等腰三角形解題中的基本模型及應(yīng)用

王莉莉

（浙江省紹興市新昌縣西郊中學(xué)，浙江新昌 312500）

引 言

等腰三角形是初中幾何知識(shí)的入門圖形，也是進(jìn)一步研究幾何知識(shí)的重要基礎(chǔ)，在中考中有著舉足輕重的地位，無論填空題、選擇題、解答題，都離不開這一核心知識(shí)的考查。但學(xué)生在初次涉及這類題型時(shí)，往往會(huì)對(duì)復(fù)雜多變的圖形感到迷惑，一頭霧水，無從下手。其實(shí)，不管如何復(fù)雜的圖形，本質(zhì)上都是由幾個(gè)基本圖形組合而成。因此，學(xué)會(huì)了剝離復(fù)雜圖形，掌握等腰三角形基本解題模型，解題自然水到渠成了。

一、等腰三角形基本解題模型

就八年級(jí)等腰三角形知識(shí)章節(jié)，筆者總結(jié)出如下四種解題時(shí)常用的模型。

圖1 角平分線+平行線模型

圖2 手拉手共邊模型

圖3 手拉手共頂點(diǎn)模型

圖4 兩圓一中垂模型

圖5 等腰（邊）三角形類弦圖模型

【模型1】角平分線+平行線模型，如圖1。該模型特征展示了等腰三角形底角平分線和過平分線一點(diǎn)平行底邊的直線。

【模型2】手拉手共邊（頂點(diǎn)）模型如圖2、圖3。該模型分兩類：（1）兩等腰三角形一腰重疊；（2）兩等腰三角形一頂點(diǎn)重合后旋轉(zhuǎn)任意角度變換得到多種圖形。

【模型3】兩圓一中垂模型，如圖4。該模型條件給出兩定點(diǎn)和一定直線，要求在直線上找一動(dòng)點(diǎn)滿足構(gòu)成等腰三角形。

【模型4】等腰（邊）三角形類弦圖模型，如圖5。該模型是以等邊三角形為背景圖，各邊截取等長線段構(gòu)造全等三角形和新的正三角形，同時(shí)也可以省略部分線段拓展更多圖形。

二、等腰三角形模型的應(yīng)用

（一）角平分線+平行線模型

例1.如圖6，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，AB=9，AC=8。求：(1)圖中有幾個(gè)等腰三角形；(2)AEF的周長，并說明理由。

分析：問題（1）的解題本質(zhì)在于發(fā)現(xiàn)角平分線+平行線會(huì)產(chǎn)生多個(gè)相等的角，且根據(jù)同一三角形中等角對(duì)等邊的性質(zhì)可以得到多個(gè)等腰三角形。

問題（2）中根據(jù)線段之間的等量替換，能夠順利將第二個(gè)求周長問題轉(zhuǎn)化為已知線段和的問題。因此，利用該模型解題效果事半功倍。

圖6

（二）手拉手共邊（頂點(diǎn)）模型

1.手拉手模型之一等腰三角形+等腰三角形（一腰重疊）

例2.如圖7，在等腰ΔABC中，AB=AC。

（1）AD是BC上 的 高 線，E是AC上一點(diǎn)，且AE=AD，若∠BAD=30°， 則∠EDC=____________ 。

（2）AD是BC上 的 高 線，E是AC上一點(diǎn)，且AE=AD，若∠BAD=40°，則∠EDC=_____________ 。

圖7

（3）思考：通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD 與∠EDC之間有什么關(guān)系？用等式表示。

（4）如果AD不是BC上的高線，AD=AE，那么∠BAD 與∠EDC之間是否仍有上述關(guān)系？請(qǐng)說明理由。

分析 ：問題（1）（2）通過已知一個(gè)角的度數(shù)和等腰三角形等邊對(duì)等角、三線合一性質(zhì)可快速解題。問題（3）給定具體的角度，通過直觀觀察兩角之間的數(shù)量關(guān)系可以歸納角與角之間的特殊規(guī)律，學(xué)生易得出結(jié)論。

問題（4）條件由特殊向一般改變，進(jìn)一步弱化條件，引導(dǎo)學(xué)生揭示這一類基本圖形具有的特殊規(guī)律，利用模型得出一般結(jié)論：兩個(gè)等腰三角形，一腰重疊則∠BAD =2∠EDC。

2.手拉手模型之二等腰三角形+等腰三角形（一頂點(diǎn)重疊）

例3.在等腰ΔABC中，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作三角形ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連結(jié)CE。

（1）如圖8，若∠BAC=90°，①求證ΔABD≌△ACE；②求∠BCE的度數(shù)。

（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，如圖9，猜想α、β之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明。

