數(shù)學(xué)教學(xué)中基于最近發(fā)展區(qū)的目標(biāo)構(gòu)造教學(xué)法實(shí)踐

吳志鵬

摘 要：目標(biāo)構(gòu)造教學(xué)法的三階段分別為目標(biāo)形成的最近發(fā)展、目標(biāo)的尋求與構(gòu)造、目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).教學(xué)時(shí)教師應(yīng)明確學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平，在此基礎(chǔ)上不斷地以新的目標(biāo)為引導(dǎo)，構(gòu)造使目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的方法，自然生成.

關(guān)鍵詞：最近發(fā)展區(qū)；水平；目標(biāo)； 構(gòu)造；生成

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論告訴我們，教學(xué)必須著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，立足于學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際即最近發(fā)展水平，這樣才能有效地超越最近發(fā)展區(qū)，達(dá)到下一個(gè)發(fā)展區(qū)[1].因此教學(xué)時(shí)應(yīng)明確學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平，在此基礎(chǔ)上不斷以新的目標(biāo)為引導(dǎo)，構(gòu)造使目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的方法，自然生成.本文以《 簡(jiǎn)單的三角恒等變換（一）》一課教學(xué)為例，闡述基于最近發(fā)展區(qū)目標(biāo)構(gòu)造教學(xué)法的教學(xué)三階段，即“目標(biāo)形成的最近發(fā)展區(qū)—目標(biāo)的尋求與構(gòu)造—目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)”是如何得以執(zhí)行并實(shí)現(xiàn)的.

一、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

引入：寫(xiě)出二倍角公式，哪個(gè)公式最精彩？（預(yù)設(shè)：余弦的二倍角公式，因其公式有三種表示方法）

[sin2α=2sinαcosα]

[cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α]

[tan2α=2tanα1-tan2α]

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)舊知識(shí)，從熟悉的知識(shí)背景入手，引出要探究、解決的新問(wèn)題，直指目標(biāo)，同時(shí)檢測(cè)學(xué)生完成目標(biāo)要達(dá)到的最近發(fā)展水平，即是否熟練掌握余弦的二倍角公式.

例1：試以[cosα]表示[sin2α2][，][ cos2α2，][tan2α2].

問(wèn)題1：觀察余弦的二倍角公式[cos2α=2cos2α-1]，角是怎樣變化的？（預(yù)設(shè)：倍角[2α]用單角[α]表示，是常見(jiàn)的角的轉(zhuǎn)化思路）

問(wèn)題2：倍角[2α]與單角[α]是一個(gè)什么樣的概念，你能再舉例說(shuō)明嗎？那么半角[α2]是否也能用單角[α]表示 ？又如何表示？同樣，從余弦二倍角的另一個(gè)公式[cos2α=1-2sin2α]，你又能獲得哪些結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：以目標(biāo)為指引，利用已有余弦的二倍角公式，構(gòu)造出半角[α2]與單角[α]的關(guān)系式，即[cosα=2cos2α2-1]，變形得：[cos2α2=1+cosα2]，實(shí)現(xiàn)半角[α2]用單角[α]表示，自然生成教材中的半角公式，并且實(shí)現(xiàn)降次，也稱(chēng)為降次公式.同樣可得：[sin2α2=1-cosα2]，也自然生成例1的結(jié)論.

例2：（1）求證[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β].

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)證明判斷學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)水平，從等式的右邊入手證明，即判斷學(xué)生是否懂得兩角和與差的正、余弦展開(kāi)公式.（大部分學(xué)生能完成證明任務(wù)，說(shuō)明大部分的學(xué)生能達(dá)到目標(biāo)所需最近發(fā)展區(qū)水平）

教學(xué)小實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生觀察上述等式（不說(shuō)明干什么）半分鐘，讓幾個(gè)同學(xué)上臺(tái)，同時(shí)，教師擦去等式的右邊，讓上臺(tái)的學(xué)生寫(xiě)出[sinα·cosβ]公式.（上臺(tái)5個(gè)學(xué)生只有2個(gè)學(xué)生寫(xiě)對(duì)）

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的板演，判斷學(xué)生的知識(shí)掌握情況、內(nèi)化情況，思維是否突破達(dá)到下一個(gè)發(fā)展區(qū)，判斷學(xué)生對(duì)知識(shí)是否短時(shí)記憶、機(jī)械識(shí)記，還是理解性的識(shí)記.

問(wèn)題3：如何寫(xiě)出[sinα·cosβ]的公式？（教師引導(dǎo)）

①[sinα·cosβ]藏在你學(xué)過(guò)的哪些公式中，請(qǐng)盡量寫(xiě)下來(lái)，并排列整齊.

