航天器近距離交會的固定時間終端滑?？刂?/h1>

2018-03-16 08:52:02馬廣富董經(jīng)緯李傳江姜博嚴(yán)

宇航學(xué)報訂閱 2018年2期 收藏

關(guān)鍵詞：平衡點航天器滑模

袁 利，馬廣富，董經(jīng)緯，李傳江，姜博嚴(yán)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引 言

航天器近距離交會是空間任務(wù)中的一項關(guān)鍵技術(shù)，如在軌服務(wù)、空間攔截以及大型空間結(jié)構(gòu)的組裝等，這些任務(wù)不僅需要追蹤航天器能夠快速準(zhǔn)確地跟蹤并接近目標(biāo)航天器，且在交會對接的近距離段需要追蹤航天器的姿態(tài)伴隨軌道機(jī)動進(jìn)行同步的機(jī)動或跟蹤，因此要求對追蹤航天器進(jìn)行六自由度的位姿耦合控制才能完成任務(wù)。為了提高此階段的控制性能，國內(nèi)外學(xué)者針對不同的航天任務(wù)提出了很多六自由度位姿控制算法，比如文獻(xiàn)[1]提出的非線性PD控制算法，文獻(xiàn)[2]基于滑?？刂坪头e分反步法分別設(shè)計的控制器，文獻(xiàn)[3]提出的基于滑?？刂频目焖倮@飛控制算法等。

但上述的六自由度位姿控制器只能保證航天器位置和姿態(tài)漸近穩(wěn)定，即理論上系統(tǒng)狀態(tài)只能在無窮的時間內(nèi)收斂到平衡點。相比之下，有限時間控制方法不僅可以提高系統(tǒng)狀態(tài)在接近平衡點位置時的收斂速度，而且能在理論上實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間內(nèi)穩(wěn)定。此外有限時間控制還具有精度高、抗干擾能力強等優(yōu)點，因此受到廣泛的關(guān)注并取得了大量的成果。目前有限時間控制器的設(shè)計方法大體可以分為三類：即齊次方法[4]，加冪積分方法[5-6]和終端滑模方法[7]。相比于前兩種方法，終端滑模具有能分析系統(tǒng)魯棒性，能估算收斂時間上界，且設(shè)計過程簡單，參數(shù)選取自由度大等優(yōu)點，因此被廣泛地應(yīng)用到航天器控制中[8-10]。但傳統(tǒng)終端滑?？刂拼嬖谄娈悊栴}[11]，即隨著系統(tǒng)狀態(tài)收斂或者穿越平衡點，控制輸出會顯著增大甚至趨于無窮。為了解決該問題，許多能避免奇異的終端滑模面被先后提出，也被用在航天器的控制器中，如非奇異終端滑模[12-13]，在奇異點附近切換成線性滑模面的終端滑模(滑模替換法)[14-15]，以及兩類不同形式的積分終端滑模[16-17]等。這幾種非奇異終端滑模雖然都能使控制器避免奇異，但也都存在著不足，比如傳統(tǒng)非奇異終端滑模不能估計系統(tǒng)收斂時間上界，滑模替換法中的閾值選取不當(dāng)可能會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)最終為漸近收斂，而積分終端滑模又具有齊次方法或加冪積分方法特有的問題等。所以，如何設(shè)計非奇異的終端滑?？刂破鳎瑫r又能解決以上問題，仍值得學(xué)者們做進(jìn)一步的研究。

