基于最優(yōu)停時的創(chuàng)業(yè)風險投資項目策略

張 勇，方東輝

（1.吉首大學 數學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000；2.湖南大學 金融與統(tǒng)計學院，長沙 410079）

0 引言

現今大多數企業(yè)面臨融資難的問題，但是風險投資者卻找不到好的投資機會。因此如何為一個企業(yè)設計好一份融資契約對于企業(yè)融資來說非常重要，尤其是此契約對于投資者來說應具有一定的投資興趣和收益。投資項目的決策是投資運作過程中最為關鍵的環(huán)節(jié)，尤其是在不確定條件下的投資決策更是如此，對投資項目最佳退出時機問題的研究是投資理論的關注重點[1]。本文就是按照提出的融資契約，在一定的假設條件下給出了投資者在不同退出方式下的最優(yōu)退出時機的策略。

目前，關于企業(yè)投資退出策略的研究集中在對退出方式的特征及影響投資退出方式因素的定性研究上，并依據相關因素進行比較各種退出方式的優(yōu)劣，對于退出時機決策也有一些研究[2-5]。大多數研究都基于企業(yè)未來的收益流服從幾何布朗運動的假設，但市場上項目價值的收益流可能出現負的情況，有時甚至會出現瞬時跳的情況。特別是針對中國的中小型企業(yè)投融資問題的最優(yōu)投資退出的量化研究較少，并且大多停留在靜態(tài)的分析方法。鑒于目前研究現狀，本文以投資項目的價值為研究對象，假定項目的現金流服從算術布朗運動，利用一般均衡定價理論和最優(yōu)停時理論以及Bellman動態(tài)規(guī)劃原理為建模依據，得出了企業(yè)投資項目的最優(yōu)停時的一般模型。從投資人的利益出發(fā)，構建不同退出方式下的最佳退出時機模型，為廣大的投資者尋求最優(yōu)的投資時機和退出策略提供方法和參考依據。

1 基于投資企業(yè)收益流的一般均衡定價模型

針對現實中小企業(yè)融資難的情況，本文考慮投資者和企業(yè)雙方達成如下一種契約：融資企業(yè)采用內部融資和外部融資相結合的方式，投資者和企業(yè)各自投入相應的本金并獲得相應的股份，項目運轉正常后，投資者按照固定的α份額獲得企業(yè)的收益流價值，并且企業(yè)允許投資者有足夠的選擇權來選擇退出時機和退出方式。融資契約簽訂后，對于投資者來說，就是依據投資項目的收益流的收益水平，來確定如何選擇最好的退出時機和有利于自己的退出方式。

假設投資企業(yè)項目的未來現金流服從以下算術布朗運動：

其中，μX、σ是常數，μX為資產的瞬時期望收益率，σ為資產收益率的瞬時標準差；ρ代表項目價值和市場組合資產價值的相關系數；ρσ和為系統(tǒng)風險和非系統(tǒng)風險的波動率。一般假設|ρ|＜1，因此投資者面臨著不可分散的非系統(tǒng)風險。是一個完備概率空間(Ω,Γ,P)中的二維的標準布朗運動。

另外，投資者還有投資無風險資產和市場風險投資組合資產的機會，本文定義市場風險投資組合資產組合為{Mt:t≥0}，其價值服從幾何布朗運動：

其中，μm、σm分別是市場組合風險資產{Mt:t≥0}的預期收益率和波動率。本文定義由布朗運動所生成的信息流集合為I≡{Γt:t≥0}，信息流集合為I提供給投資者t時刻前的價值所有信息。

利用一般均衡定價理論討論項目價值的問題，就是根據動態(tài)資產定價理論[6]，在均衡條件下，可以得到一個均衡隨機折扣因子。因此存在一個等價鞅測度Q，在這個新的概率測度Q下，可以重新描述價值過程如下：

其中，μ=μx-ρση為風險調整后的漂移率，這里η=(μm-r)/σm為市場組合資產對應的Sharpe比；r為無風險利率；為測度Q下的二維標準布朗運動滿足。均衡定價理論廣泛應用于未定權益的定價，如參考文獻[7]給出了均衡定價理論的一般描述。

基于以上討論，根據動態(tài)資產定價理論得到企業(yè)收益流的均衡價值為：

2 基于最優(yōu)停時理論的退出時機一般模型

投資者投資項目退出的基本原則是，若項目的收益流小于某個預期值就繼續(xù)投資且等待最佳退出時機，當項目的收益流大于某個預期值就選擇退出市場，得到事先約定的補償收益值得到投資項目的收益，從而轉入其他項目的投資。這時由于投資的不可逆性質，投資者得到事先約定的補償收益值，即：

