考慮摩擦的空間抓捕過程碰撞動力學(xué)分析與控制

，，*

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動力學(xué)技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072 2. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072

隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展，空間機(jī)器人因其低風(fēng)險(xiǎn)、低成本等特點(diǎn)，在大型航天器組裝、故障衛(wèi)星維修、空間碎片清除等任務(wù)中將發(fā)揮越來越重要的作用?？臻g機(jī)器人在執(zhí)行空間抓捕任務(wù)時，除了與目標(biāo)產(chǎn)生法向碰撞外，還存在切向摩擦作用，這些作用將對機(jī)器人位姿產(chǎn)生影響，甚至破壞機(jī)器人與目標(biāo)的結(jié)構(gòu)，從而導(dǎo)致任務(wù)失敗。因此，對空間抓捕過程的動力學(xué)研究是執(zhí)行空間任務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)之一。但是目前的研究大多是針對碰撞進(jìn)行建模，而沒有考慮摩擦因素的影響[1-4]。在抓捕目標(biāo)的過程中，摩擦?xí)璧K機(jī)器人手爪和目標(biāo)接觸的相對運(yùn)動，影響接觸過程的動力學(xué)響應(yīng)，從而對空間抓捕過程中的分析與精確控制有著不容忽視的影響。因此，在進(jìn)行碰撞問題分析的同時，考慮摩擦因素的影響，對空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)過程中的動力學(xué)理論分析與控制具有十分重要的意義。

由于摩擦機(jī)理十分復(fù)雜，很難從數(shù)學(xué)上建立統(tǒng)一的模型，自16世紀(jì)Leonardo最先研究摩擦現(xiàn)象開始，至今已經(jīng)有數(shù)十種摩擦模型[5]。文獻(xiàn)[6-8]對空間機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)間隙的碰撞和摩擦進(jìn)行了研究，閻紹澤等[9]對多體系統(tǒng)間隙運(yùn)動副的碰撞及摩擦建模方法進(jìn)行了綜述，但這些研究均未涉及空間抓捕過程中機(jī)械臂末端執(zhí)行器與目標(biāo)表面間的摩擦建模。Wu等[10]對空間抓捕轉(zhuǎn)動目標(biāo)中的接觸動力學(xué)與控制進(jìn)行了研究，其中摩擦力采用鬃毛摩擦模型進(jìn)行建模，但是沒有分析摩擦因素對抓捕過程的影響。同時，在實(shí)際應(yīng)用中，鬃毛摩擦模型的參數(shù)辨識存在困難。張海博等[11]的研究中只考慮了滑動摩擦，沒有考慮粘滯摩擦的影響。

通常，摩擦模型可按照摩擦現(xiàn)象是否由微分方程描述分為動態(tài)摩擦模型(如鬃毛摩擦模型)和靜態(tài)摩擦模型(如庫倫摩擦模型)[12]。文獻(xiàn)[5]系統(tǒng)地介紹了幾種較為常用的摩擦模型，并對每一種模型的構(gòu)成、特點(diǎn)和適用范圍進(jìn)行了詳細(xì)論述。在實(shí)際應(yīng)用中，靜態(tài)摩擦模型參數(shù)辨識簡單，但是無法描述靜止?fàn)顟B(tài)的摩擦現(xiàn)象。動態(tài)摩擦模型能很好地對靜止?fàn)顟B(tài)的摩擦現(xiàn)象進(jìn)行建模，但是模型復(fù)雜，參數(shù)辨識非常困難。

從運(yùn)動學(xué)的角度考慮，靜止?fàn)顟B(tài)接觸面切向方向可看作一個約束，通過引入約束方程，結(jié)合拉格朗日乘子建立動力學(xué)方程，從而可以求解出靜摩擦力，這種方法被稱為接觸約束法或拉格朗日乘子法。與動態(tài)摩擦模型相比，這種方法無需考慮模型的參數(shù)辨識問題，應(yīng)用簡單。因此，本文結(jié)合拉格朗日乘子法和庫倫模型的特點(diǎn)，在切向滑動狀態(tài)根據(jù)庫倫摩擦理論進(jìn)行摩擦力建模，而在切向粘滯狀態(tài)利用拉格朗日乘子法求解摩擦力。這樣，既避免了動態(tài)摩擦模型參數(shù)辨識問題，又彌補(bǔ)了庫倫理論無法對粘滯狀態(tài)下摩擦力進(jìn)行建模的不足。將求解得到的摩擦力與基于Hertz接觸理論求得的碰撞力進(jìn)行合成，作為對碰撞模型的修正，從而計(jì)算抓捕過程中的動力學(xué)響應(yīng)。同時，針對抓捕完成后基座姿態(tài)的漂移問題，設(shè)計(jì)了控制器進(jìn)行穩(wěn)定控制。

