空間繩系組合體拖曳動(dòng)力學(xué)分析及振動(dòng)控制

王 班，郭吉豐，易 琳,3，周衛(wèi)華，樊星星

(1. 杭州電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州 310018；2. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，杭州 310027;3.廣東電網(wǎng)有限公司電力科學(xué)院, 廣州 510080)

0 引 言

在軌捕獲技術(shù)在空間在軌服務(wù)及空間碎片捕獲等方面具有重要意義。為適應(yīng)非合作目標(biāo)物的捕獲需求，柔性捕獲的概念逐漸成為近年來(lái)研究的熱點(diǎn)之一[1-3]?？臻g繩系捕獲系統(tǒng)作為柔性捕獲的典型代表，一般采用任務(wù)平臺(tái)+空間系繩+末端捕獲裝置的方式，其中末端捕獲裝置可以是繩網(wǎng)或飛爪。末端捕獲裝置捕獲到目標(biāo)物后，任務(wù)平臺(tái)與目標(biāo)物通過(guò)空間柔性系繩連接，組成一空間繩系組合體，而后通過(guò)任務(wù)平臺(tái)的噴氣推力將組合體拖曳至指定的墳?zāi)管壍缽亩瓿烧麄€(gè)捕獲離軌任務(wù)。

針對(duì)空間繩系組合體的拖曳離軌的研究近年逐漸廣泛起來(lái)。文獻(xiàn)[4]提出了一種包含加速、平衡、旋轉(zhuǎn)和返回的4階段繩系組合體離軌方案，并進(jìn)行了仿真分析，為工程實(shí)現(xiàn)提供了技術(shù)思路；文獻(xiàn)[5-7]主要對(duì)拖曳過(guò)程中的組合體進(jìn)行了多個(gè)自由度之間的耦合分析。文獻(xiàn)[8]根據(jù)最優(yōu)控制理論，利用連續(xù)常值推力實(shí)現(xiàn)了圓形軌道間的軌道轉(zhuǎn)移。針對(duì)拖曳過(guò)程中組合體的擺動(dòng)問(wèn)題，不少學(xué)者進(jìn)行了控制策略研究。文獻(xiàn)[9-10]主要針對(duì)拖曳過(guò)程中組合體的擺動(dòng)問(wèn)題，分別設(shè)計(jì)了分層滑?？刂破骷案唠A滑?？刂破鳎晃墨I(xiàn)[11]進(jìn)一步在張力受限條件下，基于分層滑?？刂破髟O(shè)計(jì)了欠驅(qū)動(dòng)張力控制律，實(shí)現(xiàn)拖曳繩系組合體姿態(tài)穩(wěn)定控制；文獻(xiàn)[12]考慮張力下限約束，利用直接配點(diǎn)法設(shè)計(jì)了繩長(zhǎng)加速率最優(yōu)控制律；文獻(xiàn)[13]對(duì)拖曳繩系系統(tǒng)進(jìn)行了擺動(dòng)分析，構(gòu)造了使組合體擺動(dòng)衰減的期望繩長(zhǎng)收放速率并據(jù)此設(shè)計(jì)了一種閉環(huán)張力控制律，對(duì)拖曳過(guò)程中的擺動(dòng)進(jìn)行抑制。上述研究在空間繩系組合體拖曳離軌的初步方案、動(dòng)力學(xué)特性及以擺動(dòng)抑制為控制目標(biāo)的穩(wěn)定控制方面做出了貢獻(xiàn)。然而，由于系繩彈性的影響及目標(biāo)物初始速度的擾動(dòng)，組合體沿系繩方向會(huì)出現(xiàn)一定的振動(dòng)現(xiàn)象，給任務(wù)平臺(tái)帶來(lái)較大的沖擊，并有可能導(dǎo)致系繩的松弛，進(jìn)而引起系繩纏繞，這是拖曳過(guò)程中所不允許出現(xiàn)的，必須采取一定的控制策略對(duì)拖曳過(guò)程中的組合體進(jìn)行縱向振動(dòng)控制。