②觀察你所寫(xiě)下來(lái)的公式，你能找到實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的方案嗎？動(dòng)手做一做.

③想一想，你還能得到哪些“附屬物”？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)讓學(xué)生知道目標(biāo)的構(gòu)造“源泉”，學(xué)會(huì)用所學(xué)公式去構(gòu)造目標(biāo)，解決問(wèn)題，同時(shí)能用所學(xué)的方法，去構(gòu)造新的目標(biāo)，學(xué)以致用.

解析：

[sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，]

[sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ，]

上述兩式相加得：[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β].

同樣，學(xué)生可類(lèi)比獲得[cosαsinβ]，[sinα sinβ]，[cosαcosβ]等在教材的練習(xí)中出現(xiàn)的六個(gè)關(guān)于積化和差、和差化積的公式（附屬物）.

（2）證明：[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2].

設(shè)計(jì)意圖：走進(jìn)構(gòu)造法的大觀園，讓學(xué)生通過(guò)已有的構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)，以目標(biāo)為導(dǎo)向去創(chuàng)造、去構(gòu)造，以獲得構(gòu)造的方法，體驗(yàn)構(gòu)造帶給人一種創(chuàng)造性的快樂(lè)，從而達(dá)到解決新問(wèn)題的目標(biāo).

法一：第（2）小題的結(jié)構(gòu)與第（1）小題相仿，為了構(gòu)造出與目標(biāo)結(jié)構(gòu)一樣的式子，則只需令[α+β=θ，α-β=φ]，則將[α=θ+φ2，β=θ-φ2]代入（1）式即得[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.]（同法構(gòu)造）

法二：從等式的右邊出發(fā)，由[sinθ+φ2cosθ-φ2]存在于[sin（θ+φ2+θ-φ2）]和[sin（θ+φ2-θ-φ2）]的展開(kāi)公式中，再將兩個(gè)公式相加可得結(jié)論.（根據(jù)上題思維的“源”，類(lèi)比構(gòu)造）

法三：從等式的左邊出發(fā)，要證的角[θ，φ]，而目標(biāo)的角為[θ±φ2]，用目標(biāo)的角構(gòu)造出所求的角，則有[θ=θ+φ2+θ-φ2，φ=θ+φ2-θ-φ2]，則有[sinθ+sinφ=sin（θ+φ2+θ-φ2）+sin（θ+φ2-θ-φ2）=]

[2sinθ+φ2cosθ-φ2].（對(duì)比構(gòu)造，思維發(fā)展，有一定的創(chuàng)造性）

例3：求函數(shù)[y=sinx+3cosx]的周期，最大值和最小值.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生求三角函數(shù)性質(zhì)所需要的函數(shù)解析式[y=Asin（x+φ）]是否能由兩角和與差的正、余弦公式逆用獲得，最近發(fā)展水平是否能達(dá)成新目標(biāo)的取得與突破.

解析：求函數(shù)[y=sinx+3cosx]的周期，最大值和最小值，即為求三角函數(shù)的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為[y=sinx+3cosx=][212sinx+32cosx=2sinx+π3]，再求其性質(zhì)，即所求的周期[T=2πω=2π]，最大值為2，最小值為[-2].（大部分學(xué)生可轉(zhuǎn)化求解）

問(wèn)題4：將上述函數(shù)中的系數(shù)一般化可得[y=asinx+bcosx]，又如何將它化為標(biāo)準(zhǔn)形式[y=Asin（x+φ）]求性質(zhì)呢？動(dòng)手將[y=Asin（x+φ）]展開(kāi)，再與[y=asinx+bcosx]進(jìn)行比較，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)比較[y=asinx+bcosx]與[y=Asin（x+φ）]式子的結(jié)構(gòu)特征，尋找兩種形式的內(nèi)在聯(lián)系，化解問(wèn)題的難點(diǎn)，構(gòu)造目標(biāo)并求出系數(shù)A，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式求性質(zhì).

解析：

[y=Asin（x+φ）=A（sinxcosφ+cosxsinφ）]對(duì)比[y=asinx+bcosx]可知[a=Acosφ，][b=Asinφ，]而[cos2φ+sin2φ=1]，則有[（aA）2+（bA）2=1]，得[A=a2+b2且aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ，]即得函數(shù)[y=asinx+bcosx]=[a2+b2]（[aa2+b2sinx+ba2+b2cosx]），

則有[y=asinx+bcosx]=[a2+b2]（[sinxcosφ+cosxsinφ]）=[a2+b2][sin（x+φ）]，其中[aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ.]