圖8

圖9

分析：以上兩個(gè)問題的解決都需要抓住圖形變化中ΔABD≌△ACE的不變性。兩個(gè)等腰三角形在共頂點(diǎn)模型中因?yàn)閷?duì)應(yīng)角度的和差相等關(guān)系不變，所以應(yīng)用（SAS）的全等判定方式判定全等不會(huì)改變。即使將兩個(gè)等腰三角形繞共點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度，構(gòu)造更為復(fù)雜的圖形，它們?nèi)跃哂腥炔蛔兊氖聦?shí)。通過應(yīng)用模型得出一般結(jié)論：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，頂點(diǎn)重合，三角形全等，∠BAC +∠BCE=180°。結(jié)合全等三角形的知識(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)知識(shí)的相輔相成。

（三）兩圓一中垂模型

例4.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠B=2∠A。

（1）求∠A和∠B的度數(shù)。

（2）BD是△ABC中∠ABC的平分線。①寫出圖10中與BD相等的線段，并說明理由。②直線BC上是否存在其他的點(diǎn)P，使△BDP為等腰三角形？如果存在，在圖11畫出所有滿足條件的點(diǎn)P，并直接寫出對(duì)應(yīng)的∠BDP的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

圖10

圖11

分析：本題第一小題考查等腰三角形邊角對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，學(xué)生容易解題。第二題是對(duì)等腰三角形有關(guān)邊、角基礎(chǔ)性質(zhì)的提高，是易錯(cuò)題。我們可以通過圖11的模型幫助學(xué)生尋找點(diǎn)P。當(dāng)BD是三角形的腰時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑畫圓，交直線BC與P1、P2；以D為圓心，BD長為半徑畫圓，交直線BC于P3；當(dāng)以BD為底時(shí)，作BD的中垂線與BC相交與P4。學(xué)生在解題中如果忽略對(duì)等腰三角形腰、底角不確定時(shí)的合理分類討論，就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，解題時(shí)教師應(yīng)幫助學(xué)生建立兩圓一中垂的分類討論模型，這樣就能輕松解決以邊、角不明確為共性的問題。

（四）等腰（邊）三角形類弦圖模型

例5.如圖12，點(diǎn)M、N分別在正△ABC的邊BC，AC上，且BM=CN，AM、BN交于點(diǎn)Q。

（1）求證∠BQM=60°。

（2）若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？

（3）若將題中的點(diǎn)M，N分別移動(dòng)到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？

圖12

圖13

圖14

分析：問題（1）是由圖14隱藏了線段CD改編而來，在圖14中我們利用等邊三角形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，根據(jù)(SAS)判定△ABE≌△BCF≌△CAD，再利用外角的性質(zhì)得到新構(gòu)成的三角形仍為正三角形。解答這道題的關(guān)鍵是利用圖14模型得到△ABM≌△BCN，同樣利用外角性質(zhì)得出∠BQM=60°的結(jié)論。問題（2）的條件結(jié)論互換不會(huì)影響解題的本質(zhì)方法。問題（3）是問題（2）的拓展，解答時(shí)應(yīng)抓住當(dāng)點(diǎn)M、N分別移動(dòng)到BC、CA的延長線上時(shí)，△ABM≌△BCN仍滿足。因此，在等邊三角形類弦圖的大框架下，改變部分條件，拓展延伸的問題，仍可借鑒此模型解題，教師可引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)萬變不離其宗的意義。

結(jié) 語

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要。”提煉基本模型是知識(shí)升華的過程。從上述例題中可以發(fā)現(xiàn)，等腰三角形的有關(guān)證明題采用模型角度進(jìn)行分析，便能降低解題難度。因此，理解和掌握以上所列舉的等腰三角形模型，對(duì)用等腰三角形知識(shí)的解題具有重要意義。它能促使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握?qǐng)D形本質(zhì)，促使學(xué)生更合理地找到解決問題的方向，促使學(xué)生生成更有效的學(xué)習(xí)方法[1]。

當(dāng)然,在等腰三角形的相關(guān)解題過程中，運(yùn)用模型時(shí)要靈活變通，不可過度依賴、生搬硬套，把模型固定化，把解題思路僵化。同時(shí)，我們?cè)诮忸}過程中可提煉的模型并不只有以上幾種，圖形千變?nèi)f化，知識(shí)層層疊加，我們只有以等腰三角形基本性質(zhì)為基礎(chǔ)，以基本模型為生長點(diǎn)，多觀察、多思考、多類比、多提煉總結(jié)，才能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。