本文以切向連續(xù)推力作用下的空間拖曳繩系組合體為研究對(duì)象，利用拉格朗日方程建立組合體面內(nèi)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)無(wú)系繩收放控制的組合體橫向擺動(dòng)與縱向振動(dòng)進(jìn)行耦合分析，提出一種雙閉環(huán)振動(dòng)控制策略，并進(jìn)行仿真分析與地面實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 空間繩系拖曳組合體動(dòng)力學(xué)建模及分析

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，任務(wù)平臺(tái)質(zhì)量為m1，目標(biāo)物質(zhì)量為m2，兩者由系繩連接，系繩自然長(zhǎng)度為l0，考慮彈性形變的系繩長(zhǎng)度為l，組合體的質(zhì)心O運(yùn)行在軌道半徑為R的圓形軌道上，ω為軌道角速度，OeXY為地心慣性坐標(biāo)系，Oxy為組合體質(zhì)心軌道坐標(biāo)系，系繩與x軸夾角為θ，拖曳過(guò)程中，任務(wù)平臺(tái)作用有沿組合體質(zhì)心軌道切向的常值連續(xù)推力F。作如下基本假設(shè)：

(1) 拖曳繩系組合體運(yùn)動(dòng)在二維平面內(nèi)，暫不計(jì)面外運(yùn)動(dòng)的影響；

(2) 任務(wù)平臺(tái)和目標(biāo)物都當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行處理，不計(jì)其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響；

(3) 系繩為輕質(zhì)材料，且直徑較小，質(zhì)量可忽略不計(jì)；

(4) 小推力模式下，軌道高度R及軌道角速度ω變化幅度極小，分析時(shí)將這兩項(xiàng)視為常量；

(5) 不計(jì)大氣阻力、太陽(yáng)光壓及日月引力等攝動(dòng)的影響。

根據(jù)拉格朗日方程可得空間拖曳繩系組合體的面內(nèi)動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

其中m=m1m2/(m1+m2)為組合體等效質(zhì)量，T為系繩張力，對(duì)于不同材質(zhì)的系繩張力T具有不同的形式。這里采用線性彈簧阻尼模型，并考慮到系繩只能受拉不能受壓，有：

(2)

其中

δ=l-l0

(3)

為系繩彈性形變，k和c分別表示系繩線性剛度和阻尼系數(shù)。由于系繩長(zhǎng)度是可變化的，系繩線性剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)與系繩原長(zhǎng)成反比[14-15]，所以有：

(4)

其中，E為系繩彈性模量，A為系繩橫截面積，cc是繩長(zhǎng)為標(biāo)定長(zhǎng)度lc的系繩阻尼系數(shù)，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測(cè)定。

式(1)中的第一式為空間拖曳繩系組合體縱向振動(dòng)方程，第二式是空間拖曳繩系組合體橫向擺動(dòng)方程。由式(1)可知，空間拖曳繩系組合體的縱向振動(dòng)與橫向擺動(dòng)相互耦合，在拖曳過(guò)程中將表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

1.2 擺振耦合分析

針對(duì)無(wú)系繩收放控制的空間拖曳繩系組合體(即系繩原長(zhǎng)l0保持恒定)進(jìn)行擺振耦合分析。令：a=F/m1,L0=l0+ma/k,x=l-L0有：

(5)

應(yīng)用多尺度法，設(shè)式(5)的解為：

(6)

將式(5)中的sinθ、cosθ及1/(L0+x)做如下展開(kāi)

(7)

將式(6)和式(7)代入式(5)并比較ε的一次冪有：

(8)

式(8)的解即為方程(5)的一階近似解，由式(8)可知橫向擺動(dòng)方程中耦合的縱向振動(dòng)項(xiàng)系數(shù)大小為2ω/L0，縱向振動(dòng)方程中耦合的橫向擺動(dòng)項(xiàng)系數(shù)大小為2ωL0，由于L0一般較大(100米以上)，所以2ω/L0?2ωL0。即無(wú)系繩收放控制時(shí)，空間拖曳繩系組的橫向擺動(dòng)與縱向振動(dòng)存在耦合，且擺動(dòng)對(duì)縱向振動(dòng)影響較大而縱向振動(dòng)對(duì)橫向擺動(dòng)影響較小。

