數(shù)列極限定義教學(xué)的研究與實(shí)踐

高愛平

【摘要】本文通過(guò)對(duì)數(shù)列極限“ε-N”定義難點(diǎn)的分析，尋找能夠適應(yīng)高職高專學(xué)生的教學(xué)方法，以幫助初學(xué)者深刻理解數(shù)列極限的精確定義.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列極限；“ε-N”定義

數(shù)學(xué)分析課程的研究對(duì)象是函數(shù)，研究?jī)?nèi)容是函數(shù)的分析性質(zhì)，包括連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性、可積性，而極限方法是研究函數(shù)分析性質(zhì)的主要工具，數(shù)列極限又是極限概念的基礎(chǔ)，理解好數(shù)列極限概念，掌握好極限思想方法對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)分析乃至后續(xù)課程都將起到事半功倍的作用.但是長(zhǎng)期以來(lái)，高職高專的師生都反映數(shù)列極限概念難教難學(xué).本文擬從分析數(shù)列極限概念教學(xué)難點(diǎn)入手，探索適合高職高專學(xué)生的教學(xué)方法，讓大一新生順利邁進(jìn)數(shù)學(xué)分析的高門檻.

一、難點(diǎn)分析

（一）極限概念的本身特點(diǎn)

數(shù)列極限概念本身具有數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象，邏輯結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特點(diǎn).它涉及諸如“無(wú)限增大”“無(wú)限逼近”“任意”“給定”“存在”等抽象的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，概念敘述煩瑣符號(hào)多，關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，常常使學(xué)生感到莫名其妙.數(shù)列極限概念蘊(yùn)含豐富的辯證法思想、符號(hào)化思想，借助極限思想，人們認(rèn)識(shí)了有限與無(wú)限、不變與變、量變與質(zhì)變、直與曲、近似與精確的辯證統(tǒng)一.教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意借助辯證法思想、符號(hào)化思想的啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的思維方法和思維品質(zhì)，促其提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（二）學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展水平

另一方面，學(xué)習(xí)困難來(lái)自學(xué)生自身.高職高專學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，學(xué)習(xí)興趣不夠濃厚，學(xué)習(xí)能力有待提高.由高中進(jìn)入大學(xué)后，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)的第一個(gè)公認(rèn)難關(guān)就是數(shù)列極限，新概念的構(gòu)建與學(xué)生已有的舊知識(shí)、舊思想、舊方法有很大差別，難免一時(shí)弄不明白，倍受打擊，不利于充分發(fā)揮學(xué)生的智力.極限概念的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)家對(duì)那些不能用算術(shù)、代數(shù)、初等幾何等簡(jiǎn)單方法來(lái)解決的問(wèn)題進(jìn)行了漫長(zhǎng)頑強(qiáng)探索的結(jié)果，有著兩千多年的歷史，在引入數(shù)列極限概念時(shí)，教師應(yīng)向?qū)W生介紹其產(chǎn)生的文化背景，清楚極限在高等數(shù)學(xué)的核心地位，用數(shù)學(xué)家的探索精神，求真精神去激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，打好入門這一仗.

（三）教學(xué)理念的局限

目前數(shù)學(xué)分析的教學(xué)還是滿堂灌，為趕進(jìn)度馬不停蹄，缺乏學(xué)生實(shí)操訓(xùn)練與課后反饋.數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容具有高度的抽象性和邏輯性，在教學(xué)過(guò)程中過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象的理論和嚴(yán)密的邏輯，面面俱到，無(wú)懈可擊，結(jié)果只能是讓學(xué)生望而生畏，敬而遠(yuǎn)之.

二、難點(diǎn)突破

（一）歷史背景引入

極限思想在我國(guó)古代的文獻(xiàn)中早有記載：莊周的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”求圓周長(zhǎng)，阿基米德的“窮竭法”求曲邊三角形的面積，等等.這些問(wèn)題主要是無(wú)限問(wèn)題，它把某些實(shí)際問(wèn)題的研究放在無(wú)限過(guò)程中接受考察，極限概念就是為了求這些實(shí)際問(wèn)題的精確解而產(chǎn)生的.

