例談講題的關注點，有效提升數學思維能力

黃笠

【摘要】在新課程背景下，有效教學越來越被教師所接受.數學課堂的教學也越來越講究效益.傳統(tǒng)教學中的題海大戰(zhàn)和延長學習時間來提高學生的數學思維能力也已經違背“少教多學”的理念.因此，本文從數學課堂的講題出發(fā)，通過分析講題的方法過程，有效提升學生的數學思維能力，讓數學課堂實現減負增效.

【關鍵詞】講題；關注點；數學思維能力

數學課堂經常會出現教師反復講解同類型的題目，花了大力氣，學生也學得累，但是效果不理想的現象.做過幾遍、講過幾遍的題目學生還是不會，還是會做錯.教師因此也容易走向職業(yè)倦怠，認為自己教不會學生甚至教了幾十年不會教了.其實，我們不能簡單地責怪學生不聰明、不勤奮，在教師的講題過程中，忽視了學生思維能力的培養(yǎng).教師缺乏教學目標意識，想到哪講到哪；重點內容不突出，難點的突破沒有相應的教學處理；解題的邏輯思維混亂；講題只關注答案，忽視了學生的思考過程，學生的數學思維能力并沒有隨之提升.因此，筆者通過分析一些課堂講題實例的關注點，力爭促進學生數學思維能力的發(fā)展.

一、講題要講清分析點，發(fā)展學生數學思維的深刻性

數學思維的深刻性就是在對數學問題進行分析研究、解決的過程中，善于從復雜的表現形式中抽象出空間形式和數量關系，把握住本質及規(guī)律.深刻性是思維品質的基礎，只有加強知識方法的理解，才能不斷地提升數學思維的深刻性.

例1 如圖所示，已知A，B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB>1，以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M，N兩點重合于點C，構成△ABC.若△ABC為直角三角形，則AB=.

講題要講清分析點，首先要幫助學生有效審題.讓學生明白該研究哪些知識，讓學生通過觀察找出已知條件和待求結論，然后再去讓學生建立橋梁.養(yǎng)成良好的審題和分析習慣對于解決好一些中檔題是非常有幫助的，也是數學思維能力發(fā)展的前提.例1這道題目往往是利用方程思想，設AB=x，然后利用條件△ABC為直角三角形分三類情況建立方程求解，最后可以得出正確答案.但是這樣的講解就完成了嗎？不是！我們不能放過題目中出現的任何一個條件，包括一些隱含條件.經過仔細分析題目發(fā)現有這個條件：“構成△ABC”.可以有怎么樣的用處呢？于是學生恍然大悟，要保證構成三角形的條件就是要任意兩邊之和大于第三邊.馬上可以建立三個不等式求出1

兩種不同的思路，雖然都可以得到正確答案，但是筆者認為認真分析條件先得出AB的隱含范圍應該更接近數學的本質，更能讓我們的課堂充滿數學味.在本題的教學中，可以通過小組合作交流，學生在交流中體驗思維的碰撞，充分挖掘題中的隱含條件和本質，不斷提高學生的審題能力和觀察能力，從而培養(yǎng)和發(fā)展學生數學思維的深刻性.

二、講題要講出關鍵點，發(fā)展學生數學思維的邏輯性

例2 如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°.

∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，點C沿EF折疊后與點O重合，則∠CEF的度數是.

這道題目的關鍵在于是否會運用條件∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O來解題，學生利用角平分線可得∠BAO=∠CAO=25°，但是AB的中垂線這個條件如何運用是關鍵，很多學生在此處都有困難.當然教師可以直接告訴學生怎么用，但是效果不一定理想，往往會導致學生講完就忘記！因為一道習題，對于教師是非常熟悉的，但對于學生可能是完全陌生的，教師不一定要直接點破習題中的關鍵點.可以適當地給學生留有思考，教師只要拋出問題串，激發(fā)學生積極參與思考，而不一定是按照基本思路一講到底.提問和思考后再和學生一起分析，這樣更能加深學生的體會.那么AB的垂直平分線到底能如何使用呢？此時引導學生回憶教材的描述：垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等.教師追問：在圖中應該是哪個點到A和B的距離相等呢？學生馬上回答：O點！于是就在關鍵處引導學生得到OA=OB.學生連接OB得到∠OBA=∠OAB=25°.此時，學生的邏輯推理思維已經被激活，根據AB=AC和∠BAC=50°，學生容易得出∠ABC=∠ACB=65°，進而得到∠OBC=40°.由折疊可知∠CEF是∠CEO的一半，∠CEO是等腰△CEO的頂角，可以通過先求底角來完成.求哪一個底角容易呢？學生發(fā)現△ABO≌△ACO，得到OB=OC，馬上求出∠OBC=∠OCB=40°.最后根據底角40°可以求出∠CEO=100°，得到∠CEF=50°.