固定時間穩(wěn)定是一類特殊的有限時間穩(wěn)定概念[18]，相比于有限時間控制，固定時間控制估計的系統(tǒng)收斂時間上界不依賴于系統(tǒng)初值，即不管系統(tǒng)初始狀態(tài)是在接近平衡點處還是遠(yuǎn)離平衡點處，都能保證系統(tǒng)在固定的時間內(nèi)穩(wěn)定。此外，相比于快速有限時間穩(wěn)定[19]，固定時間控制器中顯式含有大于1和小于1的分?jǐn)?shù)冪，能同時提高系統(tǒng)狀態(tài)在接近平衡點階段或遠(yuǎn)離平衡點階段的收斂速度，即具有更快的收斂速度。現(xiàn)有固定時間控制器都是基于終端滑模方法(固定時間終端滑模)設(shè)計的，其在航天器控制方面的研究成果相對較少，目前也僅有文獻(xiàn)[20]針對航天器姿態(tài)穩(wěn)定設(shè)計了固定時間控制器。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文針對存在空間自由翻滾情形的航天器作為接近目標(biāo)，主要研究近距離交會段的六自由度位姿控制器設(shè)計。該階段的航天器運動是位姿耦合的，即姿態(tài)和位置需要同時控制才能完成交會任務(wù)，而固定時間控制具有的雙冪次特性能同時提高姿態(tài)和位置穩(wěn)定速度和精度，因此本文基于固定時間穩(wěn)定概念設(shè)計了位姿一體化自適應(yīng)控制器，其中自適應(yīng)技術(shù)的使用是為了估計未知干擾的上界，以提高系統(tǒng)的抗干擾能力。此外，為了解決終端滑模的奇異問題，本文在傳統(tǒng)非奇異終端滑?；A(chǔ)上通過引入切換函數(shù)，不僅避免了奇異問題，也使得系統(tǒng)的收斂時間上界可估計，且該時間上界與狀態(tài)初值無關(guān)。

1 航天器運動模型

1.1 航天器相對位置動力學(xué)模型

在Hill坐標(biāo)系中追蹤航天器和目標(biāo)航天器間的的相對運動方程為[21]

(1)

(2)

式中：

由于航天器推力器是沿著本體進(jìn)行安裝的，故需將本體坐標(biāo)系中的控制力轉(zhuǎn)到Hill坐標(biāo)系中，即

(3)

式中：AHc為追蹤航天器本體坐標(biāo)系到Hill坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣,AHI為慣性坐標(biāo)系到Hill坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣,AtI為慣性坐標(biāo)系到目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣,Act為目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系到追蹤航天器本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

(4)

1.2 相對姿態(tài)動力學(xué)模型

采用四元數(shù)描述航天器姿態(tài)，目標(biāo)航天器在本體坐標(biāo)系中的姿態(tài)動力學(xué)方程為

(5)

追蹤航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程為

(6)

式中：τc表示追蹤航天器的控制力矩，其余各符號定義與目標(biāo)航天器類似，不再贅述。

追蹤航天器相對目標(biāo)航天器的姿態(tài)四元數(shù)為

(7)

ωr=ωc-Actωt

(8)

對式(8)求導(dǎo)，有

(9)

根據(jù)式(5)、(6)和(9)，可得到追蹤航天器相對目標(biāo)航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程為[22]

(10)

1.3 相對位置和姿態(tài)一體化模型

(11)

引理1[23].考慮如下非線性系統(tǒng)

(12)

式中：x(0)=0，f(0)=0，x∈Rn。若存在Lyapunov函數(shù)V(x)，常量α>0，0

(13)

則系統(tǒng)為實際有限時間穩(wěn)定。

引理2[20]. 考慮式(12)描述的非線性系統(tǒng)，若存在Lyapunov函數(shù)V(x)，常量α>0，β>0，01和0

(14)

則系統(tǒng)為實際固定時間穩(wěn)定，引入正常數(shù)θ∈(0,1)，則狀態(tài)會在固定時間內(nèi)到達(dá)平衡點所在的鄰域內(nèi)

(15)

到達(dá)時間上界為T

注1. 從式(15)可以看出，固定時間穩(wěn)定所需的時間上界與系統(tǒng)狀態(tài)初值無關(guān)，且可通過調(diào)整控制器參數(shù)來設(shè)計其值。

2 控制器設(shè)計

針對式(11)給出的相對位置和姿態(tài)一體化模型，采用非奇異終端滑模方法進(jìn)行控制器設(shè)計，與傳統(tǒng)線性滑?？刂葡啾?，非奇異終端滑?？刂凭哂懈斓氖諗克俣纫约案叩木取１疚募僭O(shè)航天器所受干擾是未知但有界的，并采用自適應(yīng)方法對干擾上界進(jìn)行估計，控制目標(biāo)是在干擾上界未知的情況下，使相對位置和相對姿態(tài)在固定時間內(nèi)到達(dá)期望值。

首先引入非奇異終端滑模面

s=x+sig (ky)1/p1

(16)