1 空間機(jī)器人動力學(xué)模型

單臂剛性空間機(jī)器人系統(tǒng)的一般構(gòu)型如圖1所示。

其中，C0,C1,…,Cn分別表示基座和各個桿的質(zhì)心位置，J1,J2,…,Jn分別代表各個關(guān)節(jié)，OI-XIYIZI為空間慣性坐標(biāo)系，O-XYZ為原點(diǎn)在基座質(zhì)心的基座固連坐標(biāo)系，Oi-XiYiZi(i=1,2,…,n)分別為原點(diǎn)在各個關(guān)節(jié)的機(jī)械臂固連坐標(biāo)系。

圖1 空間機(jī)器人系統(tǒng)Fig.1 Space robot system

空間機(jī)器人系統(tǒng)總動能可寫為：

(1)

在空間微重力環(huán)境下，忽略空間機(jī)器人的重力勢能，則系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程為：

(2)

式中：Q為作用在系統(tǒng)上的廣義力。

將式(1)帶入式(2)，整理得：

(3)

則整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

(4)

2 碰撞模型

兩個物體碰撞過程中既存在法向方向的碰撞力，又有切向方向的摩擦力，一般認(rèn)為這兩種力之間耦合作用很小，兩者可以獨(dú)立建模[14]。本節(jié)首先建立基于Hertz接觸理論的碰撞力模型；其次，針對現(xiàn)有對空間抓捕碰撞過程摩擦因素考慮不足的問題，結(jié)合庫倫摩擦理論和拉格朗日乘子法建立摩擦力的計(jì)算模型，作為對碰撞模型的修正，同時給出了摩擦狀態(tài)轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則及轉(zhuǎn)換時刻的確定方法。

2.1 碰撞力建模

碰撞動力學(xué)的建模方法主要有沖量動量法、連續(xù)碰撞力法,以及基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限元法。其中，基于Hertz接觸理論的連續(xù)碰撞力法可以得到碰撞力在碰撞期間隨時間的變化規(guī)律，是研究碰撞機(jī)理的重要手段。

基于Hertz理論建立的碰撞力的表達(dá)式如下：

(5)

由式(5)可知，當(dāng)碰撞物體材料屬性已知，并知道嵌入深度時，則可計(jì)算出兩物體之間的碰撞力。從而進(jìn)一步計(jì)算出作用在機(jī)器人末端上的力和力矩，代入式(4)中，即可得到空間機(jī)器人在碰撞過程中的動力學(xué)響應(yīng)結(jié)果。

2.2 考慮摩擦的修正碰撞建模

兩個接觸物體之間切向運(yùn)動狀態(tài)分為粘滯狀態(tài)和滑動狀態(tài)。在粘滯狀態(tài)下，兩物體之間的摩擦力為靜摩擦力，滑動狀態(tài)下接觸物體之間為動摩擦力。經(jīng)典庫倫摩擦定律在求解滑動摩擦力時結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)辨識容易，但是無法求解靜摩擦力。而在粘滯狀態(tài)下，切向?yàn)橐粋€運(yùn)動學(xué)約束，利用拉格朗日乘子法可以求解靜摩擦力。

因此，本文摩擦力的建模方法是：滑動狀態(tài)下的動摩擦力仍采用經(jīng)典庫倫摩擦理論進(jìn)行建模，然后與碰撞力進(jìn)行矢量合成得到修正碰撞模型。而計(jì)算粘滯狀態(tài)下的靜摩擦力時，根據(jù)接觸物體切向的運(yùn)動學(xué)關(guān)系建立運(yùn)動學(xué)方程，再利用拉格朗日乘子法將其與系統(tǒng)動力學(xué)方程聯(lián)立，建立修正碰撞動力學(xué)模型。

(1)滑動狀態(tài)下的摩擦力

由經(jīng)典庫倫摩擦理論可知，滑動狀態(tài)下的摩擦力為：

Ff=-μFn

(6)

