基于無差異曲線的組合養(yǎng)老模式構(gòu)建及最優(yōu)選擇

董 宇

（青島大學(xué) 美術(shù)學(xué)院，山東 青島 266071）

0 引言

改革開放以來我國經(jīng)濟(jì)保持了長達(dá)三十多年的持續(xù)穩(wěn)定快速增長，2008年金融危機(jī)后世界經(jīng)濟(jì)逐漸步入緩慢發(fā)展時(shí)代，全球經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇乏力，我國經(jīng)濟(jì)增長也因此受到重創(chuàng)，開始進(jìn)入降速提質(zhì)的經(jīng)濟(jì)調(diào)整期。與此同時(shí)，我國的人口結(jié)構(gòu)失衡問題凸顯，長期以來的計(jì)劃生育政策導(dǎo)致老齡化社會(huì)的到來，社會(huì)撫養(yǎng)比例逐漸增加，人口紅利逐步消失，獨(dú)生子女的贍養(yǎng)義務(wù)壓力越來越大，老年人養(yǎng)老問題成為當(dāng)前亟需解決的重大社會(huì)問題，受到學(xué)者們的普遍關(guān)注。根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局相關(guān)數(shù)據(jù)，截止2016年底我國60歲以上的老年人數(shù)量為2.6億，在整個(gè)人口數(shù)量中的比例為18.56%，而且這一比例還呈逐年增大的趨勢。對當(dāng)前我國養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老兩種養(yǎng)老模式進(jìn)行對比研究，探討?zhàn)B兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老的替代關(guān)系，使用替代系數(shù)實(shí)證研究我國老年人對兩種養(yǎng)老模式的組合選擇問題。研究結(jié)論可以為老年人的養(yǎng)老組合決策提供理論依據(jù)，也可以為我國老齡化問題的解決提供政策參考。

1 組合養(yǎng)老模式的模型構(gòu)建

“養(yǎng)兒防老”是我國民族傳統(tǒng)養(yǎng)老文化中最早的養(yǎng)老模式，是指人們通過撫養(yǎng)子女待子女成年自己年老時(shí)由子女來贍養(yǎng)自己的一種方式，撫養(yǎng)費(fèi)用由父母承擔(dān)并給予子女以精神上的照顧，贍養(yǎng)費(fèi)用由子女承擔(dān)并由子女給予父母精神上的撫慰。隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展及人們收入水平的提高，“儲(chǔ)蓄養(yǎng)老”成為很多人的選擇，所謂“儲(chǔ)蓄養(yǎng)老”是指人們通過年輕時(shí)的財(cái)富積累用于自己年老時(shí)的養(yǎng)老費(fèi)用支出，是一種自我照顧而非子女照顧的養(yǎng)老模式。目前這兩種養(yǎng)老模式均普遍存在，而且在一定程度上存在著替代和互補(bǔ)的關(guān)系。

為了對這兩種養(yǎng)老模式進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)分析，需要一些基本假設(shè)條件，假設(shè)每個(gè)人均經(jīng)歷三個(gè)重要時(shí)刻：T1，T2，T3。其中T1為養(yǎng)老決策時(shí)刻，此時(shí)人們決定是否撫養(yǎng)孩子，到T2時(shí)刻子女成年，T3時(shí)刻自己年老。這里使用無差異曲線來測度老年人的晚年生活（見圖1），該曲線由養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老共同決定，其中橫軸表示養(yǎng)兒防老縱軸表示儲(chǔ)蓄養(yǎng)老，曲線凸向原點(diǎn)表示養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老存在相互替代的特征，而且二者的替代性呈遞減趨勢。

圖1 生活質(zhì)量無差異曲線圖

接下來對老年人養(yǎng)老的成本收益進(jìn)行比較研究，撫養(yǎng)子女需要資金投入和精神投入，其中資金投入是顯性的，精神投入是隱性的，假設(shè)人們的收入為W，則在T1到T2這個(gè)時(shí)間段的總收益TR可以用以下公式表達(dá)：

其中表示人們在T1到T2這個(gè)時(shí)間段未撫養(yǎng)子女時(shí)的生活質(zhì)量。假設(shè)此時(shí)間段的日常支出為C1，則人們的凈收益NR可以表述為：