式中：k=diag(k1,…,k6)，ki=1/(α1|xi|g1-p1+β1),α1，β1，p1，g1均為正常數(shù)，且滿足1/21，對于一個給定向量φ=[φ1，φ2，φ3]T∈R3，定義sig(φ)a=[sgn(φ1)|φ1|a,sgn(φ2)|φ2|a,sgn(φ3)|φ3|a]T。

定理1. 考慮式(11)描述的位置和姿態(tài)一體化模型，選取非奇異終端滑模面(16)，在假設(shè)1成立的前提下，控制器(17)能夠使航天器相對位置和姿態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到包含滑模面s=0的鄰域內(nèi)，

u= -G-1(f1k-1A-1y+k-1h+f2)-G-1sgn(s)-

G-1k-1A-1diag(με)[α2sig(s)p2+β2sig(s)g2]

(17)

式中：f1,G,f2為式(11)中定義的非線性項。為簡化控制器形式，定義新的由系統(tǒng)狀態(tài)表示的輔助變量A和h，具體形式為

A=diag(A1,…,A6),Ai=|kiyi|1/p1-1/p1

h=-α1(g1-p1)diag(sig(x)g1-p1-1)k2diag(f1y)y

其中，α1>0，β1>0，01，χ>0，η>0為控制器設(shè)計參數(shù)，ε>0表示切換邊界，με=[με1,…,με 6]T作用是避免控制器發(fā)生奇異，其具體表達(dá)式為

(18)

證. 選取如下的Lyapunov函數(shù)

(19)

(20)

由于控制器和自適應(yīng)律都是分段函數(shù)，為便于穩(wěn)定性分析，將相平面分成下面兩個部分，并分別分析系統(tǒng)狀態(tài)的運動趨勢。

(21)

由于對任意δ>1/2，有下面的不等式成立[25]

(22)

故可將不等式(21)寫為

(23)

式中：γ=2(p2+1)/2α2，χ=(δγ2/(p2+1))/(2ηδ-η)。

由引理3可得

(24)

由式(24)和引理1可知，si可在有限時間內(nèi)到達(dá)包含si=0的鄰域內(nèi)，或者進(jìn)入圖1所示的Ω2內(nèi)，該鄰域的表達(dá)式為

(25)

-α2μεi|si|p2+1-β2μεi|si|g2+1

(26)

[α2sig(si)p2+β2sig(si)g2]

(27)

將式(27)代入一體化模型(11)，得到

(28)

定理2. 對于式(11)描述的位置和姿態(tài)一體化模型，在假設(shè)1和2的前提下選取非奇異終端滑模面(16)和控制器(17)，則系統(tǒng)狀態(tài)能夠在固定時間內(nèi)達(dá)到平衡點所在的鄰域，且到達(dá)時間上限為

T

(29)

式中:T1和T2均由控制器參數(shù)決定，具體形式在下面的證明過程中給出，t(ε)表示與ε有關(guān)的一小段時間。

注2. 控制器中含有兩個冪次項，一個的冪次大于1，另一個冪次小于1，故能夠在全局范圍內(nèi)加快系統(tǒng)的收斂速度，并提高跟蹤精度。

證. 選取Lyapunov函數(shù)

(30)

對Vi求導(dǎo)，可得到式(20)，然后將相平面分成兩個部分進(jìn)行分析，如圖1所示。

(31)

通過變換，可將式(31)寫為

(32)

(33)

(34)

根據(jù)式(22)、式(34)以及引理3，不等式(33)變?yōu)?/p>

(35)

下面給出式(35)能滿足引理2中式(14)形式的充分條件。通過引入常數(shù)θ∈(0,1)，有

(36)

(37)

(38)

當(dāng)式(37)或式(38)成立時，式(35)可以寫為引理2中式(14)的形式，所以系統(tǒng)狀態(tài)會在固定時間T1內(nèi)收斂到D內(nèi)，或進(jìn)入Ω2。T1的具體表達(dá)式為

T1

(39)

令

ψ=min{ψ1,ψ2}

則區(qū)域D可以表示為

D={si|Vi≤ψ}

(40)