式中：μ為動摩擦系數(shù);Fn為法向碰撞力，負(fù)號表示摩擦力與切向運(yùn)動方向相反。

(2)粘滯狀態(tài)下的摩擦力

當(dāng)兩物體處于粘滯摩擦狀態(tài)時，切向可以看作一個接觸約束，并且粘滯摩擦力等于接觸約束力。下面推導(dǎo)這個約束力的計(jì)算公式。

設(shè)接觸點(diǎn)在機(jī)械爪上用P表示，在目標(biāo)上用T表示，則粘滯狀態(tài)下系統(tǒng)的約束方程為：

Y(q,qt,t)=Pτ-Tτ=0

(7)

(8)

將式(8)代入式(7)，可得：

(9)

聯(lián)立式(4)和式(9)，可以得到空間機(jī)器人在粘滯摩擦狀態(tài)下的修正碰撞模型，即：

(10)

式中：Q′為作用在空間機(jī)器人上除摩擦力以外的廣義力;λf為拉格朗日乘子，即靜摩擦力。由式(10)，可以求解出拉格朗日乘子λf為：

(11)

(3)滑動-粘滯狀態(tài)轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則及轉(zhuǎn)換時刻

兩個接觸物體在切向相對速度方向發(fā)生變化的時候會出現(xiàn)滑動-粘滯狀態(tài)的轉(zhuǎn)換，下面給出狀態(tài)轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則：假設(shè)在t0時刻處于粘滯狀態(tài)，利用式(11)計(jì)算出粘滯摩擦力，再將其與最大靜摩擦力作對比。若計(jì)算出的粘滯摩擦力小于最大靜摩擦力，則該時刻狀態(tài)為粘滯狀態(tài)，相應(yīng)的摩擦力即為粘滯靜摩擦力，此時可以直接進(jìn)行下一步計(jì)算；若大于最大靜摩擦力，則該時刻為滑動狀態(tài)，此時應(yīng)按照滑動狀態(tài)下摩擦力計(jì)算公式計(jì)算出動摩擦力，再進(jìn)行下一步計(jì)算。狀態(tài)轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則可以簡便表示如下：

式中：μs為靜摩擦系數(shù)。

滑動-粘滯狀態(tài)的轉(zhuǎn)換發(fā)生在兩物體切向相對速度為零的時刻；當(dāng)相鄰兩個時刻切向相對速度的方向發(fā)生變化時，中間必然存在速度為零的時刻。因此，當(dāng)切向相對速度發(fā)生改變時，可采用二分法，通過多次迭代，找出速度為零的時刻。

以上即為求解摩擦力的全部過程，當(dāng)求解出摩擦力后，將其與第2.1節(jié)求得的碰撞力進(jìn)行矢量合成，再帶入式(4)，即可求解空間抓捕過程中機(jī)器人的動力學(xué)響應(yīng)。圖2給出了整個抓捕過程的仿真流程。

圖2 抓捕過程仿真流程Fig.2 Flow chart of simulation

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所建立的模型及相應(yīng)算法，本節(jié)以圖3所示的模型進(jìn)行數(shù)值仿真?？臻g機(jī)器人由一個均質(zhì)正方體基座、兩個均質(zhì)連桿及末端執(zhí)行器構(gòu)成，其幾何尺寸與質(zhì)量特性見表1。限于篇幅，僅考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)鎖死的情況，并假設(shè)整個抓捕過程在XOY平面內(nèi)進(jìn)行。

圖3 抓捕初始位置示意Fig.3 Initial position for capture

物理參數(shù)基座1號桿2號桿長度/m1.001.001.00質(zhì)量/kg100.0010.0010.00轉(zhuǎn)動慣量Izz/(kg·m2)16.601.051.05

