廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型及其參數(shù)估計(jì)

殷亮，王維國(guó)

（1.大連民族大學(xué)理學(xué)院與預(yù)科教育學(xué)院，遼寧大連116650；2.東北財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧大連116025）

0 引言

在實(shí)證分析中，當(dāng)假設(shè)被解釋變量的分布為連續(xù)型正態(tài)分布的情況時(shí)，得到經(jīng)典的線性的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，此時(shí)模型的預(yù)測(cè)精度很高。然而，Escribano[1]表明線性的假定過(guò)于嚴(yán)格，從大量的經(jīng)濟(jì)理論和經(jīng)濟(jì)實(shí)證中發(fā)現(xiàn)，變量之間的關(guān)系不都是線性的，Gonzalo等[2]指出，使用經(jīng)典計(jì)量方法研究變量之間的非線性關(guān)系時(shí)，往往得出錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，基于方法論的拓展和實(shí)證分析的需要，學(xué)者們將非線性引入到計(jì)量模型當(dāng)中，不僅為計(jì)量模型的發(fā)展提供了一個(gè)方向，也成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的前沿?zé)狳c(diǎn)問(wèn)題。

有關(guān)非線性回歸模型的研究，很多成果可以借鑒。從McCullagh和Nelder[3]出版了關(guān)于廣義線性模型（Generalized Linear Model,GLM）的著作以后，學(xué)者們通過(guò)各種變換構(gòu)造廣義線性模型對(duì)離散的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，為非線性模型的發(fā)展打下了良好的基礎(chǔ)。之后，GLM推廣到廣義線性混合效應(yīng)模型（Generalized Linear Mixed Model,GLMM），它既可以對(duì)來(lái)自非正態(tài)分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，同時(shí)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)和縱向數(shù)據(jù)模型的內(nèi)在相關(guān)性也可以通過(guò)隨機(jī)效應(yīng)來(lái)刻畫，有關(guān)廣義線性模型的估計(jì)方法，McCulloch[4]采用了Monte Carlo Expectation Maximization（MCEM）方法去分析廣義線性混合效應(yīng)模型和廣義線性固定效應(yīng)。

半?yún)?shù)廣義線性（SGLM）模型是非線性回歸的另一個(gè)研究方向，半?yún)?shù)模型的參數(shù)部分表示變量間比較確定的線性關(guān)系，非參數(shù)部分表示不確定的部分。同時(shí)此模型假設(shè)被解釋變量的條件概率分布屬于指數(shù)分布族，為離散數(shù)據(jù)及屬性數(shù)據(jù)的分析提供了較好的研究方法。

本文結(jié)合Lombardia等[5]的廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合面板模型和Hunsberger[6]的廣義半?yún)?shù)時(shí)間模型，建立了廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型，其解釋變量包含非線性時(shí)間趨勢(shì)，為減少其對(duì)模型參數(shù)估計(jì)的影響，結(jié)合Robinson[7]和Lombardia等[5]的方法，給出模型的加權(quán)極大似然估計(jì)量及識(shí)別程序。

1 廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)趨勢(shì)面板模型

廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)模型一方面考慮被解釋變量來(lái)自指數(shù)分布族，另一方面通過(guò)假設(shè)解釋變量包含非線性時(shí)間趨勢(shì)，是半?yún)?shù)廣義線性模型的特例，也是半?yún)?shù)趨勢(shì)面板模型的推廣。其形式如下：

其中，i，t表示橫截面單元和時(shí)間維度，為了研究方便，本文的Yit是一維被解釋變量，Xit是已知解釋變量，β(...βd)T是d維未知參數(shù)向量，ft=f(t)，gt=g(t)是未知非線性時(shí)間趨勢(shì)函數(shù)。嚴(yán)格單調(diào)，充分光滑的函數(shù)G稱為聯(lián)系函數(shù)，給定(X，t，αi)時(shí)，Y的條件密度所對(duì)應(yīng)的σ測(cè)度設(shè)為指數(shù)族形式：

αi，xi是隨機(jī)效應(yīng)，這里假定αi～N(0，)，xi～N(0，，vit是平穩(wěn)的殘差序列，vit～N(0，并且限制eit～N(0，表示模型（1）殘差向量。同時(shí)假定：

在廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型中，Xit通過(guò)ηit=β+ft+αi的半?yún)?shù)形式與Yit建立聯(lián)系，且半?yún)?shù)ηit=β+ft+αi通過(guò)G與Yit的數(shù)學(xué)期望E(Yit|Xit)相連接，即E(Yit|Xit)=G-1(β+ft+αi)，當(dāng)G-1為指示函數(shù)時(shí)，則模型（1）和模型（2）變?yōu)榘雲(yún)?shù)趨勢(shì)隨機(jī)效應(yīng)面板模型。

2 廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)面板模型的加權(quán)似然估計(jì)

廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型估計(jì)的主要問(wèn)題是識(shí)別被解釋變量Yit和解釋變量Xit的關(guān)系，本文的模型估計(jì)方法是結(jié)合Robinson[7]的非參數(shù)趨勢(shì)面板模型的估計(jì)方法和加權(quán)極大似然估計(jì)方法[5]，涉及到極大似然函數(shù)的構(gòu)建問(wèn)題。因?yàn)橹笖?shù)分布族內(nèi)包含多種分布，被解釋變量的不同分布導(dǎo)致了極大似然函數(shù)的不同，所以本文分兩種情況寫出模型的估計(jì)方法，第一種是被解釋變量來(lái)自一般指數(shù)分布族，第二種是被解釋變量來(lái)自指數(shù)分布族的一種分布——指數(shù)分布。

2.1 被解釋變量來(lái)自指數(shù)分布族

為了表述方便，對(duì)模型中變量表示做如下規(guī)定：Y∈R，X∈Rp，t∈R，考慮αi是隨機(jī)影響因素，假設(shè)αi～N(0，σu2)，進(jìn)一步假設(shè)殘差項(xiàng)=，i=1，...，N，t=1，...，T，令θ=(，δ=(β，θ)，那么對(duì)于樣本Yit，Xit，t，(i=1，...,N，t=1，...,T)，Yit在Xit和t下的條件概率密度函數(shù)為：

其中，θit=Xitβ+ft+αi，Xβ是參數(shù)部分，ft=f(t)是非參部分，是充分光滑的函數(shù)，這里，Xit=gt+xi+vit，gt=g(t)也是充分光滑的函數(shù)，E(vit)=0p，E()=。

其中，qt=gtβ+ft是依賴于t的非參數(shù)部分，δ(β，αi)是依賴β，αi的參數(shù)部分，廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型（1）和模型（2）的主要結(jié)果是通過(guò)估計(jì)加權(quán)極大似然函數(shù)得到的β，qt=q(t)和αi。

考慮解釋變量的非線性時(shí)間趨勢(shì)會(huì)對(duì)模型的參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生影響，本文提出兩步驟對(duì)廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型進(jìn)行估計(jì)。

第一步：采用Robinson[7]提出的非參數(shù)趨勢(shì)面板模型的估計(jì)方法，對(duì)解釋變量Xit進(jìn)行估計(jì)，得到個(gè)體效應(yīng)及非線性時(shí)間趨勢(shì)g=g(t)。即估計(jì)模型：

在式（7）中的非線性時(shí)間趨勢(shì)gt，反映解釋變量受時(shí)間的影響而變化的情況，是非線性的不確定的函數(shù)關(guān)系，（因?yàn)榍拔脑O(shè)定xi～N(0p，，則E(Xit)=gt），將其代替Xit代入θit中，得到：

其中，依賴β，αi的參數(shù)部分是δ(β，αi)，依賴于t的非參數(shù)部分qt=ft，通過(guò)估計(jì)加權(quán)極大似然函數(shù)得到β和q(t)=f(t)為廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合面板模型（1）和模型（2）的主要結(jié)果。

第二步：采用加權(quán)極大似然估計(jì)方法估計(jì)模型的參數(shù)和非參數(shù)估計(jì)量。

模型的估計(jì)問(wèn)題主要是識(shí)別參數(shù)，即參數(shù)部分β和αi，非參數(shù)部分qt=ft是本文要估計(jì)的，由后驗(yàn)分布可知：

根據(jù)極大似然估計(jì)的思想，估計(jì)的參數(shù)β和αi能使得式（9）值達(dá)到最大，只需保證分子達(dá)到最大即可。定義：

令L(Y，α;q，δ)=L1(Y;q，δ)+L2(α，，為了估計(jì)非參數(shù)部分qt=ft，本文固定t0點(diǎn)，計(jì)算t0點(diǎn)的Y的對(duì)數(shù)條件密度函數(shù)：

