經(jīng)典電偶極子在交變電場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng)

王榮秀，王 波

(1.重慶工商大學(xué)， 重慶 400067； 2.重慶理工大學(xué)， 重慶 400054)

電偶極子模型是一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)模型，在涉及電磁場(chǎng)與物質(zhì)的相互作用、電磁波的發(fā)射和吸收、分子原子的相互作用理論等領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用[1-2]。例如，利用偶極子模型用于研究近場(chǎng)光學(xué)顯微鏡和樣品的相互作用等問(wèn)題[3-5]。在研究電介質(zhì)及其與電場(chǎng)的相互作用時(shí)，也往往采用電偶極子模型，如電介質(zhì)的極化[6]、鐵電體材料中電疇分布與轉(zhuǎn)向等問(wèn)題[7-8]。在已有的文獻(xiàn)中有一些關(guān)于電偶極子的研究報(bào)道，如偶極子激發(fā)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布[9]、偶極子與偶極子的相互作用[3]、偶極子在靜場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)[10]等。這些研究大都將外場(chǎng)看成是靜場(chǎng)，或?qū)⑴紭O子看成是靜止或勻速運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有討論偶極子中正負(fù)電荷粒子由于加速運(yùn)動(dòng)而激發(fā)的電磁場(chǎng)對(duì)其本身運(yùn)動(dòng)的影響，同時(shí)對(duì)偶極子在外場(chǎng)中的轉(zhuǎn)向問(wèn)題也研究不多。

詳細(xì)研究偶極子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律需要應(yīng)用量子場(chǎng)論的基本理論，但在低速經(jīng)典的近似條件下也可以得出一些具有普遍意義的結(jié)論[1-2,11]。本文針對(duì)交變電場(chǎng)中的電偶極子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，建立了正負(fù)粒子運(yùn)動(dòng)方程，討論了偶極子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及在靜場(chǎng)/準(zhǔn)靜場(chǎng)情形下偶極子的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)。

1 電偶極子及其相互作用

1.1 低速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子

(1)

此即為單位時(shí)間內(nèi)粒子輻射出去的能量。

(2)

在一般情況下，式(2)并不是嚴(yán)格成立的，因?yàn)闆](méi)有考慮粒子加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其附近的電磁場(chǎng)也在變化，因此式(2)不代表瞬時(shí)關(guān)系，而是一種時(shí)間的平均效應(yīng)。假如粒子作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，在1個(gè)周期之后，粒子附近的場(chǎng)回到原狀態(tài)，則阻尼力所作的負(fù)功等于輻射出的能量，由此對(duì)式(2)進(jìn)行1個(gè)周期的積分是可行的。設(shè)周期為T(mén)，則

當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)1個(gè)周期后，速度與加速度回到原值，第1項(xiàng)積分為0。就平均效應(yīng)來(lái)看，取

(3)

(4)

1.2 電偶極子模型

由式(1)(2)可知：在無(wú)外力或外場(chǎng)作用時(shí)，偶極子正負(fù)粒子在其平衡位置附近振動(dòng)，由于具有速度與加速度，還會(huì)受到電磁阻尼與對(duì)偶粒子激發(fā)的電磁場(chǎng)的作用。

2 電偶極子在交變電場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng)

2.1 偶極子運(yùn)動(dòng)方程

(5)

(6)

(7)

(8)

2.2 方程求解

對(duì)方程(5)～(8)求解時(shí)討論兩種較典型的情況：m1=m2及m1>>m2。

當(dāng)m1=m2=m時(shí)，令：Xn=x1+x2，Yn=x1-x2，Xt=y1+y2、Yt=y1-y2，則：

(9)

(10)

(11)

(12)

其中c3、c4、d3、d4也是常數(shù)。

2.3 偶極子的轉(zhuǎn)向

偶極子轉(zhuǎn)向是由于正負(fù)粒子相對(duì)于平衡位置所產(chǎn)生的位移，但主要取決于垂向位移。設(shè)θ的增量為Δθ，正負(fù)粒子之間的距離近似為l0，則有：

(13)

(14)

負(fù)號(hào)表示角θ沿減小方向變化。

由于偶極子轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)在靜場(chǎng)或準(zhǔn)靜場(chǎng)條件下才是明顯的，不妨假定ω≈0。此時(shí)式(14)與單擺運(yùn)動(dòng)方程相同，表明偶極子以電場(chǎng)方向?yàn)檩S向作擺動(dòng)。如不考慮其他外力的作用，衰減項(xiàng)的存在使得擺動(dòng)的幅度慢慢變小，最后偶極子取向沿外場(chǎng)方向，正負(fù)粒子在其平衡位置附近作小幅振蕩。當(dāng)θ很小時(shí)，式(14)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程。

當(dāng)ω≈0時(shí)，由式(14)可解得

(15)

2.4 m1>>m2時(shí)的偶極子運(yùn)動(dòng)

當(dāng)m1>>m2時(shí)，m1位置近似為質(zhì)心，其位移和速度很小，可忽略不計(jì)。此時(shí)重要的是m2相對(duì)于m1的運(yùn)動(dòng)，因此只考慮m2的運(yùn)動(dòng)方程。取x1=y1=0，并記m2=m，由式(6)(8)可得：

(16)

(17)

可以看出，除常系數(shù)2外，式(16)與式(10)相同，式(17)與式(12)相同，其解分別為：

此時(shí)偶極子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)與本文3.2和3.3節(jié)所述類(lèi)似，本文不再重復(fù)分析。

3 結(jié)束語(yǔ)

在外加交變電場(chǎng)作用下，除由粒子間彈性恢復(fù)力引起的諧振外，電偶極子的主要運(yùn)動(dòng)是隨外場(chǎng)頻率作受迫振動(dòng)。同時(shí)，由于其正負(fù)粒子運(yùn)動(dòng)所激發(fā)的電磁場(chǎng)，還會(huì)受到自身的電磁阻尼及對(duì)偶粒子橫向電場(chǎng)的作用。偶極子的質(zhì)心可以近似地看成靜止或作勻速運(yùn)動(dòng)，正負(fù)粒子沿軸向及垂直方向的運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性。粒子沿軸向的運(yùn)動(dòng)是受迫帶阻尼的諧振運(yùn)動(dòng)，當(dāng)外場(chǎng)頻率接近電偶極子的固有頻率時(shí)，發(fā)生受迫共振，而沿垂向則是受迫阻尼振動(dòng)。二者與外場(chǎng)相比均存在相位相差90度的弱小分量。在外場(chǎng)頻率較高時(shí)，偶極子主要表現(xiàn)為在其平衡位置附近的振動(dòng)，電偶極矩與外場(chǎng)方向的夾角變化較小，不出現(xiàn)明顯的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)；在靜場(chǎng)或準(zhǔn)靜場(chǎng)條件下，電偶極子發(fā)生轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)形態(tài)類(lèi)似于單擺繞軸線的周期運(yùn)動(dòng)，其角速度大小依賴于偶極子初始狀態(tài)，并與電偶極矩與外場(chǎng)夾角有關(guān)。

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