國(guó)際中學(xué)概率教與學(xué)的研究進(jìn)展與教學(xué)啟示

鞏子坤 滕林林 陳冬冬 殷文娣

摘 要：第13屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-13）把概率教與學(xué)作為重要議題之一.從ICME-13的文獻(xiàn)與報(bào)告中可以發(fā)現(xiàn)，高中教師對(duì)事件獨(dú)立性的理解存在一定誤區(qū)；初中學(xué)生對(duì)隨機(jī)概念和樣本空間等知識(shí)的理解還不夠透徹；大多數(shù)高中學(xué)生喜歡借助樹狀圖和列表來(lái)解題.因此，教師必須不斷學(xué)習(xí)，提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)水平和教育教學(xué)水平.學(xué)生不僅要善于用文字語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言對(duì)概率知識(shí)進(jìn)行表征，而且要善于對(duì)概念、公式進(jìn)行比較、歸納和概括，形成清晰的網(wǎng)絡(luò)圖示或知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

關(guān)鍵詞：ICME；中學(xué)概率教與學(xué)；概念理解

概率的教與學(xué)是當(dāng)前我國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容之一.2016年第13屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-13）在德國(guó)漢堡召開，“概率統(tǒng)計(jì)的教與學(xué)”是其中的一個(gè)專題.可以說(shuō)，這是國(guó)際數(shù)學(xué)教育最高水平的會(huì)議.國(guó)際數(shù)學(xué)教育的同人研究了哪些中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)問(wèn)題？有哪些新的進(jìn)展？這些進(jìn)展對(duì)我國(guó)概率的教與學(xué)有哪些啟示？基于ICME-13會(huì)議中關(guān)于概率教與學(xué)的文獻(xiàn)與報(bào)告，進(jìn)行綜述與分析，以期為我國(guó)中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)提供借鑒.

一、研究主題明確 聚焦教師理解

在概率和統(tǒng)計(jì)中，獨(dú)立性是非?；A(chǔ)的概念.各國(guó)的學(xué)校課程中也都包含獨(dú)立事件.美國(guó)俄克拉荷馬州立大學(xué)的Adam Molnar做了一項(xiàng)教師關(guān)于獨(dú)立性理解現(xiàn)狀的研究[1].來(lái)自美國(guó)的賓夕法尼亞州、格魯吉亞州和南卡羅來(lái)納州的25名高中數(shù)學(xué)教師參與這項(xiàng)研究.其中具有教育碩士及以上學(xué)位的有19人，概率教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的有7人.參與的教師需要回答9個(gè)任務(wù)型的問(wèn)題，例如：從2500人中隨機(jī)選擇一名，請(qǐng)問(wèn)事件“他是一個(gè)大學(xué)畢業(yè)生”與事件“他是從互聯(lián)網(wǎng)上獲得新聞的”是否獨(dú)立？為什么？

該問(wèn)題可以用獨(dú)立事件的乘法定義或條件定義來(lái)解決，也就是說(shuō)，如果事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率等于各自發(fā)生的概率的乘積，則事件A和事件B是獨(dú)立的.假設(shè)事件C為抽到的人是大學(xué)畢業(yè)生、事件N為他是從互聯(lián)網(wǎng)上獲得新聞的，可通過(guò)計(jì)算[PC×PN=P（CN）]是否成立來(lái)判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立.左邊=[6932500×6872500=0.076]，[右邊=2452500=0.098]，因?yàn)?.076≠0.098，即左邊[≠]右邊.所以事件C和事件N是相互依賴的，兩者并不獨(dú)立.

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，在25名美國(guó)高中數(shù)學(xué)教師中，只有3人給出正確答案.在訪談過(guò)程中，有8名教師提到學(xué)生也經(jīng)常會(huì)誤解事件的獨(dú)立性；2名教師對(duì)獨(dú)立事件和互斥事件之間的關(guān)系比較模糊；部分教師表示對(duì)概率詞匯存在高誤解率，是因?yàn)槊绹?guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)課程對(duì)概率知識(shí)還不夠重視.根據(jù)研究結(jié)果，可以推斷，較多美國(guó)高中數(shù)學(xué)教師對(duì)事件獨(dú)立性的理解存在誤區(qū).

二、交流范圍寬廣 重視學(xué)生認(rèn)知

除了討論教師對(duì)概率知識(shí)的理解情況外，ICME-13大會(huì)的概率組對(duì)中學(xué)生對(duì)概率問(wèn)題的理解和解題情況也進(jìn)行了研究.