以上分析與仿真結(jié)果表明，無(wú)系繩收放控制的空間拖曳繩系組合體，橫向擺動(dòng)對(duì)縱向振動(dòng)的耦合作用較大，在組合體拖曳過(guò)程中的穩(wěn)定控制中，一般需要先將擺動(dòng)控制到平衡點(diǎn)附近，而后再進(jìn)行組合體縱向振動(dòng)控制。

2 縱向振動(dòng)控制

2.1 控制策略

前面分析已知，由于耦合作用，對(duì)拖曳繩系組合體一般先進(jìn)行橫向擺動(dòng)控制而后進(jìn)行縱向振動(dòng)控制，接下來(lái)將以組合體的縱向振動(dòng)控制為目標(biāo)進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

(9)

即當(dāng)組合體的橫向擺動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，短時(shí)內(nèi)組合體的縱向振動(dòng)不受質(zhì)心軌道運(yùn)動(dòng)及橫向擺動(dòng)的影響，組合體的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為任務(wù)平臺(tái)及目標(biāo)物質(zhì)心沿軌道坐標(biāo)系x軸的一維運(yùn)動(dòng)，并設(shè)二者相對(duì)于軌道坐標(biāo)的速度分別為v1、v2。考慮通過(guò)安裝在任務(wù)平臺(tái)上的系繩收放裝置控制系繩張力T實(shí)現(xiàn)組合體的振動(dòng)抑制。

系繩收放裝置樣機(jī)所使用的電機(jī)為兩相導(dǎo)通型三相六狀態(tài)方波無(wú)刷直流電機(jī)，設(shè)U、Ia、ra、La和Ke分別為兩相電樞繞組兩端電壓、電機(jī)電流、相間電阻、相間電感和電機(jī)常數(shù)。由于電機(jī)轉(zhuǎn)速較高，一般需配合減速器才能匹配負(fù)載特性，設(shè)減速器的減速比為i，傳動(dòng)效率為η，由電機(jī)電壓平衡方程并結(jié)合電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩可得

(10)

其中，φ為卷筒旋轉(zhuǎn)角度，卷取系繩方向?yàn)檎?，釋放系繩方向?yàn)樨?fù)，r為卷筒半徑，τc為卷筒受到的庫(kù)侖摩擦力矩，b為黏性摩擦系數(shù)。

由式(3)可知任務(wù)平臺(tái)與目標(biāo)物之間的距離減去它們之間的系繩原長(zhǎng)得到的就是系繩的彈性形變，當(dāng)彈性形變?yōu)樨?fù)數(shù)時(shí)表示系繩自然長(zhǎng)度大于任務(wù)平臺(tái)與目標(biāo)物之間的質(zhì)心距離，系繩處于松弛狀態(tài)，此時(shí)δ為系繩松弛部分的長(zhǎng)度。將式(3)兩邊同時(shí)取時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)有：

(11)

由式(9)-(11)可得繩系組合體系統(tǒng)關(guān)于δ、φ、Ia的狀態(tài)方程：

(12)

其中，系繩張力T由式(2)給出，系統(tǒng)以任務(wù)平臺(tái)的推進(jìn)力F以及電機(jī)的電壓U作為輸入，包含系繩收放裝置的組合體模型傳遞函數(shù)可設(shè)為W(s)。空間拖曳繩系組合體的控制目標(biāo)是通過(guò)對(duì)系繩張力T的控制使任務(wù)平臺(tái)和目標(biāo)物以相同的速度運(yùn)動(dòng)，二者速度差Δv=0，形成穩(wěn)定組合體。

任務(wù)平臺(tái)與目標(biāo)物之間的質(zhì)心距離即為系繩實(shí)際長(zhǎng)度l，所以有

(13)

代入式(9)可得

(14)

其中Km=m/m1=m2/(m1+m2)為目標(biāo)物與組合體的質(zhì)量比，可設(shè)計(jì)阻尼控制律，令

(15)

則系繩釋放速度將會(huì)按照指數(shù)形式衰減穩(wěn)定在零點(diǎn)，此時(shí)

T=KTpΔv+KmF

(16)

