皮納衛(wèi)星編隊保持動力學分析

，，

1. 北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191 2. 北京控制工程研究所，北京 100190

近年來皮納衛(wèi)星由于其造價低廉，在編隊飛行中的應用日益普遍，國際上對分布式小衛(wèi)星系統(tǒng)技術要求水平不斷提高。編隊衛(wèi)星當前軌道控制精度一般為毫米級，姿態(tài)控制精度一般為0.5°，而國內(nèi)多顆小衛(wèi)星在軌運行中都出現(xiàn)了飛輪系統(tǒng)過早失靈的情況。

2015年起，歐洲對衛(wèi)星編隊的軌道控制精度要求達到了毫米以下，美國更是將編隊飛行控制精度提高到了微米甚至納米級[1]，早在2002年就于GRACE兩星串聯(lián)編隊上提出了距離與速率測量精度分別要達到1 μm和1 μm/s的要求，空間激光干涉引力波探測項目(Laser Interferometer Space Antenna，LISA)中3個航天器相互位置關系精度要求在米級以下，因此精度要求高于10-9[2]，超高精度的位置要求必需由超高精度的控制系統(tǒng)來完成。

場發(fā)射電推力器(Field Emission Electric Propulsion，F(xiàn)EEP)單個發(fā)射器推力為0.5～100 μN，通過設計安裝瞬間開關功能[3]，可以用于微牛頓量級的擾動補償系統(tǒng)；美國噴氣推進實驗室(Jet Propulsion Laboratory，JPL)研制的微型氙離子推力器，質(zhì)量僅有0.2 kg[4]，單臺壽命長達15 000 h以上。歐洲航天局(European Space Agency，ESA)和美國國家航空航天局(National Aeronautic and Space Administration，NASA)為滿足LISA先驅(qū)者任務的推力和載荷要求，研制出包含9個銦液態(tài)金屬離子源(Liquid Metal Ion Source，LMIS)的FEEP簇，每個LMIS攜帶銦15 g，最大推力100 μN，在結(jié)構(gòu)上集成前置電阻，使FEEP簇共用一個電源，這樣既滿足了推力分辨率，又增加了最大推力，整體質(zhì)量大大減少。

皮納衛(wèi)星編隊軌道控制精度的提高對于控制方法也有更高的要求。一般用C-W方程研究近距離衛(wèi)星編隊構(gòu)型的控制[5-7]，典型的控制方法有LQR方法、Lyapunov方法[7]、滑模方法[8-10]；文獻[8]采用了線性最小滑模誤差反饋法，用于抵抗飛行過程中遇到的大擾動；文獻[11]采用了基于視線角觀察值的編隊構(gòu)型保持方法；文獻[12]考慮了外部干擾下連續(xù)時間導航和制導混合的控制方法。上述控制方法的控制精度普遍在米級或者毫米級，不能滿足消除微小擾動、節(jié)省能量及延長在軌時間[13-14]的要求。而bang-bang控制方法對模型參數(shù)變化及各種干擾的響應能力都較強，可以對小推力器的推力小、系統(tǒng)響應慢，以及收斂時間長等不足進行彌補。

本文針對目前皮納衛(wèi)星在編隊飛行中只有毫米級控制精度，難以滿足對地定向等應用需求，提出了在小推力作用下的bang-bang高精度的編隊控制律，很好地解決了皮納衛(wèi)星編隊構(gòu)型保持問題，為皮納衛(wèi)星編隊構(gòu)型的設計提供理論指導。仿真表明，提出的控制方法不但可以使系統(tǒng)快速收斂，同時還能使皮納衛(wèi)星編隊的星間控制精度達到1 μm，與滑模控制律相比較，精度提高近103倍。

1 編隊構(gòu)型控制模型

1.1 編隊衛(wèi)星動力學方程

則，第i顆衛(wèi)星的動力學方程組表示為：

(1)

(2)