（一）初中生對(duì)隨機(jī)發(fā)生器的理解

印度德里大學(xué)教育學(xué)院的Haneet通過(guò)一項(xiàng)對(duì)稱多面體的實(shí)驗(yàn)，來(lái)了解初中生對(duì)隨機(jī)發(fā)生器的看法，從而來(lái)研究其對(duì)事件隨機(jī)性的理解[2].Haneet在印度德里私立學(xué)校的八年級(jí)學(xué)生（年齡在13～14歲）中找了8名，隨機(jī)分成兩組，每組4名.按照印度的常規(guī)課程，被測(cè)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)古典概型和幾何課程.

首先，為每組學(xué)生提供八個(gè)多面體（正四面體，立方體，正八面體，正二十面體，正四棱錐，正六棱錐，正三棱柱和正六棱柱）.接著，在學(xué)生小組討論后，決定選擇哪個(gè)多面體作為游戲里的“骰子”.最后，詢問(wèn)他們選擇的原因.研究方法采用的是視頻錄制和訪談.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果初步顯示，兩組學(xué)生分別選擇正八面體和正二十面體作為骰子.訪談數(shù)據(jù)集中反映了以下4個(gè)方面：

（1）兩個(gè)組用于選擇的最重要的條件是多面體樣本空間的大小.兩組確保它們各自選的多面體與立方體相比具有更大的樣本空間，即更多的面；

（2）從多面體的形狀上來(lái)看，拿來(lái)當(dāng)骰子的物品是完全對(duì)稱的，從而確保游戲的公平（物理對(duì)稱性）；

（3）學(xué)生存在等可能性偏差的問(wèn)題.也就是說(shuō)，學(xué)生認(rèn)為在有限次的投擲中，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次；

（4）學(xué)生存在與“樣本空間的窮盡”相關(guān)的誤解.例如，學(xué)生認(rèn)為對(duì)正八面體來(lái)說(shuō)，不管怎么投擲，扔八次中每個(gè)數(shù)字都會(huì)出現(xiàn)一次.

顯然，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為事件的概率和比例相關(guān).受之前學(xué)習(xí)過(guò)的古典概型的影響，學(xué)生會(huì)先列舉樣本空間，然后計(jì)算期望的事件和樣本空間大小之間的比，即事件的概率.因此，學(xué)生自然而然地去選擇較大的樣本空間，同時(shí)考慮到游戲的公平性，選擇的多面體都應(yīng)具有對(duì)稱性的.由于正八面體和正二十面體都符合古典概型的定義，兩組人都認(rèn)為他們的模型中每個(gè)面出現(xiàn)的概率都是相等的.但是從實(shí)驗(yàn)中不難發(fā)現(xiàn)，初中生對(duì)隨機(jī)事件的概率概念和樣本空間的適用條件等仍存在一定的誤解.

（二）高三學(xué)生對(duì)復(fù)合隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的理解

高中學(xué)生如何通過(guò)推理找到復(fù)合隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間？教學(xué)前后學(xué)生會(huì)用什么方法計(jì)算復(fù)合事件的概率？學(xué)生在解決這些問(wèn)題時(shí)可能會(huì)遇到哪些困難？為了回答上述問(wèn)題，墨西哥的Pedro Landín-Vargas等人對(duì)一所公立學(xué)校的28名高三學(xué)生進(jìn)行調(diào)查研究.在測(cè)試之前，研究人員設(shè)計(jì)了一門含有階段測(cè)試的概率課程.而后測(cè)采用的是高三學(xué)生數(shù)學(xué)課程中的概率知識(shí)（二項(xiàng)分布和正態(tài)分布）.

測(cè)試的問(wèn)題如下所示.問(wèn)題1涉及兩步驟的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，而問(wèn)題2則由三步驟的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)組成.

問(wèn)題1.一對(duì)夫婦計(jì)劃生兩個(gè)孩子.假設(shè)生男孩或女孩的可能性相同，并且任何一個(gè)的性別不影響另一個(gè)的性別.

a.記下兩個(gè)孩子性別的所有組合.

b.假設(shè)問(wèn)題a中列出的結(jié)果同樣可能，兩個(gè)女孩出生的概率是多少？

c.每種性別的孩子的概率是多少？

問(wèn)題2.向空中擲了1美元硬幣、2美元硬幣和5美元硬幣.

a.寫出在空中拋擲三個(gè)硬幣的所有結(jié)果.

b.拋擲三個(gè)硬幣，結(jié)果一個(gè)反面都沒(méi)有的概率是多少？

c.拋擲三個(gè)硬幣，結(jié)果有一個(gè)反面的概率是多少？

d.拋擲三個(gè)硬幣，結(jié)果有兩個(gè)反面的概率是多少？

e.拋擲三個(gè)硬幣，結(jié)果三個(gè)都是反面的概率是多少？

基于SOLO分類法的五個(gè)層次，Pedro Landín-Vargas等研究人員根據(jù)高中生在解決概率問(wèn)題的表現(xiàn)，完善了概率層次推理模型，補(bǔ)充了處于不同概率推理水平的具體表現(xiàn)特點(diǎn)，具體如表1所示[3].