情況2：當(dāng)0≤|yi|1/p1-1≤ε，根據(jù)定理1中情況2和情況3的分析過程可知，系統(tǒng)軌跡會在有限時間t(ε)內(nèi)穿過Ω2，此處不再贅述。

上述分析證明了系統(tǒng)會在固定時間內(nèi)到達(dá)滑模面所在的鄰域。下面給出到達(dá)滑模面后系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況。

(41)

可將式(41)寫為

β1sig (xi)p1]

(42)

(43)

(44)

則式(42)可以表示為

(45)

故

T2max

(46)

T2min

(47)

綜上，在控制器(17)的作用下，系統(tǒng)能夠在式(29)所確定的時間T收斂到平衡點附件所在的鄰域內(nèi)，定理2得證。

注3. 由于正弦函數(shù)的存在，系統(tǒng)軌線穿過Ω2時間t(ε)是未知的，但由于ε是一個很小的閾值，故t(ε)有界。

注4. 本文引入正弦函數(shù)避免奇異的方法是受文獻(xiàn)[26]的啟發(fā)，但文獻(xiàn)[26]只針對一般二階系統(tǒng)設(shè)計固定時間控制器，且干擾上界需假設(shè)已知。相比之下，本文針對更復(fù)雜的近距離交會位姿耦合模型設(shè)計的控制器結(jié)合了自適應(yīng)技術(shù)，在干擾上界未知時，依舊可保證系統(tǒng)穩(wěn)定，更具有應(yīng)用價值。

3 仿真校驗

本小節(jié)對所提出的固定時間終端滑模自適應(yīng)控制器(17)進(jìn)行了仿真研究，并與文獻(xiàn)[20]中提出的基于一種新的切換滑模面的固定時間控制器進(jìn)行比較，該滑模面形式如下

Sc=y+Sa

(48)

其中

(49)

(50)

滑模面中，α3，β3，p3，g3和υ均為大于0的設(shè)計參數(shù)，且p3υ∈(0,1)，g3υ>1,l1=(2-υ)(α3εp3-1/υ+β3εg3-1/υ)υ,l2=(υ-1)(α3εp3-2/υ+β3εg3-2/υ)υ,ε表示切換邊界。相應(yīng)的控制器形式如下

uc= -[α4sig(Sc)p4+β4sig(Sc)g4]+

(51)

自適應(yīng)更新律為

(52)

仿真中假設(shè)目標(biāo)航天器運行在橢圓軌道上，其軌道參數(shù)為at=6.8×106m，et=0.01，θ=0.1 rad，目標(biāo)航天器的轉(zhuǎn)動慣量Jc為diag(200, 150, 180) kg·m2。追蹤航天器的質(zhì)量m為200 kg，其轉(zhuǎn)動慣量Jt為diag(160, 180, 190) kg·m2，參考文獻(xiàn)[27]中干擾形式，選擇作用在航天器上的干擾力矩和干擾力分別為：

dc=A0[sin(nt),cos(nt),2sin(nt)]T+

D1+G(0,σ1) N·m

dt=A0[2sin(nt),-cos(nt),sin(nt)]T+

D1+G(0,σ1) N·m

Fd=A0[2sin(nt),-sin(nt),sin(nt)]T+

D2+G(0,σ2) N。

取A0=1.5×10-3，n為航天器的軌道角速度，D1=0.001I3×1和D2=0.01I3×1為由地球引力和大氣阻力所引起的擾動，G(0,σ)表示均值為零，方差為σ的高斯白噪聲，考慮到航天器交會精度的要求，設(shè)σ1=10-6，σ2=10-4。此外，假設(shè)陀螺儀的漂移誤差為[3 3 3]T(°)/h，測量噪聲方差σg=0.01°/h；加速度計的漂移誤差為[0.003,0.003,0.003](m/s2)，測量噪聲方差σa=1.5×10-6m/s2。

