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    格子Boltzmann方法在串列雙圓柱繞流數(shù)值模擬中的應(yīng)用研究

    2018-03-19 11:18:26陳維山龍曉軍
    船舶力學(xué) 2018年2期
    關(guān)鍵詞:格子圓柱間距

    周 凱,王 震,陳維山,龍曉軍

    (1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)械與電子工程學(xué)院,山東 泰安 271018;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,哈爾濱 150001)

    0 引 言

    格子Boltzmann方法是一種不同于傳統(tǒng)數(shù)值方法的流體建模和計(jì)算方法[1-3]。傳統(tǒng)的數(shù)值方法的基本思路是將宏觀控制方程進(jìn)行離散,然后利用數(shù)值求解的方法去求解該方程,例如有限差分、有限體積、有限元法等。格子Boltzmann方法的是基于分子運(yùn)動(dòng)學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué),在微觀粒子尺度上建立離散速度模型。在滿(mǎn)足質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒的基本條件下,通過(guò)粒子遷移和碰撞兩個(gè)微觀行為來(lái)反應(yīng)宏觀特性,這使得算法簡(jiǎn)化為對(duì)粒子遷移和碰撞的模擬。格子Boltzmann方法采用均勻的正交網(wǎng)格,使得網(wǎng)格算法的工作量大大簡(jiǎn)化,特別是在處理復(fù)雜曲邊界時(shí),結(jié)合更為準(zhǔn)確的邊界處理算法和多塊網(wǎng)格耦合算法,這種優(yōu)勢(shì)更加明顯。

    多個(gè)圓柱的繞流問(wèn)題在工程中是很常見(jiàn)的,例如海洋平臺(tái)支撐柱、橋墩和水底管路與流體之間的作用以及它們之間的相互作用。圓柱之間相互作用的存在使得此類(lèi)問(wèn)題比單圓柱繞流的情況要復(fù)雜得多。這類(lèi)問(wèn)題的早期研究多側(cè)重于對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察和圓柱力學(xué)參數(shù)的測(cè)量。近代以來(lái)數(shù)值模擬方法得到了巨大發(fā)展,此類(lèi)問(wèn)題可以用數(shù)值模擬的方法進(jìn)行研究,并取得了一定研究成果。

    Zdravkovich[4-5]等對(duì)不同排列方式的雙圓柱繞流問(wèn)題進(jìn)行了深入的實(shí)驗(yàn)研究。針對(duì)串列圓柱,研究發(fā)現(xiàn)了臨界間距的存在。當(dāng)兩圓柱間距小于該臨界值時(shí),上游圓柱沒(méi)有明顯的脫渦現(xiàn)象。這一臨界值約為3.5倍直徑。上下游圓柱尾流場(chǎng)速度分布在該臨界間距附近突然發(fā)生改變,上游圓柱出現(xiàn)渦脫落現(xiàn)象,兩柱之間速度和尾流速度都變大。隨著流體力學(xué)理論的完善和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,計(jì)算流體力學(xué)成為解決流動(dòng)問(wèn)題的重要工具。對(duì)串列圓柱繞流的數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)了與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象一致的結(jié)果,同時(shí)獲得了更多的流場(chǎng)細(xì)節(jié),模擬結(jié)果也更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果[6]。

    文章將基于格子Boltzmann方法,對(duì)流體的流動(dòng)和流固耦合作用進(jìn)行數(shù)值模擬。對(duì)邊界的處理,采用經(jīng)典的粒子反彈格式,即流體粒子在碰到固體邊界后速度反向。針對(duì)格子Boltzmann方法的均勻規(guī)則網(wǎng)格在處理曲邊界問(wèn)題時(shí)的缺陷,采用更為精確的邊界處理算法,讓流體粒子與固體的碰撞反彈過(guò)程在固體格點(diǎn)處發(fā)生。為提高計(jì)算效率,滿(mǎn)足固體周?chē)鄬?duì)較高的網(wǎng)格密度要求,開(kāi)發(fā)分塊網(wǎng)格耦合算法。以單個(gè)靜止圓柱繞流的已有研究結(jié)果為依據(jù),對(duì)本文的數(shù)值算法進(jìn)行驗(yàn)證。最后,對(duì)不同間距下靜止串列雙圓柱繞流問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬,研究不同情況下圓柱之間的相互作用以及尾流特征的變化。