則加權(quán)極大似然函數(shù)為：

其中，Kh(t0)=K(t-t0h)是帶寬為h的核函數(shù)，滿足在[-1，1]上的lipschitz對(duì)稱概率密度函數(shù)。

為表示方便，計(jì)算：

此式稱為加權(quán)極大似然函數(shù)，其解為加權(quán)極大似然估計(jì)量。

2.2 被解釋變量服從指數(shù)分布

為了使上面的估計(jì)方法具體化，選擇指數(shù)分布作為指數(shù)分布族的一類分布，當(dāng)被解釋變量服從指數(shù)分布時(shí)：其概率密度函數(shù)為λe-λy，其中，λ=1 E(Y)，首先給出廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合面板模型的形式，令模型的半?yún)?shù)部分為ηit=Xitβ+ft+αi，被解釋變量的數(shù)學(xué)期望為E(Yit|Xit)=μit，二者通過(guò)G建立聯(lián)系，即G(μit)=ηit=Xitβ+ft+αi，其中，嚴(yán)格單調(diào)充分光滑的G函數(shù)稱為聯(lián)系函數(shù)。h=G-1，即μit=h(ηit)=1/ηit，或G(μit)=1 μit。此時(shí)模型（1）和模型（2）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)被解釋變量服從指數(shù)分布時(shí)，借鑒上面給出的模型估計(jì)方法的一般情況，得到似然函數(shù)形式如下：

則其加權(quán)似然函數(shù)為：

將采用Robinson的方法對(duì)解釋變量的非線性時(shí)間趨勢(shì)進(jìn)行分離，將其代替解釋變量代入到加權(quán)似然函數(shù)當(dāng)中，得到：

其極大似然估計(jì)量為?WL(Y;q，δ)/?β=0，求出被解釋變量服從指數(shù)分布時(shí)的廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合面板模型的參數(shù)估計(jì)量和非參數(shù)估計(jì)量。

3 最優(yōu)化算法

半?yún)?shù)趨勢(shì)隨機(jī)效應(yīng)面板模型的參數(shù)和非參數(shù)估計(jì)量是加權(quán)似然函數(shù)的最優(yōu)解，然而它是非顯示解。本文參考Lombardia和Sperlich[5]提出的算法，對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。

步驟1：對(duì)于固定時(shí)間的t0，當(dāng)給定參數(shù)δ（β和αi）時(shí)，可以通過(guò)下式估計(jì)非參數(shù)部分q(t0)：

步驟2：結(jié)合式（20）結(jié)果，可以通過(guò)下式估計(jì)估計(jì)β和αi：

4 蒙特卡羅數(shù)值模擬

本文與Lombardia和Sperlich[5]不同的地方是除了考慮被解釋變量是包含時(shí)間趨勢(shì)的非平穩(wěn)變量，解釋變量也是如此。如果直接參考Lombardia和Sperlich[5]提出的估計(jì)方法估計(jì)模型的參數(shù)和非參數(shù)估計(jì)量，解釋變量的時(shí)間趨勢(shì)可能對(duì)估計(jì)方法產(chǎn)生影響。為了驗(yàn)證猜想，本文首先考慮解釋變量是不含時(shí)間趨勢(shì)的平穩(wěn)變量，生成數(shù)據(jù)，對(duì)Lombardia和Sperlich[5]的估計(jì)方法進(jìn)行驗(yàn)證，然后，考慮解釋變量包含非線性時(shí)間趨勢(shì)，生成數(shù)據(jù)，對(duì)本文提出的估計(jì)方法和Lombardia和Sperlich[5]提出的估計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比分析。

4.1 生成數(shù)據(jù)

為了研究方便，在此部分假定Xit為一維變量，則廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型形式如下：

其中，Yit來(lái)自指數(shù)分布族，因?yàn)橹笖?shù)分布族中的分布的形式過(guò)多，同時(shí)與上面的估計(jì)方法相對(duì)應(yīng)，所以本文基于指數(shù)分布族中的一類分布——指數(shù)分布給出廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型的加權(quán)極大似然估計(jì)方法，在此部分，選用指數(shù)分布作為指數(shù)分布族的特殊分布給出數(shù)據(jù)生成過(guò)程。