二、教學(xué)效果及反思

本教學(xué)法適用于數(shù)學(xué)概念的形成或性質(zhì)、公式等的形成，是一種建構(gòu)、建模課型，它是以目標(biāo)達(dá)到所需的最近發(fā)展區(qū)為基礎(chǔ)，尋找目標(biāo)所需的材料（如公式、等價(jià)關(guān)系、表達(dá)式等）為支架，構(gòu)建實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的一種教學(xué)方法，因此授課時(shí)要有明確的教學(xué)目標(biāo)，要有達(dá)成目標(biāo)所需的知識(shí)儲(chǔ)備即最近發(fā)展區(qū)知識(shí)作為支撐，教學(xué)的第一階段可通過(guò)提問(wèn)、練習(xí)、板演等進(jìn)行簡(jiǎn)單的測(cè)評(píng)，看看所學(xué)目標(biāo)的最近發(fā)展區(qū)知識(shí)是否達(dá)標(biāo)，若沒(méi)達(dá)標(biāo)，則需進(jìn)行補(bǔ)充或鞏固，否則要想對(duì)下一個(gè)發(fā)展區(qū)進(jìn)行突破就成了“無(wú)源之水”和“無(wú)本之木”；第二階段為尋找和目標(biāo)相關(guān)的一些知識(shí)，用來(lái)構(gòu)造目標(biāo)，此時(shí)應(yīng)以觀察為先導(dǎo)，分析為武器，仔細(xì)觀察、分析，去發(fā)現(xiàn)式與式、數(shù)與式、數(shù)與數(shù)以及問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系、找出“已知”（條件）和“所求（證）”（目標(biāo)）之間的聯(lián)系紐帶，為構(gòu)建目標(biāo)創(chuàng)造條件；有了前面兩個(gè)階段的儲(chǔ)備，第三階段目標(biāo)的生成也就“水到渠成”.

本節(jié)課教學(xué)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)思維（特別是構(gòu)造性思維）的開(kāi)啟當(dāng)屬比較成功，教學(xué)中教師在三個(gè)例題中分別用了“公式中用單角表示倍角，通過(guò)二倍角公式，你能用半角表示單角嗎？”學(xué)生學(xué)會(huì)了類(lèi)比構(gòu)造目標(biāo)的思維方法；“你知道[sinα cosβ]藏在你學(xué)過(guò)的哪些公式中？”讓學(xué)生知道構(gòu)造思維的“源”，并學(xué)會(huì)“思”；“比較[y=asinx+bcosx]與[y=Asin（x+φ）]式子的結(jié)構(gòu)，找一找，有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生學(xué)會(huì)比較構(gòu)造的思維方法.此類(lèi)型的教學(xué)法是讓學(xué)生構(gòu)造思維開(kāi)啟建立在最近發(fā)展區(qū)的水平上，思維、語(yǔ)言的稚化，則是引導(dǎo)思維突破進(jìn)入下一個(gè)發(fā)展區(qū)水平的關(guān)鍵，為什么有的教師平時(shí)上課時(shí)會(huì)有許多學(xué)生反映，上課聽(tīng)得懂，但自己一動(dòng)手就不會(huì)，其原因之一就在于教師的授課不自然，思維的起點(diǎn)較高，沒(méi)有稚化，無(wú)法建立在學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展區(qū)上，未能遵循其原則[2].如例3，很多教師在授課時(shí)直接把輔助角公式給學(xué)生或是先提取系數(shù)[a2+b2]，再進(jìn)行說(shuō)明為什么要這樣提取，類(lèi)似違背最近發(fā)展區(qū)原則的情況也是常見(jiàn)的，因而導(dǎo)致學(xué)生在沒(méi)教師指導(dǎo)下就不會(huì)做題目，而本類(lèi)課型能夠很好地克服教學(xué)中的一些缺陷，教學(xué)生怎樣去“思”，從哪里去捕獲思的“源”，讓學(xué)生知其然，還知其所以然；從學(xué)生例2第（1）小題中構(gòu)造出來(lái)的一些附屬公式以及例2第（2）小題的分析與解答，也能明顯地感知學(xué)生構(gòu)造思維的突破和學(xué)習(xí)成就感的提升，并能順利地達(dá)到下一個(gè)發(fā)展區(qū)水平.

總之，一種教學(xué)法的應(yīng)用要通過(guò)不斷地實(shí)踐與思考，在實(shí)踐中前行，在總結(jié)、反思中發(fā)展，筆者通過(guò)一階段的教學(xué)實(shí)踐，欣喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維有了很好的發(fā)展，認(rèn)為此類(lèi)教學(xué)法是可行的、有益的，提出來(lái)與讀者分享.

參考文獻(xiàn)：

[1]栗彩霞，宋瑞，王雙兵.基于模型思想的教學(xué)實(shí)踐與反思——以“任意角三角函數(shù)”一課為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2016（3）：24.

[2]胡安林.例談稚化思維的教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（1/2）：38.