因此撫養(yǎng)子女的“價(jià)格”P可以表述為：

其中C3表示撫養(yǎng)子女的顯性成本，當(dāng)C1和C2相等時(shí)，則有：

即撫養(yǎng)子女的價(jià)格為人們未撫養(yǎng)子女的生活質(zhì)量與撫養(yǎng)子女時(shí)的生活質(zhì)量之差，加上人們的收入和撫養(yǎng)子女的費(fèi)用。養(yǎng)老函數(shù)的最優(yōu)模式為在收入約束下的最大化解，假設(shè)收入為Y，則最優(yōu)的養(yǎng)老模式可以用圖2表示，其中A點(diǎn)即是人們最大化的養(yǎng)老模式選擇，該點(diǎn)取決于人們的收入及生活質(zhì)量無差異曲線的形狀。

圖2 最優(yōu)養(yǎng)老模式圖

2 組合養(yǎng)老模式的差異拓展

相同的撫養(yǎng)投入所產(chǎn)生的撫養(yǎng)效應(yīng)可能存在很大不同，即子女成年后的贍養(yǎng)能力具有差異性，這里使用標(biāo)準(zhǔn)量來表述撫養(yǎng)效應(yīng)，包括撫養(yǎng)子女的資金投入標(biāo)準(zhǔn)量和貨幣儲(chǔ)蓄標(biāo)準(zhǔn)量。在人們收入約束線和生活質(zhì)量無差異曲線相同的情況下考慮以下幾種情況：

2.1 子女贍養(yǎng)能力的差異

當(dāng)人們的收入為Y，生活質(zhì)量無差異曲線為U1時(shí)，最優(yōu)化的養(yǎng)老模式選擇應(yīng)該是在A點(diǎn)，但是由于子女的贍養(yǎng)能力存在一定差異（見圖3），其中Y表示人們的收入約束線，U表示老年人的生活質(zhì)量無差異曲線，L表示子女的贍養(yǎng)能力。如果B的子女贍養(yǎng)能力較強(qiáng)對父母的關(guān)愛程度較大，則B子女的贍養(yǎng)能力曲線為L2，此時(shí)撫養(yǎng)子女的投入較高，生活質(zhì)量無差異曲線也較高為U2，B的最優(yōu)養(yǎng)老模式選擇點(diǎn)應(yīng)該在B點(diǎn)。相反如果C的子女贍養(yǎng)能力較弱對父母的關(guān)愛較少，無法盡自己的贍養(yǎng)義務(wù)，則C子女的贍養(yǎng)能力曲線為L3，此時(shí)撫養(yǎng)子女的投入較低，生活質(zhì)量無差異曲線也較低為U3，C的最優(yōu)養(yǎng)老模式選擇點(diǎn)應(yīng)該在C點(diǎn)。因此雖然收入相同生活質(zhì)量無差異曲線也一樣，但B的生活質(zhì)量要高于C。

圖3 子女贍養(yǎng)能力的差異

2.2 子女贍養(yǎng)意愿的差異

人們在T1時(shí)刻做出是否撫養(yǎng)子女的決定，T3時(shí)刻子女履行贍養(yǎng)義務(wù)，從T1到T3要經(jīng)歷相當(dāng)長的一段時(shí)間，因此撫養(yǎng)效應(yīng)具有很長的滯后期，如果社會(huì)中的子女普遍具有贍養(yǎng)老人的良好表現(xiàn)，當(dāng)人們年老時(shí)都可以通過子女的物質(zhì)支持和精神撫慰安度晚年時(shí)，人們對子女的資金投入就會(huì)較高，這種情況可以通過圖4來表示，比如圖4中的B點(diǎn)，此時(shí)老年人的生活質(zhì)量將會(huì)遠(yuǎn)高于預(yù)期。相反如果社會(huì)中子女贍養(yǎng)老人的表現(xiàn)普遍較差，甚至出現(xiàn)養(yǎng)兒不能實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老的情況，人們對子女的投入將會(huì)降低甚至接近于零，此時(shí)老年人的生活質(zhì)量將會(huì)大大低于預(yù)期，比如圖4中的C點(diǎn)。