其中KTp=mK為速度衰減系數(shù)，質(zhì)量比Km為噴氣力補(bǔ)償系數(shù)。另一方面，系繩收放裝置是張力的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，需通過(guò)電機(jī)電壓實(shí)現(xiàn)張力的跟蹤，據(jù)此設(shè)計(jì)的雙閉環(huán)振動(dòng)控制系統(tǒng)如圖4所示。設(shè)置速度差期望值Δvd=0，與實(shí)際速度差比較后經(jīng)比例控制器(比例系數(shù)為KTp)，外環(huán)輸出經(jīng)前饋補(bǔ)償器補(bǔ)償后作為張力控制內(nèi)環(huán)的輸入?yún)⒖糡d，將張力參考輸入與張力反饋比較得到張力控制偏差輸入張力環(huán)PID控制器，控制器的輸出量為驅(qū)動(dòng)電機(jī)電壓U，與推進(jìn)力F共同作用于空間拖曳繩系組合體。

2.2 算例仿真分析

仍以GEO軌道的拖曳繩系組合體為例，組合體初始參數(shù)設(shè)置為與1.2節(jié)中的參數(shù)相同，系繩收放裝置根據(jù)研制的樣機(jī)做如下參數(shù)設(shè)置：電機(jī)額定電壓U=12 V，電機(jī)常數(shù)Ke=1.4×10-2V/(rad·s-1)，相間電感La=4.64×10-5H，相間電阻ra=0.36 Ω，減速器效率η=0.81，減速比i=12，卷筒半徑r=0.03 m，卷筒庫(kù)倫摩擦力矩τc=8.31×10-2N·m，粘性摩擦系數(shù)b=8.9×10-5N·m/(rad·s-1)。

任務(wù)平臺(tái)與目標(biāo)物初始存在速度差Δv=0.5 m/s時(shí)的仿真結(jié)果已在1.2節(jié)給出，如圖3所示。由仿真結(jié)果可知系繩大部分時(shí)間處于松弛狀態(tài)，系繩松弛時(shí)較易發(fā)生纏繞現(xiàn)象，應(yīng)極力避免，且此時(shí)系繩所受沖擊力較大(約為134 N)。

任務(wù)平臺(tái)與目標(biāo)物初始速度差同樣設(shè)置為Δv=0.5 m/s，采用雙閉環(huán)控制的仿真結(jié)果如圖5所示。系繩最大張力由134 N降到16 N左右，極大地減小了沖擊力；初始時(shí)刻目標(biāo)物與任務(wù)平臺(tái)之間的相對(duì)速度最大，速度環(huán)輸出的張力給定也為最大，系繩對(duì)兩個(gè)剛體的拉力作用越大相對(duì)速度減速效果也越明顯，相對(duì)速度以指數(shù)函數(shù)衰減至0，得到的結(jié)果與2.1節(jié)中理論分析結(jié)果一致；系繩收放裝置一共釋放了約16 m長(zhǎng)的系繩，其放繩動(dòng)作極大地減小了系繩伸長(zhǎng)速率，達(dá)到了抑制振動(dòng)的緩沖效果，且系繩一直保持張力非負(fù)的繃緊狀態(tài)，表明所提出的雙閉環(huán)振動(dòng)控制策略是有效的。

2.3 地面驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

組合體振動(dòng)控制地面實(shí)驗(yàn)示意圖如圖6所示，對(duì)于重錘，由牛頓定律有

(17)

而式(9)可以寫(xiě)成如下形式

(18)

式(17)與式(18)具有相同的表達(dá)形式，根據(jù)動(dòng)力學(xué)相似性，可以用如圖6(a)所示的重錘下落實(shí)驗(yàn)在地面重力環(huán)境下驗(yàn)證所提出的組合體振動(dòng)控制策略的有效性。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖6(b)所示，主要由系繩收放裝置、電機(jī)驅(qū)動(dòng)器、數(shù)字控制系統(tǒng)、模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊(ADC)、系繩、重錘和位移檢測(cè)系統(tǒng)組成。系繩收放裝置固定在高度0.76 m的實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，實(shí)驗(yàn)臺(tái)兩端安裝有摩擦阻力很小的滑輪，系繩從系繩收放裝置引出在兩端滑輪間來(lái)回纏繞數(shù)圈以增加實(shí)驗(yàn)中系繩的長(zhǎng)度，系繩末端懸掛有一端面水平的重錘。激光位移傳感器固定于重錘的上方，無(wú)接觸測(cè)量重錘端面的位移，激光位移傳感器可以輸出數(shù)字或模擬信號(hào)，模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)ADC模數(shù)轉(zhuǎn)換后可以輸入控制系統(tǒng)，數(shù)字信號(hào)則可通過(guò)RS485通訊方式將位移信息傳輸至計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理和記錄。