機(jī)器人手爪的構(gòu)型如圖3所示，兩只機(jī)器人手爪分別由兩根完全相同的剛性桿構(gòu)成，每根桿的長度均為0.3 m，質(zhì)量均為0.3 kg，轉(zhuǎn)動慣量均為0.15 kg·m2。目標(biāo)為圓柱體且軸線平行于慣性坐標(biāo)系中的OZ軸，目標(biāo)質(zhì)量為5 kg，底面圓半徑為0.15 m。機(jī)器人手爪和目標(biāo)的材料均為低碳鋼，其楊氏模量E1=E2=2.06×1011Pa，泊松比μ1=μ2=0.3。機(jī)器人基座在慣性坐標(biāo)系中的初始位置為[0 m,0 m,0°]T，初始速度為[0 m/s,0 m/s,0(°)/s]T。機(jī)械臂初始關(guān)節(jié)角度為[30°,-30°]T，且關(guān)節(jié)角在整個抓捕過程中保持不變，即基座和兩個桿可視為一個剛體。機(jī)器人手爪EA1與A1B1，EA2與A2B2之間的夾角均135°，且夾角不變。桿EA1和桿EA2相對于三號桿軸線的初始角度為[45°,-45°]，仿真開始后，兩只機(jī)器人手爪分別以1 rad/s的角速度向內(nèi)合攏。目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系中的初始位置為[2.6 m,0.5 m,0°]T，初始速度為[-0.1 m/s,0 m/s,0(°)/s]T。

抓捕開始后，兩只機(jī)器人手爪在作用于關(guān)節(jié)E上的控制力矩T的作用下逐漸合攏捕獲目標(biāo)，當(dāng)目標(biāo)被牢固捕獲后，目標(biāo)作用于關(guān)節(jié)E上的力矩與控制力矩T相等，抓捕結(jié)束?？刂屏貫椋?/p>

Ti=k×(ωr-ωzi),i=1,2

(12)

式中：k為常值系數(shù)；ωr和ωzi分別為手爪轉(zhuǎn)動的期望值和實(shí)際值。

圖4和圖5分別為抓捕過程中空間機(jī)器人在x方向和y方向的受力情況。從圖中可以看出，t=0.065 2 s，目標(biāo)與機(jī)器人手爪發(fā)生第一次碰撞，0.004 s后分離；t=0.115 9 s，目標(biāo)與手爪的另一端進(jìn)行了第二次碰撞，0.000 4 s后又一次分離。這樣反復(fù)幾次，直到機(jī)器人手爪每根桿均與目標(biāo)接觸。此后經(jīng)過多次連續(xù)碰撞，直至機(jī)器人手爪完全抓緊目標(biāo)，機(jī)器人的受力變?yōu)榱悖ゲ哆^程結(jié)束。

圖4 空間機(jī)器人x方向受力Fig.4 Reaction force on the x-coordinate of the space robot

圖5 空間機(jī)器人y方向受力Fig.5 Reaction force on the y-coordinate of the space robot

仿真考慮了兩組摩擦因素的影響，其中μ和μs分別是動摩擦因子和靜摩擦因子。由圖4和圖5可以看出，摩擦越大，抓捕過程中機(jī)器人的受力越小，且抓捕過程更快結(jié)束。

圖6分別為機(jī)器人基座姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的變化情況。從圖中可以看出，碰撞使得姿態(tài)角速度發(fā)生復(fù)雜的變化，且摩擦越小，變化越劇烈。抓捕完成后，基座姿態(tài)角速度保持常值，使得姿態(tài)不斷變大。

圖7為考慮第一組摩擦?xí)r整個抓捕過程中動量和角動量的變化情況。三幅圖分為為x方向、y方向線動量以及角動量的變化，其中藍(lán)線表示機(jī)器人和目標(biāo)總的動量和動量矩，紅線表示機(jī)器人系統(tǒng)的動量和動量矩，綠線表示目標(biāo)的動量和動量矩。由圖中結(jié)果可以看出，碰撞發(fā)生后，機(jī)器人和目標(biāo)的動量和角動量發(fā)生相應(yīng)變化。由于沒有外力作用，機(jī)器人和目標(biāo)整體的動量和角動量守恒，仿真結(jié)果說明了所建模型的正確性。

圖6 基座姿態(tài)角與角速度變化Fig.6 Attitude angular and angular velocity of the base

圖7 抓捕過程中的動量與角動量變化Fig.7 Linear and angular momentum in capture

由于抓捕過程中碰撞力的作用，空間機(jī)器人捕獲目標(biāo)后基座姿態(tài)會產(chǎn)生漂移，不利于后續(xù)操作。目前，針對空間機(jī)器人的姿態(tài)控制已有了大量研究[15-18]。這些文章都在傳統(tǒng)控制方法的基礎(chǔ)上，考慮了參數(shù)不確定等實(shí)際中可能出現(xiàn)的問題，結(jié)合魯棒、自適應(yīng)等理論對空間機(jī)器人控制進(jìn)行了研究。然而，當(dāng)空間機(jī)器人和目標(biāo)參數(shù)全部已知時，這些控制就會顯得復(fù)雜臃腫?；谖⒎謳缀蔚姆答伨€性化方法通過將復(fù)雜的空間機(jī)器人非線性動力學(xué)模型進(jìn)行線性化處理，使得控制器的設(shè)計(jì)變得簡單便捷，并可以實(shí)現(xiàn)各個方向的解耦控制。因此，本文基于反饋線性化的解耦控制方法，設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)對抓捕后組合體的穩(wěn)定控制。組合體的動力學(xué)方程與式(4)相似：

