從力與運(yùn)動(dòng)的角度來理解彈性碰撞

李學(xué) 錢莉莉 王聰聰

摘 要：“碰撞”模型是動(dòng)量、能量知識(shí)綜合應(yīng)用的典型模型，難度較大，特別是彈性碰撞的碰后速度表達(dá)式復(fù)雜難記。本文另辟蹊徑，從力與運(yùn)動(dòng)的角度對(duì)碰撞過程進(jìn)行一定的理想化處理，便于“碰撞”模型的理解和掌握。

關(guān)鍵詞：彈性碰撞；碰撞；動(dòng)量守恒定律

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2018）2-0060-2

“碰撞”模型是動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用的典型模型，高考對(duì)此處的要求為Ⅱ類要求。一般實(shí)際高中物理教學(xué)中，作如下處理：

從碰撞過程中機(jī)械能是否守恒的角度，將碰撞分為彈性碰撞、完全非彈性碰撞和介于兩者之間的一般碰撞。

彈性碰撞遵循動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，示例如圖1：

mv+0=mv'+mv'mv+0=mv+mv

聯(lián)立解得v'=vv'=v，然后分別討論

①m>m時(shí)，v'>0，v'>0②m=m時(shí)，v'=0，v'=v③m0④m>>m時(shí)，v'≈v，v'≈2v⑤m<

完全非彈性碰撞遵循動(dòng)量守恒定律，機(jī)械能損失最多，示例如圖2：

m1v1+0=（m1+m2）v'm1v+0=（m1+m2）v'2+ΔE

一般碰撞遵循動(dòng)量守恒定律，機(jī)械能損失小于完全非彈性碰撞。

如上所述，實(shí)際教學(xué)中一般都按照教材的示例，以一運(yùn)動(dòng)小球與一靜止小球碰撞為例進(jìn)行教學(xué)。但是，在習(xí)題中經(jīng)常遇到兩球都有速度的碰撞，這時(shí)好多學(xué)生會(huì)直接套用一運(yùn)動(dòng)小球與一靜止小球碰撞的討論結(jié)果，而沒有意識(shí)到兩球都有速度的情景跟一運(yùn)動(dòng)小球與一靜止小球碰撞是不一樣的，導(dǎo)致無法正確解決問題。為了解決這種問題，好多教師就會(huì)補(bǔ)充兩球都有速度的碰撞：

彈性碰撞遵循動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，如圖3所示：

mv+mv2=mv'+mv'mv+mv=mv+mv

聯(lián)立解得v'=v+vv'=v+v

完全非彈性碰撞遵循動(dòng)量守恒定律，機(jī)械能損失最多，如圖4所示：

m1v1+m2v2=（m1+m2）v'm1v+mv=（m1+m2）v'2+ΔE

一般碰撞遵循動(dòng)量守恒定律，機(jī)械能損失小于完全非彈性碰撞。

很明顯，兩球都有速度的彈性碰撞碰后速度v1′、v2′的表達(dá)式過于繁雜，兩球碰前速度v1、v2可能同向又可能反向，導(dǎo)致了表達(dá)式中速度的正負(fù)號(hào)的復(fù)雜性。如此復(fù)雜的表達(dá)式很難記憶，又因?yàn)闆]有分析碰撞的具體過程，學(xué)生對(duì)于表達(dá)式難以理解，不容易取得好的教學(xué)效果。

筆者從力與運(yùn)動(dòng)的角度對(duì)碰撞過程進(jìn)行一定的理想化處理，對(duì)碰撞過程進(jìn)行分析，更有利于“碰撞”模型的理解和掌握。

如圖5所示，光滑水平面上速度為v1的小球m1與速度為v2的小球m2發(fā)生碰撞（v1>v2），因?yàn)関1>v2，相同時(shí)間內(nèi)m1前進(jìn)的位移大于m2前進(jìn)的位移，m1擠壓m2，m1減速，m2加速，兩球接觸的區(qū)域形變變大，直到兩球達(dá)到相同速度v′，接觸形變最大。

若此處發(fā)生的是完全塑性形變，兩球不再擠壓，一起以共同速度v′做勻速直線運(yùn)動(dòng)，碰撞結(jié)束，為完全非彈性碰撞，損失機(jī)械能轉(zhuǎn)化為小球的內(nèi)能：

m1v1+m2v2=（m1+m2）v'm1v+mv=（m1+m2）v'2+ΔE

？圯v'=

若此處發(fā)生的是完全彈性形變，將兩球的相互作用力與此處形變視作一般線性關(guān)系[2]，則此時(shí)形變最大，具有最大的彈性勢(shì)能，接下來m1繼續(xù)減速，m2繼續(xù)加速，m1的速度開始小于m2的速度，相同時(shí)間內(nèi)m1前進(jìn)的位移小于m2前進(jìn)的位移，兩者逐漸分開，當(dāng)兩小球完全恢復(fù)原狀時(shí)，兩者脫離，碰撞結(jié)束，彈性形變儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，為彈性碰撞。因?yàn)閷汕虻南嗷プ饔昧εc此處形變視作一般線性關(guān)系，所以形變恢復(fù)過程與形變形成過程呈對(duì)稱關(guān)系，也就是說這兩個(gè)過程中兩球的速度變化量是一樣的，設(shè)形變恢復(fù)過程或者形變形成過程中m1的速度變化量為Δv1，m2的速度變化量為Δv2（如圖6所示），則彈性碰撞的末速度表達(dá)式為：

Δv=v'-vΔv=v'-v

v'=v+2Δv=2v'-vv'=v+2Δv2=2v'-v

？圯v'=2-vv'=2-v

？圯v'=v1+vv'=v1+v

如上所述，將彈性碰撞之間相互作用力與彈性形變視作一般線性關(guān)系，巧妙利用形變恢復(fù)過程與形變形成過程的對(duì)稱關(guān)系，將形變過程中的速度改變量Δv與物體碰前速度進(jìn)行疊加即可獲得物體碰后速度，利用碰撞過程的v-t圖能夠更加直觀地展示各物理量間的邏輯關(guān)系，學(xué)習(xí)起來更為直接和簡(jiǎn)單，也更容易取得好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理 （選修3-4）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]吳世永，田寶國(guó)，李慧，周鳴宇.兩彈性體碰撞過程的分析研究[J].大學(xué)物理，2014，33（2）：15-18.

（欄目編輯 羅琬華）