式中：扁率攝動系數(shù)取J2、J3、J4三項，見表1；fD=(fDx,fDy,fDz)；CD為阻力系數(shù)，自由分子流中取常數(shù)CD=2.2；S/m為衛(wèi)星的面質(zhì)比；ρ為衛(wèi)星所在空間的大氣密度；V=v-va為衛(wèi)星相對于大氣的運動速度；m′為第三體質(zhì)量，其他各量意義如圖1所示；p為太陽輻射壓強，取為常數(shù)p=4.65×10-6N/m2；RS為太陽方向，RS=(cosΛ,sinΛcosε,sinΛsinε)，其中，Λ為太陽在黃道上的黃經(jīng)；ε為黃赤交角，約為23°26′，太陽黃經(jīng)由歷法計算；k為材料吸光系數(shù)，取值如下：

表1 地球扁率攝動系數(shù)

nJn×10-6nmJnm×10-6λnm/(°)21082.630000221.81222-14.54503-2.535600312.207927.08004-1.632336320.37190-17.4649

圖1 三體力學模型簡圖Fig.1 Model of three-body problem

(3)

圖2 推力器分布示意Fig.2 Diagram of the thruster distribution

定義兩衛(wèi)星間的編隊構(gòu)型參數(shù)為：

編隊構(gòu)型參數(shù)的幾何意義如圖3所示。

圖3 編隊構(gòu)型參數(shù)(dF,αF,βF)幾何示意Fig.3 Geometric diagram of the formation parameters (dF,αF,βF)

圖3中dF為星間距離，αF為從星與主星的連線相對于xioiyi平面的夾角，βF為從星與主星的連線在xioiyi平面投影相對于oixi軸的夾角。

1.2 三軸解耦相對狀態(tài)方程

定義相對狀態(tài)矢量為：

(5)

式中：

則，衛(wèi)星編隊的相對動力學方程為：

(6)

編隊構(gòu)型參數(shù)穩(wěn)定可等價于保持相對狀態(tài)矢量穩(wěn)定在理想的相對狀態(tài)矢量：

(7)

改寫式(6)為：

(8)

式中：σk∈{-1,0,1}為分片常值函數(shù)，k=1,2,3。

(9)

將式(9)代入式(8)，得到相對動力學誤差模型：

(10)

(11)

式中：控制輸入σ∈{-1，0，1}，其他子系統(tǒng)類同。

1)對所有r>0都存在控制參數(shù)使得x0∈R2，且對所有t0∈R都存在T>0使得對所有t≥T都滿足φ(t,t0,x0)∈Br(0)；

2)在任意給定的較小時間間隔[t0,t1]內(nèi)，控制輸入σ都在有限次數(shù)內(nèi)完成。即必須在一個閉區(qū)間的時間間隔內(nèi)通過有限次數(shù)的開關完成編隊構(gòu)型保持。

2 基于bang-bang控制的連續(xù)-離散混合控制器

bang-bang控制將狀態(tài)空間(即相平面)分為兩個區(qū)域，分別對應于控制變量取正的最大值和取負的最小值，保證使軌跡趨向原點的切換頻率是有限的，由此可以提高推力器的分辨率，實現(xiàn)高精度控制。而bang-bang控制最短時間控制器的開關面設計，可以改善小推力對衛(wèi)星編隊快速機動的敏感不足。采用連續(xù)和離散狀態(tài)混合的控制律設計，能夠通過離散控制律的狀態(tài)減少推力器的開關切換次數(shù)，延長推力器工作壽命。

2.1 開關面設計

基于最短時間控制器得到切換面如下：

Γ+和Γ-分別為如圖4所示的兩塊區(qū)域，開關面表示為：

兩條開關線的表達式為：

(12)

為了消除滑模影響，增加開關線x2=0，組成區(qū)域Σ+和Σ-，該區(qū)域保證使軌跡趨向原點的切換頻率是有限的。

圖4 Γ+和Γ-的幾何意義Fig.4 Geometric diagram ofΓ+and Γ-

Σ+和Σ-如圖5所示，表達式為：

(13)

圖5 切換平面Σ+和Σ-Fig.5 Geometric diagram ofΣ+and Σ-

(14)

