微分中值定理相關(guān)證明方法分類小結(jié)

【摘要】微分中值定理是《高等數(shù)學(xué)》中的重要內(nèi)容，是一組揭示函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系的公式，這組公式對于利用某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所具有的性質(zhì)（局部性質(zhì)）去推斷該函數(shù)本身應(yīng)具有的性質(zhì)（整體性質(zhì)）是極為重要的。在各類大型考試中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考點(diǎn)，因此掌握這方面的解題方法和技巧十分關(guān)鍵。

【關(guān)鍵詞】微分中值定理 證明方法 高等數(shù)學(xué)

【Abstract】Differential Mean Value Theorem is an important theoretical in the higher mathematics.Differential Mean Value Theorem is a group of formula that reveals the intrinsic link between function and its derivative， the formula for the use of the derivative of a function have the properties （local properties） to infer the nature of the function itself should have （overall nature） is extremely important.It is important to test sites，so master problem？鄄solving methods and techniques in this regard is very important.

【Keywords】Differential Mean Value； Proof Method； Higher Mathematics

【中圖分類號】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）04-0100-02

引言

微分中值定理是微分學(xué)理論的重要組成部分，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁作用，也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶，因而在微分學(xué)中占有很重要的地位。利用微分中值定理不僅可以推出后面有關(guān)導(dǎo)數(shù)的各種應(yīng)用方法，而且利用它們還可以求解、證明許多問題。但是這些問題往往是數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，也是考研問題中的考查重點(diǎn)，牽涉類型較為復(fù)雜，本文擬就微分中值定理（包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理）的相關(guān)求解、證明問題加以梳理總結(jié)，通過對題目的分類分析，幫助學(xué)生們熟練掌握這部分內(nèi)容。

1.常見問題方法總結(jié)

微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，而且它也是微分學(xué)的理論核心，有著廣泛的應(yīng)用。以下分類總結(jié)有關(guān)問題的求解證明思路和方法。

1.1證明不等式

例1證明不等式■>1+■-■ （x>0）

證：利用泰勒公式展開

∵■=（1+x）■=1+■+■·■（■-1）x2+■·■（■-1）（■-2）（1+θx）■x3=1+■-■+■（1+θx）■x3 （0<θ<1）

∴■>1+■-■ （x>0）

小結(jié)：證明不等式方法多樣，通常利用單調(diào)性進(jìn)行證明。但是特殊情況下可能會利用中值定理，如拉格朗日、柯西和泰勒中值定理來加以證明，有時可以利用凹凸性等方法，相同的一道題可以有多種解法。

1.2 求極限

對于有些求極限的題， 如果使用洛必達(dá)法則，求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算量很大。微分中值定理為求這樣一些較難的極限提供了一種簡單而有效的方法。其方法是對極限題中的某些部分構(gòu)造輔助函數(shù)，使用微分中值定理，然后求出極限。

例2計(jì)算

解：∵ex=1+x2 +x4+o（x4） cosx=1-++o（x5）

∴ex+2cosx-3=（+2·）x4+o（x4）

原式==

小結(jié)：求極限常用的兩種方法。

（1）選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)及極限的迫斂性求得最終結(jié)果。

（2）利用泰勒中值定理展開函數(shù)后求解。

1.3 證明方程根的存在性和唯一性

例3 若f（x）在[a， b]上連續(xù)，在（a， b）內(nèi)可導(dǎo)（a>0），證明：在（a， b）內(nèi)方程2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f '（x）至少存在一個根。

證：令F（x）=[f（b）-f（a）]x2-（b2-a2）f（x）

顯然F（x）在[a， b]上連續(xù)，在（a， b）內(nèi)可導(dǎo)，而且

F（a）=f（b）a2-b2f（a）=F（b）

根據(jù)羅爾定理，至少存在一個ξ，使

2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2） f '（x）

至少存在一個根。

小結(jié)：根的存在性和唯一性問題中如果涉及導(dǎo)數(shù)，往往可以利用中值定理來證明：構(gòu)造函數(shù)G（x），使G'（x）=f（x）-g（x），借助于羅爾定理證明根的存在性。而證明根的惟一性，常用函數(shù)的單調(diào)性或用反證法（利用拉格朗日中值定理）完成。

1.4證明有關(guān)等式

在證明一些出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)和中值的等式時，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏?，考慮應(yīng)用微分中值定理加以證明。我們在證明一些與中值定理有關(guān)的題目時，構(gòu)造輔助函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。在遇到高階導(dǎo)數(shù)或多個中值的證明問題時，可能需要多次使用中值定理或者可以直接考慮利用泰勒中值定理。

例4設(shè)f（x）在[a， b]上連續(xù)，在（a， b）內(nèi)可導(dǎo)，0

證： 由于0

由于f（x），g（x）在[a， b]上滿足柯西中值定理 ，所以？堝？濁∈（a， b）使=？圯（b+a）== f'（ξ），ξ∈（a， b）

由上面二式可得？堝ξ，？濁∈（a， b）使得：f'（ξ）=f '（？濁）

. 小結(jié)：大體上說，證明在某區(qū)間內(nèi)成立某種等式的方法是：

（1）用兩次拉格朗日中值定理。

（2）用一次拉格朗日中值定理，一次羅爾中值定理。

（3）兩次柯西中值定理。

（4）用一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理。

（5）直接用泰勒公式在相關(guān)點(diǎn)展開。

2.結(jié)論

無論是對數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，無論是研究生入學(xué)考試還是更深層次的學(xué)術(shù)研究，中值定理都占有舉足輕重的作用，因而對其進(jìn)行較深層次的挖掘與探討就顯得很有必要。通過以上對微分中值相關(guān)證明求解問題的總結(jié)，可以幫助學(xué)生尤其是考研的同學(xué)梳理知識脈絡(luò)，熟悉典型問題，以達(dá)到對這部分內(nèi)容深入學(xué)習(xí)的目的。

參考文獻(xiàn)：

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[4]林鴻釗、李德新，證明微分中值命題的一般輔助多項(xiàng)式法[J]，高等數(shù)學(xué)研究，2012

作者簡介：

張喆（1979～），女，副教授，研究方向：組合最優(yōu)化。