并且設退出時得到Ω(x)，這里Ω(x)為選擇退出方式所得到的補償收益函數。

如果投資者在時段t考慮繼續(xù)投資項目，項目價值為繼續(xù)投資到無窮階段的收益流的貼現值。用Vt(xt)表示投資者在時段t繼續(xù)投資項目獲得回報的價值函數，投資者不僅獲得當期相應α份額的收益流，同時擁有繼續(xù)投資項目后期所有收益流的相應份額。在下一時段t+Δt，投資者同樣面臨著相同的情況，本文用Vt+Δt(xt+Δt)表示在時段t+Δt選擇繼續(xù)投資項目投資者獲取回報的價值函數，則投資者獲取的回報價值是一個動態(tài)過程?？梢圆捎玫瓜蜻f推的方法得出最優(yōu)停時問題的Bellman方程，在時段t選擇繼續(xù)投資，則其后期的收益流為隨機過程，期望值為E(Vt+Δt(xt+Δt)|xt)為一連續(xù)函數形式的價值函數，貼現到t+Δt時段的價值為 (1+rΔt)-1EVt+Δt(xt+Δt)，因此投資者在時段t繼續(xù)投資獲取的回報為即期收益流和后期收益流貼現值之和，即：因此可以得到：

在繼續(xù)投資區(qū)域，Vt(xt)=αxtΔt+(1+rΔt)-1E(Vt+Δt(xt+Δt))；在退出區(qū)域，Vt(x)=Ω(x)。

投資者在選擇過程中，通過比較價值函數的大小來做出退出決策。不妨假設每個時段的時間長度為Δt，結合兩種價值函數，得出投資者在整個投資過程中的價值函數是一個基于最優(yōu)停時問題的Bellman方程：

由于考慮企業(yè)項目的價值獨立于時間，因此下文統(tǒng)一用V(x)表示項目的價值函數?？紤]在連續(xù)區(qū)域的情況，由：

得到：

兩邊同時除以Δt，然后讓Δt→0，則有：

由伊藤引理：

即：

根據微分方程求解方法，可以解的以上二階常微分方程的通解如下：

其中：

邊界條件為：

故只要給定具體的退出方式所得到的補償收益函數Ω(x)，由不確定投資原理的價值匹配條件V(x*)=Ω(x*)和光滑粘貼條件V'(x*)=Ω'(x*)，就可以求出最優(yōu)退出時機x*。待定系數c2由對應的x*的結果而確定。

一般的投資收益函數表達式為：

下面根據不同的補償收益函數Ω(x)的具體形式得出在不同退出方式下的最優(yōu)退出時機問題。這里考慮幾種常見的退出方式，也就是通常所說的按照首次公開發(fā)行（IPO）、回購期權、并購以及清算方式進行最優(yōu)停時退出。即按照契約，Ω(x)對應不同的退出方式的收益各不相同。投資者采取不同退出方式退出，實質上是其他不同類型的投資者對其繼續(xù)投資。其他投資者對該項目投資，主要是因為不同投資者對該項目后期的收益有不同的預期和偏好，也即對項目的收益流xt的風險態(tài)度有不同偏好。假設用不同的貼現率來反映不同投資者的風險態(tài)度，設IPO、并購期權、回購三種退出方式的貼現率分別為rI、rB、rH；退出的價值收益函數即可表示為用不同貼現率對收益流貼現。一般情況下rI＜rB＜rH＜r，這里采用殷林森等（2008）[18]一樣的退出收益函數形式。

在IPO下，是指企業(yè)的股票首次公開上市發(fā)行，投資者出售其所有股份，以實現退出并增值。Ω(x)=α[(1-θ)，θ為與發(fā)行量成正比的承銷費用比例，CI為上市的固定費用。

在并購期權下，是指當企業(yè)發(fā)展較成熟，預期投資收益超過企業(yè)值時，企業(yè)被包裝成一個項目，出售給其他投資者。為并購的交易費用。

在回購期權下，是指企業(yè)買斷投資者持有的本公司股份，投資者實現退出。為協商費用。

依據退出時機的一般模型，將不同退出方式下的退出收益函數值與一般模型解相結合，得出不同退出方式下的企業(yè)投資者的價值函數，分別記為VI(xI)、VH(xH)和VB(xB),基本形式如式（2）表示。通過仔細的計算，得到不同退出方式的臨界值x*值和待定參數值c2*不同，分別由各自退出方式的收益函數來決定，如表1所示。

表1 不同退出方式下的臨界值和待定參數數值

得出不同退出方式下的價值函數后，投資者就可以選擇最優(yōu)的退出方式，即價值最大的退出方式就為最優(yōu)退出方式。以下根據一般模型對項目選擇不同退出方式下的退出價值進行模擬分析，綜合考慮不同退出方式的退出價值，為廣大投資者的投資退出策略提供依據。

依據一般模型，與殷林森等（2008）[8]一樣，進而做相似的比較。設定相關系數：項目收益調整漂移參數μ=0.15，相關系數ρ=0.1，收益波動率σ=0.4，各個貼現率rI=0.16,rB=0.17,rH=0.18，無風險貼現率r=0.2，投資者的所占份額α=0.3，退出費用分別為CI=1，CB=0.1，CH=0.05(單位：百萬元)，承銷費用率θ=0.07。經計算得到k2=-2.5839。并且得到各種退出方式下的價值函數相關結果為：