作為比對(duì)，首先將電機(jī)電磁剎車抱死使卷筒不能自由轉(zhuǎn)動(dòng)并切斷電機(jī)電源，將重錘從高處自由下落模擬組合體初始存在速度差的情形。無(wú)張力控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示，在t=0.7 s時(shí)刻質(zhì)量為0.9 kg的重錘從493 mm的高度自由下落，到t=0.9 s時(shí)到達(dá)420 mm高度系繩開(kāi)始張緊并產(chǎn)生張力，重錘穿過(guò)400 mm高度的平衡位置后開(kāi)始減速直至到達(dá)最低點(diǎn)370 mm高度，系繩張力也達(dá)到最大約22 N，此后重錘回彈振動(dòng)(最大振幅約為20 mm)大約2個(gè)周期后穩(wěn)定在張力與重力平衡的位置，整個(gè)過(guò)程持續(xù)1 s左右。可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)張力控制情況下，系繩受到重錘下落的沖擊力較大，沖擊后縱向振動(dòng)幅度也較大。

將電機(jī)電磁剎車抱閘打開(kāi)并接上電機(jī)電源，通過(guò)系繩收放裝置對(duì)重錘進(jìn)行雙閉環(huán)振動(dòng)控制，重復(fù)以上實(shí)驗(yàn)過(guò)程得到雙閉環(huán)控制作用下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。重錘開(kāi)始下落后控制系統(tǒng)通過(guò)驅(qū)動(dòng)電機(jī)釋放系繩來(lái)減緩重錘下落速度帶來(lái)的沖擊，張力控制系統(tǒng)根據(jù)速度環(huán)給定的張力值控制系繩張力，隨著重錘速度減小張力也逐漸減小，最后到達(dá)平衡位置。從圖8(a)中可以看到最終重錘平衡位置比圖7(a)中下降了70 mm，推算張力控制機(jī)構(gòu)釋放了約70 mm長(zhǎng)的系繩，通過(guò)釋放此70 mm的系繩使組合體的縱向振動(dòng)被完全抑制，實(shí)現(xiàn)了組合體的快速穩(wěn)定。從8(b)可知系繩最大張力則控制在10 N左右，與無(wú)張力控制結(jié)果相比，重錘對(duì)系繩的沖擊力大大減小，實(shí)現(xiàn)了防沖擊的振動(dòng)控制目標(biāo)。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)切向推力作用下的空間繩系組合體的拖曳離軌問(wèn)題，進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模、擺振耦合分析及組合體振動(dòng)控制策略研究，得到如下結(jié)論：

(1) 空間繩系組合體面內(nèi)拖曳過(guò)程中，擺動(dòng)與縱向振動(dòng)相互耦合。無(wú)系繩收放控制條件下，組合體的橫向擺動(dòng)對(duì)縱向振動(dòng)的耦合作用較強(qiáng)，縱向振動(dòng)對(duì)組合體的橫向擺動(dòng)耦合作用較弱。

(2) 無(wú)系繩收放控制條件下，組合體初始橫向擺動(dòng)會(huì)導(dǎo)致縱向振動(dòng)，而初始縱向振動(dòng)導(dǎo)致橫向擺動(dòng)幅度很小，可忽略不計(jì)。因此，空間拖曳繩系組合體在分步穩(wěn)定控制中，一般應(yīng)先進(jìn)行擺動(dòng)控制，再進(jìn)行振動(dòng)控制。

(3) 針對(duì)空間兩航天器之間存在相向情況下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，提出一種以張力控制為內(nèi)環(huán)和速度差控制為外環(huán)的雙閉環(huán)振動(dòng)控制策略，通過(guò)系繩的張力控制實(shí)現(xiàn)任務(wù)平臺(tái)與目標(biāo)物的同向同速運(yùn)動(dòng)，可有效減小系繩沖擊并避免系繩松弛。

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