2.2 控制律

令0<δ1<δ2

(1)精度優(yōu)化控制律

提出一種混合控制律，運用離散狀態(tài)qi激活和反激活切換曲線Σ+和Σ-。

精度優(yōu)化控制律由圖6有限狀態(tài)機中虛線方框內(nèi)的過程給出，圖中Q={q1，q2，q3}為離散狀態(tài)，x∈R2為連續(xù)狀態(tài)，σ(·):Q→R為混合反饋，精度優(yōu)化控制律表示為：

(15)

參數(shù)選擇條件如下：

2)δ2的取值必須遠小于r，其值可以按如下條件選?。?/p>

當:

(16)

否則，

(17)

3)δ1是滿足小于δ2的正數(shù)，且δ1的取值會影響控制器式(15)的切換頻率，δ1越大會導致開關次數(shù)越多。

圖6 表示控制律的有限狀態(tài)機Fig.6 Finite-state machine of the control theory

(2)能量優(yōu)化控制律

假設穩(wěn)定階段只受攝動影響的小擾動，為節(jié)省燃料，減少推力器工作時間，延長在軌工作壽命，在控制律式(15)的基礎上添加最大容許誤差限η，當控制誤差Δdf小于η時，不施加控制；反之再施加控制，控制律實現(xiàn)過程由圖6整體描述，具體表示為：

(18)

其他相關參數(shù)的選擇同精度優(yōu)化控制律。

3 數(shù)值仿真

仿真條件如表2所示。

表2 仿真條件

3.1 精度優(yōu)化控制律仿真

根據(jù)精度優(yōu)化控制律式(15)進行仿真分析。

3.1.1 穩(wěn)定領域r變化的仿真討論

初始條件如表3所示。

表3 初始條件

圖7給出了星間距離dF隨時間的變化曲線，可看出最終星間距離穩(wěn)定在事先給定的2 m。

圖8分別給出了r取不同值時，穩(wěn)定階段的星間距離誤差ΔdF隨時間的變化曲線和衛(wèi)星某個正向推力器的開關狀態(tài)曲線。比較得出：

圖7 星間距離dF隨時間變化曲線Fig.7 Curve of the dF changing with the time

1)誤差dF保持在高精度范圍內(nèi)；

2)當r=0.001 8時，改變推力器開關狀態(tài)并不頻繁，且構(gòu)型保持階段推力器開啟時間只持續(xù)數(shù)秒；

3)穩(wěn)定區(qū)域半徑r取值越小，則星間距離誤差越小，但相應的推力器開關次數(shù)變的越頻繁。

圖8 r對穩(wěn)定階段的星間距離誤差ΔdF和推力器開關狀態(tài)的影響Fig.8 Curves of the ΔdF and the x-axis thruster′s states with different r

3.1.2 高中低軌飛行的控制精度分析

初始條件如表4所示。研究主星分別位于高、中、低軌時的飛行情況，并與滑?？刂品椒ㄟM行比較。

從圖9可以看出，4顆從星的編隊構(gòu)型的相軌跡能很快地收斂至原點，符合要求。

由圖10可以看出，在考慮攝動因素情況下，主星位于高、中、低軌時星間距離精度均能保持在30～50 μm范圍內(nèi)，而對比文獻[16]中采用的基于終端滑?？刂破?，最終達到0.002 455 m的精度，明顯本文方法更有優(yōu)勢。

表4 初始條件

由圖11可以看出，當4顆從星受到較大擾動偏離標準軌道時，采用本文控制方法后，衛(wèi)星很快回到目標軌道，并且構(gòu)型保持在穩(wěn)定范圍內(nèi)。