(13)

與式(4)相比，H′和C′中包含了目標(biāo)的質(zhì)量特性。在機(jī)械臂關(guān)節(jié)鎖死的情況下，F(xiàn)′為作用在基座上的控制力和控制力矩。

將式(13)寫成狀態(tài)空間方程的形式：

(14)

式中：u=F′為控制向量。

式(14)中的非線性存在于H′和C′中，根據(jù)反饋非線性思想，可設(shè)u=C′，此時，系統(tǒng)線性化為：

(15)

設(shè)廣義坐標(biāo)q的期望值為qd，偏差e=qd-q，則

u=H′v+C′

(16)

式中：

(17)

式中：kD和kP分別為微分系數(shù)矩陣和比例系數(shù)矩陣。

將式(16)代入式(14)中，可得：

(18)

可知，只要kD和kP正定，則e就可以趨于0，q就可以趨于期望值。

二階線性系統(tǒng)控制器參數(shù)可由極點(diǎn)配置的方法確定，在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)具體需要配置合適的極點(diǎn)。本文選取了3組控制器參數(shù)，使系統(tǒng)分別處于欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)，3組控制參數(shù)分別用No.1，No.2和No.3表示，取值見表2。抓捕完成后整個系統(tǒng)只剩下3個自由度，所以控制器參數(shù)取為三階對角陣。圖8展示了碰撞結(jié)束后對空間機(jī)器人基座姿態(tài)進(jìn)行控制后的結(jié)果。從仿真結(jié)果可以看出，碰撞結(jié)束后，在沒有進(jìn)行控制的情況下，機(jī)器人基座存在常值姿態(tài)角速度，姿態(tài)將會發(fā)散。而進(jìn)行了控制之后，經(jīng)過一段時間機(jī)器人基座姿態(tài)角速度變?yōu)榱?，姿態(tài)也回到原來的位置，即期望位置，這說明了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。而3組控制器的控制效果也各有不同，其中第1組為欠阻尼系統(tǒng)，響應(yīng)速度最快，但控制過程會出現(xiàn)較大的振蕩和超調(diào)。第2組相對阻尼系數(shù)接近于臨界阻尼，因此響應(yīng)較快，且不會出現(xiàn)振蕩和超調(diào)。第3組在控制過程中姿態(tài)角速度的變化最小，但控制時間最長。實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體情況選擇控制器系數(shù)，使控制響應(yīng)滿足工程要求。

表2 控制器參數(shù)取值

圖8 基座受控與無控條件下姿態(tài)角與角速度變化Fig.8 Attitude angular and angular velocity of the base with and without controller

4 結(jié)束語

空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)過程中的碰撞動力學(xué)一直是研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。本文主要針對空間單剛性臂機(jī)器人抓捕目標(biāo)過程中的碰撞動力學(xué)進(jìn)行了研究，重點(diǎn)是利用庫倫摩擦理論和拉格朗日乘子法建立了考慮摩擦的修正碰撞模型。從仿真結(jié)果可以看出，整個碰撞過程動力學(xué)響應(yīng)復(fù)雜，具有強(qiáng)非線性的特點(diǎn)；從動力學(xué)特性方面考慮，整個抓捕過程符合動量守恒；摩擦因素會造成碰撞系統(tǒng)的能量損失，使碰撞過程更快結(jié)束。抓捕完成后的機(jī)器人基座存在較大的姿態(tài)漂移，采用本文設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)ζ七M(jìn)行有效的穩(wěn)定控制。拉格朗日乘子法能很好地彌補(bǔ)庫倫摩擦定律對靜摩擦力建模的不足，但是其數(shù)值求解比較困難，特別是多點(diǎn)碰撞時系統(tǒng)矩陣維數(shù)變化情況復(fù)雜，不利于編程仿真，如何改進(jìn)其數(shù)值仿真效率，是未來的一個研究方向。

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