根據(jù)實(shí)驗(yàn)的前測(cè)和后測(cè)得分，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）在前測(cè)中，近一半的學(xué)生使用樣本空間的概念；在后測(cè)中，大約有60%的學(xué)生使用這種概念.

（2）在前測(cè)中，71%的學(xué)生處于主觀或過(guò)渡水平，只有29%的學(xué)生處于不規(guī)則的量化或數(shù)值水平；在后測(cè)中，43%的學(xué)生處于主觀或過(guò)渡水平，而有54%的學(xué)生達(dá)到不規(guī)則的量化或數(shù)值水平.

（3）近60%的學(xué)生用拉普拉斯的概率定義來(lái)計(jì)算概率的值，另外三分之一的學(xué)生用加法或乘法法則來(lái)計(jì)算概率.

（4）從解題步驟來(lái)看，前測(cè)中有43%的學(xué)生通過(guò)列表法和枚舉法來(lái)構(gòu)建樣本空間并計(jì)算概率；后測(cè)中有43%的學(xué)生使用樹狀圖來(lái)計(jì)算概率（29%通過(guò)概率的加法或乘法法則，11%通過(guò)拉普拉斯的概率定義，剩余的3%用了其他策略）.

此外，在Lydia和Makonye等人的研究中，大約90%的學(xué)生能利用樹狀圖正確求解問(wèn)題，85%的學(xué)生通過(guò)列表求解，約50%的學(xué)生用列聯(lián)表（Contingency tables），還有的學(xué)生通過(guò)維恩圖和雙向表來(lái)幫助理解問(wèn)題和求解[4]. 多個(gè)研究數(shù)據(jù)均表明，學(xué)生最常用的輔助方式是列表和樹狀圖，約21%的學(xué)生能用代數(shù)符號(hào)來(lái)表示隨機(jī)變量，從而進(jìn)行解題.對(duì)高三學(xué)生來(lái)說(shuō)，很少有學(xué)生能夠理解并通過(guò)代數(shù)符號(hào)表示隨機(jī)變量，從而來(lái)解決概率問(wèn)題.

三、小結(jié)與展望

通過(guò)上述ICME-13的相關(guān)論文，可以發(fā)現(xiàn)美國(guó)大多數(shù)教師對(duì)事件獨(dú)立性的理解有所欠缺，自身的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)還需要加強(qiáng)；大多數(shù)學(xué)生可以利用不同的表征方式來(lái)列舉概率問(wèn)題的結(jié)果，并且學(xué)生也表現(xiàn)出對(duì)隨機(jī)序列中連續(xù)事件的獨(dú)立性也有很好的理解.但是在研究中也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)隨機(jī)概念和樣本空間枚舉存在一定的誤解.同時(shí)，學(xué)生在解決概率問(wèn)題時(shí)的抽象水平還不夠高，大部分學(xué)生處于概率層次推理模型中的主觀或過(guò)渡水平.

教師對(duì)事件獨(dú)立性的誤解會(huì)影響其教學(xué).為了能勝任新世紀(jì)的教育教學(xué)工作，教師必須不斷學(xué)習(xí)，提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)水平和教育教學(xué)水平.同時(shí)，對(duì)高等師范院校而言，高等師范院校在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中應(yīng)有針對(duì)性地結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的具體情況加強(qiáng)教學(xué)，以免造成師范生所學(xué)與中學(xué)教學(xué)實(shí)踐的嚴(yán)重脫節(jié).另外，希望教師們注意自己平時(shí)上課的表述，以更恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式幫助學(xué)生理解概率問(wèn)題.

對(duì)于學(xué)生的學(xué)，一方面，概率內(nèi)容的直觀性決定學(xué)生對(duì)概念、公式的理解需要從不同角度、不同方式進(jìn)行多元表征，用多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)同一個(gè)概念和公式，突出概念、公式的本質(zhì)屬性；另一方面，概率中的概念和公式眾多、零散，并且多數(shù)概念表面上差異不明顯，容易混淆.這就要求學(xué)生不僅要善于用文字語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言對(duì)概率知識(shí)進(jìn)行表征，而且要善于對(duì)概念、公式進(jìn)行比較、歸納和概括，從而形成清晰的網(wǎng)絡(luò)圖示或知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

參考文獻(xiàn)：

[1]MOLNAR A. High school mathematics teachers understanding of independent events[C].Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[2]GANDHI H. Understanding children conception of randomness through explorations with symmetrical polyhedrons[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[3]LANDIN-VARGAS P， SALINAS J. Probability reasoning of high school students on sample space and probability of compound events[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[4]MUTARA L， MAKONYE J. Learnersuse of probability models in answering probability tasks in South Africa[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.