Parametric Bootstrap Techniques for Age-to-Age Development Factor Methods in Stochastic Claims Reserving[J].Scandinavian Actuarial Journal,2009,(4).

[10] Bjorkwall S,Hossjer O,Verrall R J.A Generalized Linear Model With Smoothing Effects for Claims[J].Insurance:Mathematics and Economics,2011,49(1).

[11] 張連增.未決賠款準(zhǔn)備金評估的隨機(jī)性模型與方法[M].北京:中國金融出版社,2008.

[12] Taylor G,Ashe F R.Second Moments of Estimates of Outstanding Claims[J].Journal of Econometrics,1983,(23).