    1 數(shù)值方法

    1.1 格子Boltzmann方法

    在格子Boltzmann方法中,粒子的運(yùn)動(dòng)由波爾茲曼方程描述

    其中:u 為流速速度,c=δx/δt,ωα是加權(quán)系數(shù),

    最終,可以得到粒子的動(dòng)力學(xué)演化方程:

    (1)碰撞過(guò)程:

    (2)遷移過(guò)程:

    粒子的運(yùn)動(dòng)分解為碰撞和遷移兩個(gè)過(guò)程。在遷移過(guò)程中,粒子沿eα方向運(yùn)動(dòng),與相鄰網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)交換;在碰撞過(guò)程中,粒子與來(lái)自不同方向的粒子進(jìn)行碰撞,在滿(mǎn)足質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒的條件下,重新構(gòu)造粒子分布函數(shù)。通過(guò)(5)式可以看出,粒子的碰撞方程是顯式可解的,遷移過(guò)程的計(jì)算量也較小,算法的編制相對(duì)簡(jiǎn)單。

    在粒子的分布函數(shù)確定后,流場(chǎng)的宏觀量可以表示為

    本文采用經(jīng)典二維九速度模型(D2Q9),將粒子速度離散為9個(gè)方向,即α的值有9個(gè),如圖1所示。不同方向的速度矢量表達(dá)式為

    圖1 二維9速度(D2Q9)模型Fig.1 The 2D,nine-velocity lattice(D2Q9)model

    1.2 多塊網(wǎng)格耦合算法

    不同于傳統(tǒng)的貼體網(wǎng)格處理方法,格子Boltzmann通常采用均勻結(jié)構(gòu)網(wǎng)格來(lái)劃分流場(chǎng),網(wǎng)格算法相對(duì)更容易實(shí)現(xiàn)。然而,在處理流固耦合問(wèn)題時(shí),固體壁面周?chē)鷮?duì)網(wǎng)格的密度要求較高,而遠(yuǎn)離壁面處這種要求相對(duì)較低,均勻網(wǎng)格顯然會(huì)造成計(jì)算量的浪費(fèi)。因此,研究多塊網(wǎng)格的耦合算法是必要的。本文在保證質(zhì)量連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)前提下,采用了多塊網(wǎng)格耦合的方法來(lái)處理流固耦合中的網(wǎng)格問(wèn)題。

    為簡(jiǎn)單起見(jiàn),文章以?xún)蓧K網(wǎng)格的耦合為例進(jìn)行分析。粗細(xì)網(wǎng)格的尺寸比m,而且在網(wǎng)格塊的計(jì)算中滿(mǎn)足 δx=δy=δt,粗細(xì)網(wǎng)格交界處的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)如圖2所示。

    前面已經(jīng)提到,運(yùn)動(dòng)粘度和無(wú)量綱松弛時(shí)間應(yīng)滿(mǎn)足(8)式。根據(jù)(8)式,為保證在交界處運(yùn)動(dòng)粘度的連續(xù),不同網(wǎng)格塊的無(wú)量綱松弛時(shí)間應(yīng)該滿(mǎn)足(9)式。

    圖2 不同網(wǎng)格塊交界處網(wǎng)格結(jié)構(gòu)Fig.2 Interface stucture between two blocks of different spacing

    其中:下標(biāo)f表示細(xì)網(wǎng)格,c表示粗網(wǎng)格??梢詫⑺俣确植己瘮?shù)分解為平衡部分和非平衡部分因?yàn)樵诰W(wǎng)格交界面上必須滿(mǎn)足速度和密度的連續(xù),因此

