利用常微分方程分析數(shù)碼相機(jī)市場價(jià)格發(fā)展趨勢

邱雯昕

【摘要】本文采用常微分方程法，建立了模擬索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)市場價(jià)格發(fā)展趨勢的數(shù)學(xué)模型.在實(shí)際建模過程中，采用收集并分析索尼A7系列相機(jī)市場價(jià)格數(shù)據(jù)—分析影響索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)市場價(jià)格變化的主要因素—建立常微分方程模型—求解—分析結(jié)果的建模思路.最終，本次研究得出結(jié)論，索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)市場價(jià)格發(fā)展規(guī)律與影響其價(jià)格變化的因素——供需量之間的相互作用在誤差允許范圍內(nèi)符合規(guī)律，并對模型的缺陷和待改進(jìn)點(diǎn)加以說明.

【關(guān)鍵詞】發(fā)展趨勢；常微分方程；相機(jī)市場

一、引 言

如今，數(shù)碼相機(jī)已經(jīng)取代傳統(tǒng)相機(jī)的地位進(jìn)入普通家庭用戶，經(jīng)過幾代產(chǎn)品的發(fā)展，它的制造技術(shù)逐漸成熟，價(jià)格更趨于合理，市場競爭更加激烈.在數(shù)碼相機(jī)行業(yè)有佳能、索尼、奧林巴斯、尼康等領(lǐng)頭羊的公司，這幾個(gè)公司引導(dǎo)著數(shù)碼相機(jī)產(chǎn)業(yè)的未來，同時(shí)，國產(chǎn)品牌的數(shù)碼相機(jī)公司也在積極追趕，互相之間激烈的市場爭奪也在愈演愈烈.

縱觀整個(gè)行業(yè)現(xiàn)狀，不難看出，相機(jī)市場的整體結(jié)構(gòu)，產(chǎn)品的價(jià)格定位，以及產(chǎn)品的普及度和關(guān)注度，都已經(jīng)發(fā)生了巨大的變化，而產(chǎn)生這一變化，與人們對于新生事物的追求有關(guān)，與廠商大力推廣和促銷有關(guān)，更與人們生活水平的提高有關(guān).

面臨競爭激烈的市場情況，如何能正確認(rèn)識(shí)數(shù)碼相機(jī)發(fā)展趨勢，有針對性的提高市場營銷能力，增加市場占有率，對于業(yè)界的所有公司都十分重要.而基于一定量市場數(shù)據(jù)，對數(shù)碼相機(jī)市場中的某件龍頭產(chǎn)品的行情進(jìn)行預(yù)測分析，往往能夠?qū)ζ溆嗟漠a(chǎn)品進(jìn)行一定指導(dǎo)作用.在眾多對數(shù)碼相機(jī)市場進(jìn)行分析的方法中，利用數(shù)學(xué)建模的方法建立數(shù)學(xué)模型[1]，將市場情況表征為函數(shù)關(guān)系式以簡明表示，有較為精準(zhǔn)預(yù)測市場價(jià)格發(fā)展的作用，在分析數(shù)碼相機(jī)市場價(jià)格中占有重要地位.

本文基于如上考慮，以索尼公司A7系列數(shù)碼相機(jī)為主要研究對象，建立市場價(jià)格分析數(shù)學(xué)模型.

二、問題分析

在數(shù)學(xué)模型建立之前，需要確定加以深入考慮的變量，首先選取索尼A7系列相機(jī)在市場中的平均價(jià)格數(shù)據(jù)作為模型建立前的基準(zhǔn).將1月份的數(shù)據(jù)作為標(biāo)準(zhǔn)值，將其余月份的平均數(shù)據(jù)加以標(biāo)準(zhǔn)化，繪制折線圖.

對以上曲線結(jié)果進(jìn)行簡單分析，可知：該品牌相機(jī)的市場價(jià)格和月份具有一定的相關(guān)性，結(jié)合常識(shí)可得，在旅游旺季，數(shù)碼相機(jī)的價(jià)格會(huì)相對較高，故選取月份作為主要考慮變量之一.