通過數值計算和模擬，得到關于三種退出方式的價值函數描述圖，如圖1所示。

圖1 不同退出方式的價值函數曲線圖

圖1中橫坐標表示t時刻的收益流xt，縱坐標表示相應的價值函數值?？芍?，收益流xt為負值的情況下，采取回購或并購退出方式沒有什么優(yōu)劣，但是比采用IPO方式要好。但是當收益流xt為正值的情況下，采取并購退出方式的價值最大，并且隨著收益流xt的值增大，采取并購退出方式的退出決策優(yōu)越性越明顯。當收益流xt為正值時，企業(yè)為了尋去更好的發(fā)展渠道，就期望得到一些大企業(yè)或大公司來并購這個企業(yè)繼續(xù)發(fā)展，投資者當然愿意選擇并購的方式在達到預期的收益時選擇退出。

這里得到的結論與殷林森等（2008）[8]中得到的結果明顯不同，特別當收益流xt為正值的情況下，采取并購退出方式的價值最大。而殷林森等（2008）[8]得出當收益流xt為正值的情況下，采取IPO退出方式的價值最大。這正是本文假設項目的收益流為算術布朗運動而不是幾何布朗運動所體現出來得。可見退出方式和退出時機相結合起來后，最優(yōu)退出方式和時機對于不同的收益流過程具有很強的敏感性，退出方式隨收益流的價值的正負而不同。這進一步說明了本文的模型研究的價值所在。并且由此還可以得出最優(yōu)退出時機的期權價值為：

3 靜態(tài)分析

根據上述模型，本文只以IPO退出方式的最有退出時機x*的解析表達式來依次分析各個參數的變化對最優(yōu)退出時機臨界點x*的影響程度，并且做出經濟意義上的解釋。其他情況可以做類似對的比較分析。這里有：

首先考慮收益流波動率σ的影響，假定其他參數保持不變，得出臨界值x*與收益流波動率σ之間的關系。

圖2 臨界值與收益流波動率的變化圖

從下頁圖2中可以清楚地看出，臨界值x*隨著收益流波動率σ的增大而減小，也就是說，最優(yōu)退出時機隨著投資項目的收益流的風險的增大而提前。這與大多數投資者是風險厭惡的行為相一致，投資者希望得到穩(wěn)定的收益流。同時還發(fā)現，對于給定的收益流波動率σ，最優(yōu)退出時機隨著投資項目的風險調整后的漂移率μ的增大而提前。當風險調整后的漂移率μ的增大時，相應的項目的收益流期望值增大，從而能夠較早達到投資者的預期收益水平，也就是說提前了最優(yōu)退出時機。當然，不同投資者對項目的收益有不同的預期和偏好，也即對項目的現金流xt的收益態(tài)度有不同偏好，也就導致他們對應在同一風險水平下的不同最優(yōu)的退出時間。

圖3 臨界值與風險調整后的收益流漂移率的變化圖

從圖3中可以清楚地看出，臨界值x*隨著風險調整后的收益流漂移率μ的增大而減小，也就是說，最優(yōu)退出時機隨著投資項目的收益流的風險調整后的收益流漂移率μ的增大而提前。當風險調整后的收益流漂移率μ的增大時，相應的項目收益流的期望值增大，從而能夠較早達到投資者的預期收益水平，即提前了最優(yōu)退出時機。同時也可以看出，給定的風險調整后的收益流漂移率μ，最優(yōu)退出時機隨著投資項目收益的波動率σ的增大而提前。當收益流波動率σ的增大時，相應的項目收益流的風險增大，對于一般風險厭惡的投資者來說，當然會提前最優(yōu)退出時機。當然，不同投資者對項目的收益有不同的預期和偏好，也即對項目的現金流xt的收益風險態(tài)度有不同偏好，也就導致他們對應在同一預期收益下的不同最優(yōu)的退出時機。

4 結論

本文以風險投資者根據投資項目的收益流的收益水平自行選擇退出時機為前提，將不同退出方式下的退出收益函數與一般模型解相結合，得到了不同退出方式下臨界值x*值。給定相關參數后，通過對各種具體退出方式的比較分析，得到在項目收益流為正的時候，選擇并購的方式為最佳退出方式，但在項目收益流為負的時候，選擇回購的方式為最佳退出方式，但與并購的方式沒有明顯的優(yōu)劣。并且就首次公開發(fā)行（IPO）退出方式為例，將最優(yōu)退出時機與各個參數之間的變化關系進行數值分析，并給出相應的經濟學上的解釋，對企業(yè)或個人投資決策退出策略是一個有益的探索。但是本文只考慮了一般系統(tǒng)下最優(yōu)退出時機，沒有考慮到現實性更強的變量控制系統(tǒng)下的退出策略，對于在變量控制系統(tǒng)下的最優(yōu)退出策略，還有待進一步研究。

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