    圖3 網(wǎng)格耦合算法計(jì)算流程圖Fig.3 Flow chart of the computational procedure in the multi-block method

    文章采用的多塊網(wǎng)格尺寸比m=2,相鄰網(wǎng)格會(huì)有重合。粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格有部分節(jié)點(diǎn)是重合的,重合節(jié)點(diǎn)處可以利用(18)式和(19)式直接進(jìn)行數(shù)據(jù)的交換,其他未知點(diǎn)采用多點(diǎn)插值的方法得出,不同的插值方式對(duì)計(jì)算結(jié)果將產(chǎn)生不同的影響。計(jì)算流程如圖3所示,n表示當(dāng)前的時(shí)間步,箭頭后表示的是該步驟后得到的計(jì)算參數(shù)。

    1.3 曲邊界處理方法和作用力的提取

    在格子Boltzmann方法中,邊界條件的處理方法將直接關(guān)系到計(jì)算的精度和穩(wěn)定度。對(duì)于靜止的固體邊界,最常見(jiàn)的處理方法是切向速度為零的無(wú)滑移邊界條件。具體到格子Boltzmann方法中,入射粒子在碰到邊界后,速度方向變?yōu)橄喾捶较颍@種處理方法也被稱(chēng)為反彈格式。反彈格式在處理靜止邊界問(wèn)題上可以得到較好的效果。但是,由于格子Boltzmann方法多采用均勻結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,邊界處會(huì)出現(xiàn)鋸齒,只能采用加密網(wǎng)格的方法來(lái)提高對(duì)邊界的擬合精度,因此無(wú)法準(zhǔn)確擬合曲邊界。郭照立等[8-9]結(jié)合平直邊界的非平衡態(tài)外推格式,得到了一種曲邊界處理格式,這種格式通過(guò)在固體格點(diǎn)位置處執(zhí)行碰撞過(guò)程來(lái)確定碰撞后的分布函數(shù),可以獲得較好的效果。

    曲邊界處網(wǎng)格結(jié)構(gòu)如圖4所示。以s點(diǎn)代表固體格點(diǎn),f代表流體格點(diǎn),w代表固體邊界點(diǎn)。本文所采用的方法假定碰撞在s處執(zhí)行,分析以一個(gè)方向的處理為例,其他方向的處理方法類(lèi)似。在固體點(diǎn)s處,將碰撞前的分布函數(shù)分解為平衡態(tài)feq和非平衡態(tài)fneq兩部分

    圖4 曲邊界示意圖Fig.4 Schematic description of curved wall boundary

    其中,平衡態(tài)部分采用粒子的平衡分布函數(shù)近似

    對(duì)于(21)式中的非平衡部分,可表示為

    至此,碰撞前固體點(diǎn)的分布函數(shù)就確定了。然后,根據(jù)LBGK碰撞模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)碰撞,可以得到碰撞后的分布函數(shù)

    在處理流固耦合問(wèn)題中,固體的受力參數(shù)往往是問(wèn)題的目標(biāo)參數(shù),因此流體與固體相互作用力的提取是必要的。本文采用動(dòng)量交換法來(lái)計(jì)算流體與圓柱之間的相互作用力,即通過(guò)計(jì)算流體粒子與壁面發(fā)生碰撞前后的動(dòng)量變化量,根據(jù)動(dòng)量定理來(lái)計(jì)算粒子所受的流體作用力。在格子Boltzmann方法中,在與壁面碰撞前粒子的動(dòng)量可以表示為

    與壁面碰撞后粒子速度反向,其動(dòng)量可以表示為

    其中的負(fù)號(hào)表示與α方向的相反方向。

    由此,可以計(jì)算出流體粒子所受的作用力。根據(jù)經(jīng)典牛頓力學(xué)中相互作用力的性質(zhì),二者大小相

    同而方向相反。因此,通過(guò)作用力沿壁面的積分就可以得到固體所受的作用力,具體形式為

    進(jìn)而可以得出圓柱的阻力系數(shù)Cd和升力系數(shù)Cl:

