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    過濾白噪聲地震動模型的CQC振型相關(guān)系數(shù)計(jì)算

    2018-03-20 09:38:28周曉青
    關(guān)鍵詞:震動振型噪聲

    王 剛,周曉青

    深圳大學(xué)土木工程學(xué)院,廣東深圳 518060

    目前,振型分解反應(yīng)譜法廣泛用于抗震設(shè)計(jì),利用抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中給出的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜,可方便地計(jì)算各振型地震反應(yīng)的最大值,并利用平方和開方(square root of the sum of the squares,SRSS)或完全二次型組合(complete quadratic combination,CQC)進(jìn)行振型組合.由于CQC法精度高,且簡單實(shí)用,因此得到廣泛應(yīng)用.現(xiàn)在常用的CQC振型組合系數(shù)公式是由KIUREGHIAN等[1-7]提出的,該公式基于地震動為零均值平穩(wěn)白噪聲的假設(shè),利用隨機(jī)振動理論推導(dǎo)而來.周錫元等[8-9]將其推廣到復(fù)模態(tài)分解反應(yīng)譜法,給出了復(fù)振型的完全二次型組合(complex complete quadratic combination, CCQC)組合系數(shù)計(jì)算公式.也是基于地震動為零均值平穩(wěn)白噪聲的假設(shè)推導(dǎo)出來的,即假設(shè)地震動輸入帶寬足夠大,可覆蓋對整體貢獻(xiàn)顯著的那些振型,當(dāng)這個假設(shè)不能滿足時,現(xiàn)行的CQC組合方法將無法達(dá)到足夠的精度.因此,更精確地考慮地震動模型有助于改善CQC組合[1-2,4].

    地震動模型常見的有過濾白噪聲模型,如Kanai/Tajimi模型[10-11],以及在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的各種功率譜模型[12-15].有關(guān)地震動模型,文獻(xiàn)[16]做了詳盡綜述.在文獻(xiàn)[4]中,KIUREGHIAN等將CQC組合方法進(jìn)一步擴(kuò)展到輸入為窄帶白噪聲的情況,此外,還考慮了被截?cái)喔唠A模態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)貢獻(xiàn),以及輸入截止頻率的影響等因素.CQC振型相關(guān)系數(shù)計(jì)算基于以下假設(shè):地震動為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程,結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)正比于相應(yīng)的根方差,且不同振型之間,振型最大反應(yīng)與根方差的比例常數(shù)相同.考慮過濾白噪聲地震動模型時,CQC組合的振型相關(guān)系數(shù)推導(dǎo)常常需要在頻域內(nèi)進(jìn)行積分,其結(jié)果變得復(fù)雜冗長[1],嚴(yán)重影響了實(shí)用性能.

    本研究給出了地震動為過濾白噪聲的情況下,CQC組合振型相關(guān)系數(shù)的一種新算法,這種方法避開了復(fù)雜冗長的頻域積分,計(jì)算簡潔實(shí)用,結(jié)果為精確解.

    1 CQC組合系數(shù)計(jì)算方法

    考慮地震作用下的結(jié)構(gòu)振動方程

    (1)

    (2)

    其中,γi=(φTiL)/(φTiMφi), 為振型參與系數(shù).

    其中,振型相關(guān)系數(shù)ρij的推導(dǎo)基于以下假設(shè):地震動為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程,結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)正比于相應(yīng)的根方差,且不同振型之間,振型最大反應(yīng)與根方差的比例常數(shù)相同.從而,

    (3)

    其中,

    (4)

    則式(3)還可以寫成

    (5)

    (6)

    這里,r=ωi/ωj為頻率比.

    考慮1輸入2輸出的線性系統(tǒng)

    (7)

    其狀態(tài)空間方程可以寫成

    (8)

    其中, (A,B,C,D)為相應(yīng)的系數(shù)矩陣,由于Hi(ω)和Hj(ω)是嚴(yán)格真有理函數(shù),所以D=0, 其余系數(shù)矩陣詳見后面討論;q是輸出向量,q=[qiqj]T;w是輸入,當(dāng)w是零均值白噪聲,且E(w2)=1時,輸出q的協(xié)方差矩陣[17]可寫成

    E[qqT]=CPCT

    (9)

    其中,P是如下Lyapunov方程的解

    AP+PAT+BBT=0

    (10)

    求解Lyapunov方程(10)已有成熟的算法[18-19],且在本文情況中方程(10)階數(shù)很低,計(jì)算量很小,容易求得P, 進(jìn)而由式(9)和式(3)求出振型相關(guān)系數(shù).理論上,該方法與計(jì)算積分(4)及式(5)方法等價(jià),是精確解[17].

    令(Ai,Bi,Ci,0)、 (Aj,Bj,Cj,0)和(Ag,Bg,Cg,Dg)分別為Hi(ω),Hj(ω)和G(ω)的狀態(tài)空間系數(shù)矩陣,則狀態(tài)方程(8)的系數(shù)矩陣分別為

    (11)

    以常見的Kanai/Tajimi模型為例,

    (12)

    其中,j表示虛部,相應(yīng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣為

    (13)

    Hi(ω),Hj(ω)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣為

    Cm=[1 0],m分別取i和j.

    (14)

    當(dāng)?shù)卣饎幽P蜑榘自肼晻r,G(ω)=1, 式(11)退化為只保留前兩行兩列分塊矩陣,按本算法計(jì)算結(jié)果與式(6)完全相同.

    當(dāng)?shù)卣饎幽P蜑槠渌^濾白噪聲類型時,只是濾波器G(ω)的具體形式,以及對應(yīng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣(Ag,Bg,Cg,Dg)有所不同,振型相關(guān)系數(shù)均可按本算法進(jìn)行計(jì)算.

    綜上,利用式(11)構(gòu)造矩陣A、B、C進(jìn)而求解Lyapunov方程(10),并利用式(9)和式(3)求出振型相關(guān)系數(shù).

    2 算 例

    Kanai/Tajimi模型取ωg=10 rad/s,ξg=0.65. 其功率譜密度函數(shù)如圖1,給出的El Centro地震波的功率譜密度作為參考.

    圖1 Kanai/Tajimi模型的功率譜密度函數(shù)Fig.1 Power spectrum density function of Kanai/Tajimi model

    由于矩陣A只有6×6階,Lyapunov方程(10)的求解耗時非常少,在實(shí)際結(jié)構(gòu)分析中其計(jì)算量完全可忽略不計(jì).

    圖2是在振型阻尼比ξi=ξj=0.05,ωj=5、 10、 20、 50、 100 rad/s,假設(shè)地震動為Kanai/Tajimi模型時,得到的振型相關(guān)系數(shù)ρij與r的關(guān)系曲線,作為對比,圖2中也給出了白噪聲模型下即式(6)的結(jié)果.

    從圖2可知,與白噪聲模型相比,假設(shè)地震動為Kanai/Tajimi模型時,在頻率比遠(yuǎn)離1的情形,振型相關(guān)系數(shù)不一定趨近于0;高階振型對整體的貢獻(xiàn)較白噪聲假設(shè)的結(jié)果顯著.這個結(jié)果與文獻(xiàn)[2]一致.

    圖2 振型相關(guān)系數(shù)與頻率比的關(guān)系曲線Fig.2 Modal correlation coefficient versus frequency ratio

    結(jié) 語

    本研究提出通過求解Lyapunov方程,得到CQC振型組合系數(shù)的方法,這種方法避開了在頻域里對有理分式的冗長積分結(jié)果,計(jì)算量小,算法成熟可靠,可用于解決常見的過濾白噪聲地震動模型問題.

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