通過查閱相關(guān)資料，可以知道，影響索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)市場價(jià)格的因素不僅有市場需求量，還有索尼公司的供應(yīng)量，以及市場中的相關(guān)供應(yīng)鏈上的供需平衡情況.

此外，由于在收集信息的方面和建模能力方面存在較多的限制條件，所以本次研究忽略了可能對索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)的市場價(jià)格造成微弱影響的市場因素，僅考慮在供應(yīng)鏈和市場需求量方面的變化對索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)的市場價(jià)格造成的影響.利用此種類似于簡化法的方式對相關(guān)變量進(jìn)行篩選，可以有效降低模型的復(fù)雜度.

三、方法選擇

為了更好地模擬索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)的市場價(jià)格發(fā)展環(huán)境，在建立市場價(jià)格發(fā)展的數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要考慮的要素通常有很多，相應(yīng)的建立起來的數(shù)學(xué)模型就具有一定的復(fù)雜性，而通過這種方式建立的市場價(jià)格發(fā)展數(shù)學(xué)模型雖然能夠較為準(zhǔn)確地模擬和預(yù)測索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)的市場價(jià)格發(fā)展情況，但是在更廣泛的區(qū)域內(nèi)不具有適用性，而且在建模過程中的計(jì)算量超出了建模的價(jià)值意義.在本領(lǐng)域最為常見的方法是基于直接數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，但是考慮到本案例的數(shù)據(jù)獲取具有相當(dāng)?shù)木窒扌?，且?shù)據(jù)內(nèi)生性無法規(guī)避，故棄用本方法[2].

綜合考慮各種因素后，本次研究選用的依據(jù)的理論和方法是常微分方程法.

常微分方程法，顧名思義是利用常微分方程對一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)中的一系列變量進(jìn)行統(tǒng)合.一般包含如下幾個(gè)步驟：

第一步：提出實(shí)際問題，加以分析，確定式子中的因變量，自變量，不變量等.

第二步：根據(jù)實(shí)際問題的相關(guān)規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型，即列出相關(guān)的常微分方程式.

第三步：嘗試解出該常微分方程，由于常微分方程的形式總是相對固定，所以其通解的形式和方法也相對固定，解決起來往往并不復(fù)雜.

第四步：解出方程的最終結(jié)果，分析之，來解釋或者對實(shí)際問題的發(fā)展進(jìn)行預(yù)測，即通過數(shù)學(xué)語言總結(jié)實(shí)際情況，是重中之重[3].

四、模型建立

首先，假設(shè)在某一時(shí)刻t，所考慮的物品的單價(jià)為x（t）.而物品單價(jià)這一變量與這一時(shí)刻t中此種物品的市場需求量n（t）和供應(yīng)量g（t）有關(guān)，并且，供需差和此種物品的單價(jià)之間具有相關(guān)性，相互影響，相互調(diào)節(jié).拋開其他影響因素先不加以考慮，在這一時(shí)刻，列出此種物品的價(jià)格x（t），市場需求量和供應(yīng)量之間的關(guān)系，如下式：

dx（t）dt=k×[n（t）-g（t）]，

其中，k為比例系數(shù)，在這里是一個(gè)常數(shù).同時(shí)，可以知道，當(dāng)t的取值趨向于無窮大的時(shí)候，滿足式子x（t）=x′，此處的x′也為一個(gè)常數(shù)，我們將它定為穩(wěn)定價(jià)格，即相機(jī)的價(jià)格不變量.

通過對上述式子的簡要分析，可得出第一階的結(jié)論，即在t時(shí)刻這種物品的單價(jià)的變化率與供需差之間成正比關(guān)系.也就是說，在不考慮影響市場價(jià)格變化的其他因素時(shí)，就供需差而言，市場價(jià)格發(fā)展可以建立的數(shù)學(xué)模型就是最基本的常微分方程[4].