3.1.3 參數(shù)改變的影響分析

(1)不同軌道高度

在衛(wèi)星質(zhì)量8 kg條件下，改變參數(shù)δ1和δ2，仿真結(jié)果如表5所示。

圖9 Δvxb-Δxb分系統(tǒng)相平面構(gòu)型曲線Fig.9 Phase plane curve of theΔvxb-Δxb subsystem

圖10 各個從星距離誤差ΔdF隨時間變化曲線Fig.10 Curve of the ΔdF changing with the time

由表5可知：

1)本文控制律對各種高度軌道飛行器均有良好的控制特性；

2)隨著軌道高度減小，攝動力增大，所需推力也相應增大，若需達到高軌同樣的精度，推力器的切換頻率將大大增加；

3)調(diào)整δ1和δ2可以減小誤差，但相應推力器的切換頻率將會變大，且不施加控制的時間縮短，因此，需要兼顧切換頻率、控制時間及誤差。

(2)不同推力分辨率

當放寬對推力器推力分辨率及開關時間的要求，得到表6的結(jié)果。

表6說明推力器的推力越小，采樣時間越短，則誤差越小，在推力為0.03 mN時，軌道控制精度最小可以達到1 μm，目前小推力器最小推力已經(jīng)能夠達到微牛量級，所以星間距離精度有望達到納米級。

表5 仿真結(jié)果1

注：軌道高度n1為地球半徑(6 378 km)的倍數(shù)。

表6 仿真結(jié)果2

3.2 能量優(yōu)化控制律仿真分析

基于能量優(yōu)化控制律式(18)，以表5中的高軌為例，當星間距離穩(wěn)定在精度范圍內(nèi)10 s后一定時間內(nèi)不施加控制，當位置誤差大于要求精度時，再重新施加控制，得到仿真結(jié)果見表7。

由表7可知：

1)不施加控制的時間與推力大小無關，只與星間距離最大允許誤差有關；

2)當推力器的分辨率達到0.1 N時，星間距離的均方根誤差依然能達到0.2 mm左右，且星間距離誤差幾秒內(nèi)快速收斂；

3)星間距離的誤差范圍增大，可以使不施加控制的時間增長，但同時衛(wèi)星回到規(guī)定精度所需的時間和能量均需要增加；因此，需要權衡利弊使系統(tǒng)獲得性能最優(yōu)。

以表6中第1組第1種情況即推力0.03 mN,采樣間隔0.2 s為例進行仿真，結(jié)果如圖12所示。

表7 仿真結(jié)果3

圖12 各個從星星間距離dF隨時間變化曲線Fig.12 Curve of the dF changing with the time

由圖12可以看出，當星間距離誤差收斂到要求精度30 μm內(nèi)10 s后，不再對衛(wèi)星施加控制；在不控制區(qū)間，要求星間距離誤差不超過0.1 m，一旦超過0.1 m，控制系統(tǒng)重新啟動，星間距離誤差快速收斂，回到30 μm內(nèi)，循環(huán)往復。可以看出，一定時間不施加控制的方法，可以延長在軌壽命。

4 結(jié)束語

針對基于小推力高精度的皮納衛(wèi)星編隊構(gòu)型控制開展研究，結(jié)果如下：

1)根據(jù)小推力變化緩慢的控制特性，建立三軸解耦的相對狀態(tài)方程，分別對各子系統(tǒng)進行控制律設計；

2)采用時間最優(yōu)條件設計bang-bang控制器開關面，提高小推力推力器控制的快速響應特性；

3)通過有限狀態(tài)機設計精度優(yōu)化控制律，使其對軌道參數(shù)及攝動大小等的變化更具有魯棒性；

4)設置誤差門限控制推力器工作時間，設計能量優(yōu)化控制律，由此不但節(jié)省燃料，而且延長衛(wèi)星的在軌壽命；

5)本文提出的基于bang-bang控制的連續(xù)-離散混合控制方法使皮納衛(wèi)星編隊星間保持精度提高到1 μm，相比于滑模控制方法的保持精度提高103倍。

References)

[1] 林來興.分布式小衛(wèi)星系統(tǒng)的技術發(fā)展與應用前景[J].航天器工程，2010，19(1)：60-66.

LIN L X. Technological development and application prospects of distributed small satellite system[J].Spacecraft Engineering，2010，19(1)：60-66(in Chinese).

[2] 段君毅.場致發(fā)射電推力器工作性能及其發(fā)射機理研究[D].上海：上海交通大學，2011：9-17.