    其中:FD和FL分別是圓柱所受的流體作用力在順流方向和橫流方向的分量,U為來(lái)流速度。

    2 數(shù)值方法驗(yàn)證

    為驗(yàn)證算法的可靠性,本文在耦合網(wǎng)格下對(duì)Re=200靜止單圓柱繞流問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬,其中雷諾數(shù)Re=DU/v,D為圓柱直徑,U為來(lái)流速度,v是流體的運(yùn)動(dòng)粘度。計(jì)算區(qū)域的劃分和網(wǎng)格劃分情況如圖5所示。在網(wǎng)格密度要求較高的圓柱周?chē)捎贸叽巛^小的網(wǎng)格塊,其他區(qū)域采用尺寸相對(duì)較大的網(wǎng)格塊。 細(xì)網(wǎng)格區(qū)域取即一倍直徑D分為50個(gè)格子,粗網(wǎng)格區(qū)域網(wǎng)格尺寸是細(xì)網(wǎng)格區(qū)域的2倍,即網(wǎng)格尺寸比m=2。網(wǎng)格塊尺寸間距和時(shí)間步大小的確定兼顧了計(jì)算的精度和效率。靜止單個(gè)圓柱繞流問(wèn)題已經(jīng)有較多的理論研究、實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值模擬研究成果,通過(guò)與已有結(jié)果對(duì)比可以驗(yàn)證本文算法的可靠性。

    本文數(shù)值模擬結(jié)果如圖6所示。圓柱表面發(fā)生了周期性的脫渦現(xiàn)象,正負(fù)渦從圓柱上下表面交替脫落。由圓柱升阻力系數(shù)曲線(xiàn)可以看出,其升阻力系數(shù)曲線(xiàn)呈現(xiàn)周期性震蕩,Cd的頻率是Cl頻率的兩倍,這是因?yàn)槊總€(gè)周期脫落了一個(gè)正渦和一個(gè)負(fù)渦。

    圖5 計(jì)算區(qū)域的劃分Fig.5 The division of computational domain

    圖6 單網(wǎng)格下圓柱繞流計(jì)算結(jié)果Fig.6 The results of single cylinder with single grid block

    表1是本文結(jié)果與文獻(xiàn)研究成果的比較,可以看出本文結(jié)果和文獻(xiàn)結(jié)果符合得較好。其中的Strouhal數(shù)是表征圓柱脫渦情況的重要參數(shù),定義為

    其中:f為圓柱的脫渦頻率,U為自由來(lái)流速度。

    表1 結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of results

    3 串列雙圓柱相互影響研究

    對(duì)于靜止單個(gè)圓柱的繞流問(wèn)題,流場(chǎng)特征和圓柱受力情況主要依賴(lài)于雷諾數(shù)Re。對(duì)于串列雙圓柱繞流問(wèn)題,除了雷諾數(shù)之外,兩圓柱中心間距比L/D的影響也是關(guān)鍵的(L為前后圓柱中心間距,D為圓柱直徑)。

    3.1 計(jì)算區(qū)域和網(wǎng)格劃分

    本文在耦合網(wǎng)格下對(duì)Re=200串列雙圓柱繞流問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬,計(jì)算區(qū)域的劃分如圖7所示。計(jì)算區(qū)域分為兩部分,兩個(gè)圓柱周?chē)捎贸叽巛^小的細(xì)網(wǎng)格,離圓柱較遠(yuǎn)的區(qū)域采用尺寸較大的粗網(wǎng)格。粗網(wǎng)格區(qū)域取粗細(xì)網(wǎng)格尺寸比 m=2。

    圖7 計(jì)算區(qū)域的劃分Fig.7 The division of computational domain

    3.2 計(jì)算結(jié)果分析

    本文對(duì)圓柱中心間距比L/D=1.5、2.0、3.0和4.0的情況進(jìn)行了數(shù)值模擬。不同間距比下的上下游圓柱升力系數(shù)曲線(xiàn)、阻力系數(shù)曲線(xiàn)、流場(chǎng)渦量等值線(xiàn)和流場(chǎng)流線(xiàn)如圖8~11所示。