講解習題要有層次感，一般可以先從簡單條件入手，步步深入，讓學生在習題的聽講中漸入佳境，這樣有利于學生配合思考.適當的地方采用漸進式問題串，使得每一步都為下面的思維活動打下基礎，激發(fā)學生的探究欲望和培養(yǎng)學生的問題意識，讓每個層次的學生都能有所體驗，并從中獲得一定的成就感.在問題的難點處，有目的地暴露學生的思維障礙，通過關鍵條件的引導與思考，給學生搭建解題的腳手架，能夠讓學生消除畏難心理，完善學生的知識結構，幫助學生提高思維的邏輯推理能力.

三、講題要講透聯(lián)系點，培養(yǎng)學生數學思維的批判性

數學思維的批判性是指在思維活動中能獨立思考，嚴格估計思維材料和精確檢查思維過程，有根據地做出肯定接受或否定質疑的品質.在數學解題中，不斷精簡過程，發(fā)現和挖掘新的解題方法，都是思維批判性的基本表現.

例3 已知一個直角三角形的周長是30，斜邊長13，求它的面積.

遇到此題，學生的方程思想掌握較好，能夠較快地設直角邊為a和b，于是得到兩個方程：a+b=17，a2+b2=169.然后消去b得到a的一元二次方程，求解出兩條直角邊為5和12，從而得到面積是30.有些教師在課堂上也是這樣講，然后給出計算過程之后就講下一題了.實際上這道題目還有其他的解法嗎？教師提出疑問，學生的思維再次被激發(fā).教師問：設了直角邊a和b之后，面積怎么表示？學生回答：S=12ab.教師又問：那不是只要先求出ab就可以了！除了分別求直角邊a和b，能不能考慮下整體思想去求ab？這個時候學生發(fā)現ab，a+b，a2+b2三者之間是有聯(lián)系的！馬上根據（a+b）2=a2+b2+2ab可以得出2ab=172-132=30×4=120，最后求得面積為30.

因此，在講題過程中要注意條件和哪些定理、公式是有聯(lián)系的，條件與結論之間有何聯(lián)系，充分運用這些隱含的聯(lián)系，讓學生有質疑思考的過程，能不能發(fā)現更好的方法，可以使講題更高效.數學教學不僅僅是教技巧，更重要的是教學生學會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象等方法去探尋數理關系和規(guī)律，從中培養(yǎng)學生的數學能力，同時也發(fā)展了數學思維的批判性.

四、講題要突出轉化點，發(fā)展學生數學思維的靈活性

例4 如圖所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN等于.

學生很快能夠知道BM=CM=3，接下來就束手無策了.原因在哪呢？學生想不到去添加輔助線，主要原因是在等腰三角形中缺乏三線合一的數學意識，新授課“三線合一”的概念生成過快，急于進行習題的反復訓練，在短期內是可以達到教學效果的.但是長期來看，學生容易遺忘.學生在概念的生成中沒有足夠參與的時間和過程，只是死記方法，關于圖形的背景和特征都沒有去認真理解，遇上較為陌生的題目，雖然知識點相同，學生無法通過自己原有的知識結構來完成解答.因為學生原有的知識結構更多的是一個一個孤立的題目的解題方法，并沒有建立完整的知識結構去解題.當學生陷入這樣的困境時，教師可以適當地引導學生，能否把相關的條件結合起來轉化一下去解題？這時，學生才恍然大悟，原來是應該要把AB=AC和點M為BC的中點兩個條件組合，構成三線合一的條件，轉化得到三線合一的結論來解題.學生往往只會把條件一對一地單一轉化，缺乏把條件組合在一起進行轉化的能力.到此，輔助線也呼之欲出，當學生連接AM后，得出AM⊥BC，勾股定理計算出AM=4.再來看MN⊥AC怎么轉化呢？結合AM⊥BC，學生此時明白求MN可以轉化為求Rt△AMC斜邊上的高.