DUAN J Y. Research on operation characteristics and emission mechanism of field emission electric propulsion[D]. Shanghai：Shanghai Jiao Tong University，2011：9-17(in Chinese).

[3] SALVO M，ANGELO G，MARIANO A. Experimental performance of field emission micro-thrusters[J].Journal of Propulsion and Power，1998，14(5)：774-781.

[4] 林來興.現(xiàn)代小衛(wèi)星的微推進系統(tǒng)[J].航天器工程，2010，19(6)：13-20.

LIN L X. Micro-propulsion system for modern small satellites[J].Spacecraft Engineering，2010，19(6)：13-20(in Chinese).

[5] DUAN X D，BAINUM M P. Low-thrust autonomous control for maintaining formation and constellation orbits[C]∥AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit，Providence.Rhode Island：AIAA Press，2004，53(1)：65-82.

[6] 張楊，侯明善，劉永剛.衛(wèi)星編隊長期保持與控制比較研究[J].計算機仿真，2009，26(11)：41-45.

ZHANG Y，HOU M S，LIU Y G. A comparison of long-term keeping and control for satellite formation flying[J].Computer Simulation，2009，26(11)：41-45(in Chinese).

[7] 范林東，楊博，苗峻，等. 基于SiCMEMS陣列的高精度微納衛(wèi)星編隊保持[J]. 中國空間科學技術，2016，36(2):37-45.

FAN L D,YANG B,MIAO J,et al.High precision micro-nano satellite formation keeping based on SiC MEMS micro thruster array[J].Chinese Space Science and Technology,2016,36(2):37-45(in Chinese).

[8] CAO L，CHEN X. Input-output linearization minimum sliding-mode error feedback control for spacecraft formation with large perturbations[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part G Journal of Aerospace Engineering，2014，229(2)：352-368.

[9] 李程.橢圓軌道衛(wèi)星編隊保持控制算法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2014：21-34.

LI C. Algorithm on satellite formation keeping along eccentric orbit[D].Harbin：Harbin Institute of Technology，2014：21-34(in Chinese).

[10] 郭耀華. 基于一致性理論的衛(wèi)星編隊滑模/反步協(xié)同控制研究[D].北京：北京理工大學，2015：66-73.

GUO Y H. Sliding mode/backstepping coordinated control of satellite formation based on consensus theory[D].Beijing：Beijing Institute of Technology，2015：66-73(in Chinese).

[11] WU T H，LEE T. Spacecraft position and attitude formation control using line-of-sight observations[C]∥Decision and Control (CDC)2014 IEEE 53rdAnnual Conference on，Los Angeles,CA,USA:IEEE,2014:970-975.

[12] LEE D，VISWANATHAN S P，HOLGUIN L，et al. Decentralized guidance and control for spacecraft formation flying using virtual leader configuration[J].Proceedings of the American Control Conference，2013，343(6174)：4826-4831.

[13] 張?zhí)炱?，周昊澄，孫小菁，等.小衛(wèi)星領域應用電推進技術的評述[J].真空與低溫，2014，20(4)：187-192.

ZHANG T P，ZHOU H C，SUN X J，et al .Review of electric propulsion applicable to small satellites[J].Vacuum and Cryogenics，2014，20(4)：187-192(in Chinese).

[14] 田立成，王小永，張?zhí)炱?空間電推進應用及技術發(fā)展趨勢[J].火箭與推進，2015，41(3)：7-14.

TIAN L C，WANG X Y，ZHANG T P，et al. Application and development trend of space electric propulsion technology[J].Journal of Rocket Propulsion，2015，41(3)：7-14(in Chinese).

[15] RAO V G，BERNSTEIN D S. Naive control of the double integrator[J].IEEE Control Systems，2001，21(5)：86-97.

[16] 黃勇，李小將，王志恒，等.基于終端滑模的衛(wèi)星編隊飛行有限時間控制[J].空間科學學報，2014，34(1)：109-115.

HAUNG Y，LI X J，WANG Z H,et al. Finite-time control of satellite formation based on terminal sliding mode[J].Chinese Journal of Space Science，2014，34(1)：109-115(in Chinese).