五、模型數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，選取2015年全年度數(shù)據(jù)作為主要數(shù)據(jù)集加以考查，其中供給量數(shù)據(jù)由廠商財(cái)務(wù)報(bào)告查詢得到，需求量數(shù)據(jù)由公司預(yù)測數(shù)據(jù)得到，銷量由年報(bào)得到，并將數(shù)據(jù)帶入最后式子，可得

x（t）=[1412.2-78.3]×e-0.3243+t+78.3，

再將結(jié)果與實(shí)際值進(jìn)行比較，得出平均誤差率為219%，即準(zhǔn)確率為68.1%，這一結(jié)果對于本模型來說，是相當(dāng)不錯(cuò)的結(jié)果.

六、模型缺陷和改進(jìn)點(diǎn)

縱觀整個(gè)模型，主要缺陷在于模型的復(fù)雜度不能滿足實(shí)際需求，在一個(gè)衡量市場的復(fù)雜系統(tǒng)中，僅僅通過時(shí)間，需求量和供給量幾個(gè)簡單變量加以確定銷量的函數(shù)，并不能稱得上是完全準(zhǔn)確的.在對本模型的進(jìn)一步深入研究中，必須要考慮競爭者的存在來完善模型.在該研究層面上，將考慮多種外界因素的協(xié)同作用和反饋?zhàn)饔?同時(shí)，數(shù)據(jù)量的不足也會(huì)造成結(jié)果的準(zhǔn)確性評(píng)估不具有一定的參考意義，這也是值得考慮的問題.

七、結(jié) 論

綜合以上的推導(dǎo)過程和函數(shù)結(jié)果，并進(jìn)一步結(jié)合實(shí)際情況分析，我們可以得出結(jié)論，在以索尼A7系列為代表的一般數(shù)碼相機(jī)市場中，當(dāng)時(shí)間推演趨近于無窮大時(shí)，其平均單價(jià)將會(huì)始終趨近于一個(gè)穩(wěn)定值x′，這代表了通過整個(gè)市場的調(diào)節(jié)，一件商品的價(jià)值始終會(huì)圍繞一個(gè)固定值上下擺動(dòng)，該固定值即為物品使用價(jià)值的一個(gè)表征.

利用數(shù)學(xué)語言加以說明，即如果在開始研究的時(shí)刻，即0時(shí)刻，初值即到了該穩(wěn)定值，那么在研究過程中這種物品的單價(jià)將穩(wěn)定在這個(gè)常數(shù)左右，沒有外力干擾時(shí)，不再變化.

在建立索尼A7系列數(shù)碼相機(jī)市場價(jià)格發(fā)展數(shù)學(xué)模型的過程中，運(yùn)用常微分方程建立模型具有思路簡單，條理清晰的特點(diǎn)，但同時(shí)應(yīng)用常微分方程法建模時(shí)，忽略了供應(yīng)量和需求量之間的互相調(diào)配關(guān)系，也存在一定的不足.在僅考慮市場的需求量和供應(yīng)量對某種物品的單價(jià)的影響的時(shí)候，通過常微分方程理論體系建立的某種物品的市場價(jià)格發(fā)展數(shù)學(xué)模型在誤差允許范圍內(nèi)可以說是準(zhǔn)確的，即可以用此模型預(yù)測某種物品的市場價(jià)格發(fā)展趨勢.

建立市場價(jià)格發(fā)展數(shù)學(xué)模型，不僅可以通過常微分方程進(jìn)行模擬，也可以通過其他方式建立數(shù)學(xué)模型，但是經(jīng)過對很多文獻(xiàn)的總結(jié)分析，可以發(fā)現(xiàn)，通過常微分方程的方法建立數(shù)學(xué)模型的過程最為方便準(zhǔn)確.

【參考文獻(xiàn)】

[1]方芳.常微分方程理論在數(shù)學(xué)建模中的簡單應(yīng)用[D].合肥：安徽大學(xué)，2010.

[2]張秋生.單步法求解常微分方程初值問題[J].科技通報(bào)，2012（2）：7-9.

[3]李寶萍.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（21）：1-2.

[4]任瑞芳.常微分方程理論的形成[D].西安：西北大學(xué)，2008.