圖4 子女贍養(yǎng)意愿的差異

2.3 儲(chǔ)蓄資產(chǎn)收益的差異

儲(chǔ)蓄資產(chǎn)收益的變化也會(huì)影響組合養(yǎng)老的決策選擇，假設(shè)A、B和C三人的預(yù)算收入相等，按照前述原則三人的最優(yōu)選擇模式應(yīng)該相同，但是由于三人對預(yù)算收入的理財(cái)方式不同從而可能導(dǎo)致資產(chǎn)收益出現(xiàn)差異。如下頁圖5所示，A的資產(chǎn)收益可能在A點(diǎn)，而B由于理財(cái)方式較好使資產(chǎn)升值資產(chǎn)收益為B點(diǎn)，B點(diǎn)高于A點(diǎn)，C可能由于理財(cái)失當(dāng)導(dǎo)致資產(chǎn)貶值資產(chǎn)收益為C點(diǎn)，C點(diǎn)低于A點(diǎn)。從而A對應(yīng)的生活質(zhì)量無差異曲線為U1，B對應(yīng)的生活質(zhì)量無差異曲線為U2,C對應(yīng)的生活質(zhì)量無差異曲線為U3。當(dāng)子女的贍養(yǎng)愿望較強(qiáng)烈對父母的照顧較好時(shí)，老年人的生活質(zhì)量無差異曲線也較高，即老年人可以享受高于預(yù)期的晚年生活。

圖5 儲(chǔ)蓄資產(chǎn)收益的差異

3 差異贍養(yǎng)條件下組合養(yǎng)老模式的效用最大化

養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老兩種養(yǎng)老模式的組合選擇是為了實(shí)現(xiàn)效用的最大化，即需要求出圖2中的A點(diǎn)，這里使用效用函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)求解。組合養(yǎng)老的效用函數(shù)U可以表述為：

其中R表示組合養(yǎng)老的收益，A表示組合養(yǎng)老的投資風(fēng)險(xiǎn)，因此組合養(yǎng)老的效用和養(yǎng)老收益正相關(guān)，和養(yǎng)老風(fēng)險(xiǎn)負(fù)相關(guān)。上述公式可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為：

根據(jù)組合養(yǎng)老的第一種情況可以得到二元方程：

要想求出養(yǎng)老投資組合二元方程的最優(yōu)解，需滿足一階導(dǎo)數(shù)為零，即：

此時(shí)子女贍養(yǎng)能力差異下組合養(yǎng)老的最大效用值為：

此時(shí)投資組合養(yǎng)老的期望回報(bào)率和方差可以表述為：

同理可以求出第二和第三種情況下的最大效用值、期望回報(bào)率和方差：

綜合考慮三種養(yǎng)老情況得到以下組合養(yǎng)老模式：

三種差異化養(yǎng)老中收益最大的即為最優(yōu)的養(yǎng)老模式組合。本文根據(jù)我國養(yǎng)老模式的現(xiàn)狀對上述最優(yōu)養(yǎng)老模式分別求解。為了對中國的傳統(tǒng)養(yǎng)老文化現(xiàn)狀進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，作者通過設(shè)計(jì)調(diào)查問卷進(jìn)行實(shí)地調(diào)研，調(diào)研范圍為中國東、中、西部代表性的城市，共發(fā)放調(diào)查問卷10000份，其中東部地區(qū)城市發(fā)放3500份，中部城市發(fā)放3000份，西部城市發(fā)放3500份。養(yǎng)老模式的偏好設(shè)定為養(yǎng)兒防老型、儲(chǔ)蓄養(yǎng)老型和其他類型三大類，被調(diào)查者可以根據(jù)自己的偏好進(jìn)行選擇，具體選項(xiàng)的設(shè)定基于五點(diǎn)量表法，每個(gè)選項(xiàng)的偏好程度設(shè)定為非常偏好、偏好、一般、弱偏好和無偏好。

根據(jù)調(diào)查問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表1，從表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出目前我國養(yǎng)老模式仍以養(yǎng)兒防老為主，全國樣本中占65%，儲(chǔ)蓄養(yǎng)老模式僅占30%。但從分區(qū)域統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看表現(xiàn)出明顯的區(qū)域差異，東部地區(qū)以儲(chǔ)蓄養(yǎng)老模式為主，該模式占75%，西部地區(qū)以養(yǎng)兒防老模式為主，該模式占70%。這種模式的選擇可能與地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平有關(guān)，東部地區(qū)較高的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平?jīng)Q定了以自己的收入養(yǎng)老，而西部地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相對落后，更多地依靠子女養(yǎng)老。