仿真中的初始相對位置和相對姿態(tài)信息如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。

表1 初始位置和姿態(tài)信息Table 1 Initial conditions of position and attitude

表2 控制器參數(shù)Table 2 Control parameters

由于交會對接過程中對可靠性的要求較高，故仿真中主要對比了控制精度這項指標(biāo)。圖2和圖3分別表示追蹤航天器和目標(biāo)航天器之間的相對姿態(tài)和相對角速度的變化情況，從圖2～3可以看出，在控制器(17)的作用下，相對姿態(tài)四元數(shù)大約在90 s時收斂到0附近，在100 s時精度達(dá)到1×10-3以內(nèi)，角速度在100 s時小于5×10-4rad/s；在控制器(51)的作用下，相對姿態(tài)四元數(shù)在100 s附近收斂到0.01內(nèi)，角速度在20 s時的精度為2×10-3rad/s。圖4表示追蹤航天器控制力矩的變化情況，控制器(17)輸出的最大控制力矩約為0.8 N·m，小于控制器(51)的最大輸出力矩1.5 N·m。由仿真結(jié)果可知，兩個控制器的收斂速度相差不多，但本文所設(shè)計的控制器具有更高的控制精度，且輸出的控制力矩也更小。

圖5和圖6分別表示追蹤航天器和目標(biāo)航天器之間的相對位置和相對速度變化情況。從圖5～6可以看出，在控制器(17)的作用下，航天器相對位置在150 s時收斂到0.02 m內(nèi)，相對速度在150 s時達(dá)到0.005 m/s以內(nèi)，能夠滿足近距離交會等航天任務(wù)的需求；在控制器(51)的作用下，航天器相對位置在150 s時在0.2 m附近，相對速度在150 s時約為0.02 m/s，誤差仍較大。圖7表示追蹤航天器的控制力，考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出受限，在能較好完成位置跟蹤任務(wù)的情況下，控制器(17)輸出的控制力最大值約為20 N，且很快減小到3 N以內(nèi)，而控制器(51)輸出的最大控制力為30 N，控制代價較大。故本文所設(shè)計的控制器能以較小的控制量使追蹤航天器跟蹤上目標(biāo)航天器，且具有更高的收斂精度。

在上述仿真的基礎(chǔ)上，本文假設(shè)采用推力器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，并利用脈寬調(diào)制(PWM)技術(shù)將連續(xù)控制信號調(diào)制成等效的脈沖信號，在不改變控制參數(shù)的前提下分析控制周期對控制器性能的影響。取控制周期T=0.8 s，最小脈沖寬度0.08 s，最大控制力矩0.5 N·m，最大控制力3 N。圖8 和圖9分別為經(jīng)過PWM調(diào)制后的追蹤航天器控制力矩和控制加速度。

圖10和圖11表示在控制器(17)的連續(xù)控制和PWM控制下航天器相對姿態(tài)和相對位置的范數(shù)變化情況?？梢钥吹?，與PWM控制相比，在連續(xù)控制信號作用下，航天器的姿態(tài)和位置收斂速度更快，且精度更高。

綜上仿真分析可知，本文設(shè)計的控制器(17)相比于文獻(xiàn)[27]中的控制器(51)，能使航天器相對位置和姿態(tài)以較高的精度更快地收斂到期望值，同時控制量更小。當(dāng)通過PWM技術(shù)將連續(xù)控制信號調(diào)制成脈沖信號時，本文所設(shè)計的控制器仍能保持較好的控制效果。故控制器(17)不僅能夠以較小的控制代價使系統(tǒng)狀態(tài)快速、高精度地收斂到平衡位置，對于干擾具有較強的魯棒性，同時，也具有一定的工程應(yīng)用價值。

4 結(jié) 論

本文研究了近距離交會過程中追蹤航天器對目標(biāo)航天器位置和姿態(tài)跟蹤的控制問題，利用固定時間終端滑模方法設(shè)計了位姿一體化自適應(yīng)控制器，并通過切換函數(shù)避免了奇異問題，使得系統(tǒng)收斂時間上界可估計，且該時間上界與狀態(tài)初值無關(guān)，然后利用Lyapunov函數(shù)給出了穩(wěn)定性分析，得到系統(tǒng)狀態(tài)能夠在固定時間內(nèi)收斂到平衡點所在的鄰域內(nèi)。仿真分析中，通過與控制器(51)的對比，本文所設(shè)計的控制器具有更快的收斂速度，更高的精度，對干擾有較好的抑制效果，同時控制量也更小。此外，經(jīng)過PWM調(diào)制后，控制器性能仍較好，表明所設(shè)計的控制器具有可行性和有效性。

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