    圖8 L=1.5D情況下雙圓柱計(jì)算結(jié)果Fig.8 The results of two cylinders with L=1.5D

    圖11 L=4.0D情況下雙圓柱計(jì)算結(jié)果Fig.11 The results of two cylinders with L=4.0D

    本文將不同間距下上下游圓柱升力系數(shù)、阻力系數(shù)和Strouhal數(shù)進(jìn)行了匯總,并和文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,如表2所示。這三個(gè)參數(shù)是表征圓柱受力情況的重要參數(shù),可以作為判斷數(shù)值模擬結(jié)果可靠性的依據(jù)??梢钥闯?,本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)計(jì)算值基本相符。

    表2 結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of results

    綜合數(shù)值模擬結(jié)果可以看出臨界間距的存在(3.0<L/D<4.0)。當(dāng)間距小于該臨界值時(shí),上游圓柱的分離剪切層附著在下游圓柱上,只有下游圓柱有脫渦現(xiàn)象。此時(shí),下游圓柱的阻力系數(shù)較小且小于零。當(dāng)兩圓柱間距超過(guò)該臨界值時(shí),上下游圓柱都產(chǎn)生明顯的渦脫落,且升力系數(shù)最大幅值都變大,平均阻力系數(shù)也突然變大,特別是對(duì)下游圓柱而言,由一個(gè)負(fù)值變到一個(gè)較大的正值。

    具體來(lái)看,當(dāng)L/D=1.5、2.0(小于臨界值)時(shí),下游圓柱的阻力系數(shù)為負(fù)值,即下游圓柱并沒(méi)有受到與來(lái)流方向相同的阻力,而是受到了與來(lái)流方向相反的推力。L/D=1.5、2.0時(shí),兩柱的升力系數(shù)幅值都比較小,尤其上游圓柱尾流受到限制,其升力系數(shù)幾乎為零。當(dāng)間距比增大到4.0(大于臨界值)時(shí),兩圓柱阻力系數(shù)和升力系數(shù)都突然增大。上游柱的升力系數(shù)振幅突然增大至0.8左右,下游圓柱的升力系數(shù)振幅增至更大的值。下游圓柱的阻力系數(shù)由負(fù)值變?yōu)檩^大的正值,但其依然比上游柱的阻力系數(shù)小,每個(gè)圓柱的阻力系數(shù)也都小于單柱繞流時(shí)的阻力系數(shù)。由升阻力系數(shù)變化曲線(xiàn)還可以看出,升力振動(dòng)正負(fù)幅值相等,即圓柱所受升力合力為零。另外,上、下游圓柱的渦脫落頻率保持相等,但都較單圓柱繞流小。從Strouhal數(shù)的變化趨勢(shì)可以看出,當(dāng)間距比跨越臨界間距值時(shí)Strouhal數(shù)會(huì)突然增大,而隨著兩圓柱間距的繼續(xù)增大,Strouhal數(shù)接近于單一圓柱繞流情況。

    4 結(jié) 論

    本文基于格子Boltzmann方法,結(jié)合多塊網(wǎng)格耦合算法和曲邊界處理算法,對(duì)雷諾數(shù)Re=200條件下的靜止串列雙圓柱繞流進(jìn)行了數(shù)值模擬。數(shù)值模擬得到了和已有研究成果一致的結(jié)果,驗(yàn)證了臨界間距的存在。當(dāng)兩圓柱間距小于該臨界值時(shí),上游圓柱沒(méi)有明顯脫渦現(xiàn)象,下游圓柱出現(xiàn)周期性脫渦;當(dāng)間距大于該臨界值時(shí),上游圓柱開(kāi)始出現(xiàn)周期性脫渦,而下游圓柱所受的升、阻力系數(shù)明顯提高,并且下游圓柱阻力方向發(fā)生了突變。不同間距下兩圓柱受力參數(shù)和脫渦情況與已有研究成果符合得較好。

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