（1）非線性時(shí)間趨勢(shì)：本文中非線性時(shí)間趨勢(shì)是被解釋變量和解釋變量非平穩(wěn)的主要原因，f(u)=2u3+u，g(u)=2sin(πu)，k(u)=2πu為非線性的時(shí)間趨勢(shì)，反映了政策、法律、法規(guī)等隨機(jī)因素對(duì)變量的影響。

（2）隨機(jī)效應(yīng)：面板數(shù)據(jù)中，對(duì)于特定的個(gè)體而言，隨機(jī)效應(yīng)是不隨著時(shí)間發(fā)生改變的影響因素。αit在N(0，0.25)的正態(tài)分布中隨機(jī)抽取，xit在N(0，1)的正態(tài)分布中隨機(jī)抽取。

（3）殘差項(xiàng)：eit在N(0，0.25)的正態(tài)分布中提取，序列獨(dú)立的序列。vit在N(0，0.6)的正態(tài)分布中提取。

（4）解釋變量與被解釋變量：本文的特別之處就在于考慮了解釋變量是因包含非線性時(shí)間趨勢(shì)而非平穩(wěn)的變量。在數(shù)據(jù)生成部分，按照兩種情況來(lái)生成解釋變量Xit，一種是平穩(wěn)變量，服從正態(tài)分布N(1，0.6)，不包含個(gè)體效應(yīng)和時(shí)間趨勢(shì)，另一種是包含時(shí)間趨勢(shì)的非平穩(wěn)變量，按照Xit=vit+xi+gt生成。在接下來(lái)的蒙特卡羅模擬中，考慮解釋變量的時(shí)間趨勢(shì)，加入g(u)=2sin(πu)及k(u)=2 πu，被解釋變量Yit按照指數(shù)分布來(lái)生成，即：

其中，Yit是以E(Yit)=1/Xitβ+αit+ft為期望的指數(shù)分布生成，ft的形式是按照g(u)及k(u)來(lái)構(gòu)造。

4.2 廣義半?yún)?shù)模型蒙特卡羅數(shù)值模擬

按三部分進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)：第一，是驗(yàn)證Lombardia和Sperlich[5]提出的估計(jì)方法，第二，從標(biāo)準(zhǔn)差的角度對(duì)比分析本文的估計(jì)方法和Lombardia和Sperlich[5]的估計(jì)方法，第三，從均方誤差的角度對(duì)比分析本文的估計(jì)方法和Lombardia和Sperlich[5]的估計(jì)方法。

（1）首先驗(yàn)證Lombardia和Sperlich[5]的估計(jì)方法，即對(duì)廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型的參數(shù)估計(jì)量和非參數(shù)估計(jì)量進(jìn)行估計(jì)，分析其有限樣本性質(zhì)。

為了使實(shí)驗(yàn)更一般化，在蒙特卡羅模擬部分，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行兩種假定，即假設(shè)模型參數(shù)分別為β=3和β=5的情況及隨機(jī)效應(yīng)的分布方差為=0.0625和=0.09的情況。

考慮到時(shí)間維度或截面維度的變化會(huì)對(duì)廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型的參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生影響，首先固定時(shí)間維度不變，增加截面維度。觀察模型參數(shù)估計(jì)變化情況。然后固定截面維度不變，增加時(shí)間維度，觀察模型參數(shù)估計(jì)變化情況。

取T=5保持不變，N增加（N=10、N=15、N=20、N=25、N=30），進(jìn)行500模擬，計(jì)算500次模擬參數(shù)估計(jì)值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。為了另取一時(shí)間維度不變，增加截面維度，即取T=10保持不變，N增加的情況（N=10、N=15、N=20、N=25、N=30）的情況。進(jìn)行500次模擬，計(jì)算500次模擬參數(shù)估計(jì)值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。結(jié)果如表1和表2所示。

表1 廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（T=5）

表2 廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（T=10）

表1和表2列出了廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型的參數(shù)估計(jì)情況，隨著樣本容量的變化，其有限樣本性質(zhì)如下：

當(dāng)保持時(shí)間維度T不變時(shí)，增加個(gè)體數(shù)N，廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果有如下特征。第一，模型的參數(shù)估計(jì)值的均值變化比較穩(wěn)定。比如，在假定β=3的情況下，保持時(shí)間維度T=10不變，N=15時(shí)參數(shù)估計(jì)值最接近真實(shí)值。第二，除個(gè)別情況下（T=5，N=25；T=10，N=15），隨著截面?zhèn)€數(shù)N的增加，參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差有逐漸減小的趨勢(shì)。比如，在β=5，T=5的情況下，隨著個(gè)體數(shù)N的增加（N=10、N=15、N=20、N=25、N=30），參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差在逐漸減小。第三，隨機(jī)效應(yīng)分布的方差估計(jì)的結(jié)果較為理想，在β=3和β=5的假定下，其方差估計(jì)的結(jié)果較為準(zhǔn)確。