表1 中國分區(qū)域養(yǎng)老模式統(tǒng)計(jì)結(jié)果

使用本文調(diào)查問卷所得數(shù)據(jù)，基于以下三種養(yǎng)老情況的組合養(yǎng)老模式，可以對東、中、西部的養(yǎng)老收益進(jìn)行求解，求解結(jié)果見表2。

從計(jì)算結(jié)果來看，所有估計(jì)結(jié)果都通過了顯著性檢驗(yàn)，表示本文的計(jì)算結(jié)果具有較高的可信度。具體來看，我國整體的組合養(yǎng)老模式回報(bào)率中養(yǎng)兒防老為53.41%，儲(chǔ)蓄養(yǎng)老回報(bào)率為41.09%，即目前我國仍然是以養(yǎng)兒防老為主的養(yǎng)老模式。從區(qū)域差異來看，東部地區(qū)儲(chǔ)蓄養(yǎng)老回報(bào)率為71.43%，養(yǎng)兒防老回報(bào)率為20.22%，即東部地區(qū)儲(chǔ)蓄養(yǎng)老已經(jīng)成為養(yǎng)老模式的主流。西部地區(qū)養(yǎng)兒防老回報(bào)率為80.35%，儲(chǔ)蓄養(yǎng)老回報(bào)率為10.52%，即西部地區(qū)依然是以養(yǎng)兒防老這樣養(yǎng)老模式為主。中部地區(qū)養(yǎng)兒防老回報(bào)率為46.22%，儲(chǔ)蓄養(yǎng)老回報(bào)率為50.19%，即中部地區(qū)處于從養(yǎng)兒防老向儲(chǔ)蓄養(yǎng)老模式的過渡期。東部地區(qū)大部分養(yǎng)老資金均來自于自我儲(chǔ)蓄，西部地區(qū)老年人的養(yǎng)老對子女的依賴性相對較大。我國目前養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老兩種養(yǎng)老模式并存，東部地區(qū)儲(chǔ)蓄養(yǎng)老的選擇較多，西部養(yǎng)兒防老的模式選擇較多。

表2 組合養(yǎng)老最優(yōu)回報(bào)率

4 結(jié)束語

本文利用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的無差異曲線對我國傳統(tǒng)養(yǎng)老模式進(jìn)行研究，分析了養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老兩種模式的成本收益，基于子女贍養(yǎng)能力的差異、子女贍養(yǎng)意愿的差異和儲(chǔ)蓄資產(chǎn)收益的差異對組合養(yǎng)老選擇模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)拓展，使用實(shí)地調(diào)查研究數(shù)據(jù)實(shí)證分析我國目前養(yǎng)老模式的現(xiàn)狀和回報(bào)率，得出以下主要結(jié)論：（1）總體來看，我國目前養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老兩種養(yǎng)老模式并存，而且兩種養(yǎng)老模式具有替代性，正從養(yǎng)兒防老養(yǎng)老模式向儲(chǔ)蓄養(yǎng)老模式過渡。（2）由于我國農(nóng)村人口所占比例較大，中西部地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平較低等原因，養(yǎng)兒防老還是一種比較重要的養(yǎng)老模式。物質(zhì)層面的養(yǎng)老資金從子女贍養(yǎng)資金為主向自有儲(chǔ)蓄資金為主轉(zhuǎn)化，精神層面的關(guān)懷和照顧從子女照顧為主向自我照料為主轉(zhuǎn)化。（3）雖然我國目前養(yǎng)兒防老和儲(chǔ)蓄養(yǎng)老兩種養(yǎng)老模式并存，但養(yǎng)老模式的地區(qū)差異比較明顯。東部地區(qū)大部分養(yǎng)老資金均來自于自我儲(chǔ)蓄，西部地區(qū)老年人的養(yǎng)老對子女的依賴性相對較大。東部地區(qū)儲(chǔ)蓄養(yǎng)老的選擇較多，西部養(yǎng)兒防老的模式選擇較多。

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