弗拉維爾提出元認知的概念，就是個體關于自己的認知過程的知識和調節(jié)這些過程的能力.主要功能表現在定向、控制和調節(jié).在這個講題過程中，不斷地把條件組合使用，按照既定方向轉化得到對解題有幫助的結論，并在轉化過程中不斷地加以監(jiān)控和調節(jié)，最終得到需要的結論.不僅加強了學生的解題能力，更提升了學生數學思維的靈活性.

五、講題要講總結點，發(fā)展學生數學思維的廣泛性

例5 如圖所示，已知一次函數y1=k1x+6與反比例函數y2=k2x（x>0）的圖像交于點A，B，且A，B兩點的橫坐標分別為2和4.

（1）k1=，k2=.

（2）求點A，B，O所構成的三角形的面積.

分析 第1小題可以通過橫坐標的代入得到方程組來解答.

第2小題的解答如下：A（2，4），B（4，2）.

方法一 令直線AB與x軸、y軸交于點C，D.

S△AOB=S△AOC-S△BOC=12-6=6，

或者S△AOB=S△BOD-S△AOD=12-6=6.

方法二 AB=22，OA=OB=25，可知是等腰三角形，考慮作底邊AB上的高，根據三線合一得出AB的一半是2，運用勾股定理求出高是32，于是S△AOB=12×32×22=6.

方法三 作AE⊥x軸交OB于點G，BF⊥x軸，

S△AOB=S四邊形AOFB-S△BOF=S四邊形AOFB-S△AOE=S梯形AEFB=6.

方法四 S△AOB=S△AGO+S△AGB=12×AG×h1+12×AG×h2=12×AG×4=6.

方法五 由海倫公式p=12（a+b+c）=12×（25+25+22）=25+2，

S△AOB=p（p-a）（p-b）（p-c）=（25+2）×2×2×（25-2）=（20-2）×2=6.

有些教師對于此題講完方法一就結束，未能達到足夠的思維訓練.對于此類題可以通過開展數學活動，將學生分成若干組，比一比哪一組使用的解題方法多.一下子就把學生的興趣激發(fā)起來，學生在探究多種解法的活動中有意識地針對活動過程進行必要的總結，最后師生可以共同完成方法的總結，得出求面積的一般方法可以簡單記為：“面積公式、加加減減、尋找相似”.這樣的總結，讓學生不再是對面積的求法“只見樹木，不見森林”.講題后的總結可以是知識的總結、思想方法的總結、形式規(guī)范的總結、條理清晰的總結、解答嚴謹的總結、注意點的總結、例題變式的總結等.通過各種不同形式的總結，讓學生對題有一個再認識和反思的過程，能夠更好地促進知識的鞏固和生成，提升數學思維的廣泛性.

因此，在講題過程中，教師可以適當引入有關的情境，激發(fā)學生的興趣，讓學生積極參與到問題的思考中；通過小組合作交流，給予學生思維碰撞的時間和機會；通過啟發(fā)式教學，引導學生發(fā)現和理解知識方法的本質；通過學生的自主反思總結，鞏固和生成所學知識，提升數學思維能力.教學中還應該充分考慮到學生的已有知識儲備和不同思維能力，采取側重點不同的講解方法.例如，初一的題目注重加深知識理解，掌握基本方法.初二的題目注重探究合作，最后實現共同完成.初三的題目注重思維點撥，方法歸納，本質挖掘.對于難點的處理方式，我們可以通過幾何畫板的演示，相關知識材料的展示，表格的歸納呈現等手段為學生的思維搭建腳手架.在數學核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)過程中，數學抽象、邏輯推理、數學建模都是較高層次的能力.在教學中更要關注學生的思維起點和發(fā)展過程，促進數學思維能力的不斷提升.