當(dāng)保持截面維度N不變，增加時(shí)期數(shù)T（從T=5到T=10）時(shí)，廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果有如下特征。第一，模型的參數(shù)估計(jì)值的均值變化的穩(wěn)定性提高，即在T=5下的情況下，β=3的均值變化幅度較大，而在T=10時(shí)，其均值變化比較穩(wěn)定。第二，模型參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差在逐漸減小，即在T=5時(shí)，β=3的參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差在0.9～1.9之間，而在T=10時(shí)，β=3的參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差在0.7～1.1之間。第三，估計(jì)的隨機(jī)效應(yīng)分布的方差結(jié)果較為理想，在β=3和β=5的假定情況下的假定情況下，模型的隨機(jī)效應(yīng)方差估計(jì)的結(jié)果都比較準(zhǔn)確。

（2）表1和表2是在假設(shè)解釋變量為平穩(wěn)的變量的情況下得到的結(jié)論，驗(yàn)證了廣義半?yún)?shù)混合面板模型的有限樣本性質(zhì)，下面考慮解釋變量為包含時(shí)間趨勢(shì)的非平穩(wěn)變量時(shí)，對(duì)比分析Lombardia和Sperlich[5]提出的廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型估計(jì)方法和本文提出的兩步驟模型估計(jì)方法。表3和表4表明Lombardia和Sperlich[5]提出的方法的估計(jì)結(jié)果。

表3 廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（T=5）

表4 廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（T=10）

從表3和表4的參數(shù)估計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)解釋變量是含有非線性時(shí)間趨勢(shì)的非平穩(wěn)變量時(shí)，采用Lombardia和Sperlich[5]提出的極大似然估計(jì)方法估計(jì)廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合面板模型的參數(shù)，參數(shù)估計(jì)結(jié)果較好。第一，隨著樣本容量N、T的變化，參數(shù)估計(jì)值變化比較穩(wěn)定。第二，除個(gè)別情況下，隨著樣本容量N、T的變化，參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差有逐漸減小的趨勢(shì)。第三，隨機(jī)效應(yīng)分布的方差估計(jì)結(jié)果較為理想。

盡管Lombardia和Sperlich[5]提出的極大似然估計(jì)方法依然可以對(duì)廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合面板模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然而，由于解釋變量從平穩(wěn)變量變成包含時(shí)間趨勢(shì)的非平穩(wěn)變量，Lombardia和Sperlich[5]提出的極大似然估計(jì)方法是否是最佳的？是本文需要研究的問(wèn)題。接下來(lái)，采用本文提出的兩步驟估計(jì)方法對(duì)廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合面板模型進(jìn)行估計(jì)，即首先采用Robinson(2012)[7]提出的非參數(shù)趨勢(shì)面板模型估計(jì)方法對(duì)解釋變量的時(shí)間趨勢(shì)進(jìn)行分離，然后用其代替解釋變量代入到廣義半?yún)?shù)混合效應(yīng)面板模型當(dāng)中進(jìn)行加權(quán)極大似然估計(jì)，觀察估計(jì)結(jié)果。如表5和下頁(yè)表6所示。

表5 廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（T=5調(diào)整）

表6 廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（T=10調(diào)整）

從表5和表6與表3和表4的估計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)解釋變量是包含時(shí)間趨勢(shì)的非平穩(wěn)變量時(shí)，本文提出的兩步驟估計(jì)方法與Lombardia和Sperlich[5]提出的加權(quán)極大似然估計(jì)方法對(duì)比結(jié)果如下：從共同點(diǎn)來(lái)說(shuō)，除個(gè)別情況下，兩種參數(shù)估計(jì)結(jié)果都保持了參數(shù)估計(jì)值變化比較穩(wěn)定，估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差隨著樣本容量的增大而減小的特征。從不同點(diǎn)來(lái)說(shuō)，若直接采用廣義半?yún)?shù)模型進(jìn)行分析采用加權(quán)極大似然法估計(jì)，參數(shù)估計(jì)值均值估計(jì)較穩(wěn)定的情況下，參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果好于先對(duì)解釋變量進(jìn)行分離然后再進(jìn)行加權(quán)極大似然估計(jì)的估計(jì)結(jié)果，后者均值的標(biāo)準(zhǔn)差在整體水平上有明顯的增大趨勢(shì)。

（3）從以上兩種方法的估計(jì)結(jié)果來(lái)看，參數(shù)估計(jì)值均值變化都較穩(wěn)定，本文提出的估計(jì)方法的參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差雖然在整體水平上略大于Lombardia和Sperlich[5]提出的方法，但是相差不大。僅從估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差大小來(lái)判斷兩種估計(jì)方法哪個(gè)更可靠，不夠客觀，下面計(jì)算兩種估計(jì)方法的估計(jì)值的均方誤差，觀察計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步比較兩種估計(jì)方法的優(yōu)良。

對(duì)于參數(shù)β的估計(jì)值的均方誤差計(jì)算公式如下：

均方誤差刻畫的是估計(jì)值的損失函數(shù)，均方誤差越小，估計(jì)效果越好。為了清楚地對(duì)比兩種方法均方誤差的大小，下面列出β=3時(shí)，兩種估計(jì)方法的參數(shù)估計(jì)值的均方誤差，用L(2008)表示采用Lombardia和Sperlich[5]提出的加權(quán)極大似然估計(jì)方法，用L&R(2012)表示本文提出的估計(jì)方法，即先采用Roinson[7]對(duì)解釋變量X的時(shí)間趨勢(shì)進(jìn)行分離，然后采用加權(quán)極大似然法進(jìn)行估計(jì)。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7。從表7的結(jié)果可以看出，本文提出的估計(jì)方法的參數(shù)估計(jì)值的均方誤差略小于Lombardia和Sperlich[5]提出的加權(quán)極大似然估計(jì)方法。

表7 參數(shù)估計(jì)值的均方誤差

5 結(jié)論

本文在Lombardia和Sperlich[5]和Hunsberger[6]的基礎(chǔ)上，建立了解釋變量為包含時(shí)間趨勢(shì)的廣義半?yún)?shù)趨勢(shì)混合效應(yīng)面板模型，并給出加權(quán)極大似然估計(jì)的有效估計(jì)量及識(shí)別程序。在仿真實(shí)驗(yàn)部分中，當(dāng)被解釋變量服從指數(shù)分布時(shí)，對(duì)于解釋變量為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，本部分采用了Lombardia和Sperlich[5]提出的加權(quán)極大似然估計(jì)方法和本文提出的估計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比分析了兩種估計(jì)方法的估計(jì)結(jié)果。

兩種估計(jì)方法得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果較為理想，都保持了參數(shù)估計(jì)值變化穩(wěn)定，估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差隨著樣本容量增加而減小的特征。從參數(shù)估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差上來(lái)看，本文提出的估計(jì)方法的參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差略大于Lombardia和Sperlich[5]提出的加權(quán)極大似然估計(jì)方法的標(biāo)準(zhǔn)差，從均方誤差來(lái)看，本文提出的估計(jì)方法的均方誤差略小于加權(quán)極大似然估計(jì)方法的均方誤差。

[1] Escribano A.Nonlinear Error Correction:The Case of Money Demand in the UK(1878-2000)[J].Macroeconomic Dynamics，2004，(8).

[2] Gonzalo J,Pitarakis J Y.Threshold Effects in Cointegrating Relationships[J].Oxford Bulletin of Economics and Statistics,2006，(68).

[3] McCullagh P,Nelder J A.Generalized Linear Models(second edition)[M].London:Chapman and Hall,1989.

[4] McCulloch C E,Natarajan R.A Note on the Existence of the Posterior Distribution for a Class of Mixed Models for Binomial Responses[J].Bimometrika，1995，(82).

[5] Lombardia M J,Sperlich S.Semi-parametric Inference in Generalized Mixed Effects Models Working Paper[J].Journal of the Royal Statisti?cal Society,2008,70(5).

[6] Hunsberger S.Semi-parametric Regression in Likelihood-Bsed Mod?els[J].Journal of the American Stastical Association,1994,89,(428).

[7] Robinson P M.Non-parametric Trending Regression With Cross-sec?tional Dependence[J].Journal of Econometrics,2012,(169).