“割圓術(shù)”求圓周長(zhǎng)，“窮竭法”求曲邊三角形的面積這里不宜展開，莊子的“截杖”易于操作理解，可作為新生的敲門磚.為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考，利用四格漫畫“羊吃草”，探討羊所哭為何，能認(rèn)識(shí)到數(shù)列極限既是一個(gè)過(guò)程（萬(wàn)世不竭），又是一個(gè)結(jié)果（羊大哭），反映了一個(gè)無(wú)窮數(shù)列在無(wú)限變化過(guò)程中的發(fā)展趨勢(shì)和發(fā)展結(jié)果，就是研究當(dāng)自變量n發(fā)生變化時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢(shì)，至于能不能到達(dá)那個(gè)“位置”，則沒有做出要求.

（二）圖形語(yǔ)言動(dòng)畫演示數(shù)列的極限

極限概念本身就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的漸進(jìn)過(guò)程，用動(dòng)態(tài)的形式把它展現(xiàn)出來(lái)，還原其本來(lái)面目，就像物理、化學(xué)的實(shí)驗(yàn)一樣，更加直觀具體地去認(rèn)識(shí)它.Matlab具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，利用這款數(shù)學(xué)軟件，可以將數(shù)列極限12n，nn+1，（-1）nn繪制出來(lái).

n=1；y=1.5；plot（n，y）；xlim（[0，10]）；ylim（[0，05]）；for n=1：10；y=1/（2.^n）；drawnow

hold on；plot（n，y，′rd′）；pause（0.1）；%決定動(dòng)態(tài)時(shí)間end

Matlab的仿真效果，可視化功能，動(dòng)態(tài)直觀演示，代替手工作圖，便于觀察自變量n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)12n的變化趨勢(shì)，得到數(shù)列極限的感性認(rèn)識(shí)，加深對(duì)極限及其變化規(guī)律的理解，并能激發(fā)學(xué)生興趣，提高教學(xué)效果.

（三）文字語(yǔ)言直觀描繪數(shù)列的極限

數(shù)學(xué)概念不能只停留在表象，必須揭示概念內(nèi)涵，遵循“感知—表象—概念”的認(rèn)知過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列動(dòng)圖，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，要求能用文字語(yǔ)言概括上述現(xiàn)象，得到極限的定性描述.

“當(dāng)n增大時(shí)，12n單調(diào)減小.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，12n無(wú)限減小，無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)就是0”.

“當(dāng)n增大時(shí)，nn+1單調(diào)增加.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，nn+1無(wú)限增大，無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)就是1”.

“當(dāng)n增大時(shí)，（-1）nn沒有單調(diào)性.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，（-1）nn無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)就是0”.

并能分辨出不是數(shù)列{an}在減小，而是數(shù)列與常數(shù)的距離|an-a|在無(wú)限減小，無(wú)限趨近于0.

（四）符號(hào)語(yǔ)言精確定義數(shù)列的極限

如此直觀描繪的極限好理解，但在后續(xù)知識(shí)的應(yīng)用中，操作起來(lái)極不方便.比如，中學(xué)減函數(shù)的直觀描繪：“隨著自變量的增大而函數(shù)值在減小的函數(shù)叫作減函數(shù)”，當(dāng)其轉(zhuǎn)化為精確定義是：“x2>x1，有f（x2）≤f（x1）”，后續(xù)知識(shí)方可借助其精確定義進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C.數(shù)列極限的直觀描繪也迫切地需要符號(hào)化為精確定義，借助這個(gè)工具，進(jìn)一步研究函數(shù)的分析性質(zhì).

不失一般性，以數(shù)列（-1）nn為例，當(dāng)n=100時(shí)，有（-1）nn-0=0.01；當(dāng)n<100時(shí)，有（-1）nn-0>0.01（減小“<”，遠(yuǎn)離“>”）；當(dāng)n>100時(shí)，有（-1）nn-0<001（增大“>”，趨近“<”，以此類推）……當(dāng)n>1 000時(shí)，有（-1）nn-0<0.001……當(dāng)n>10 000時(shí)，有（-1）nn-0<0000 1……不勝枚舉，于是引入符號(hào)ε，N，當(dāng)n>N時(shí)，有（-1）nn-0<ε.反之亦然，要使（-1）nn-0<ε，只要n>N.其中ε是任意給定的小的正數(shù)，要多小有多小，ε越小，（-1）nn-0<ε的成立表明數(shù)列（-1）nn越趨近于0，且此式成立要求n>N（N與ε有關(guān)），與最初有限項(xiàng)無(wú)關(guān).于是，不難給出數(shù)列（-1）nn的極限是0的定量定義：n>Nε（自然數(shù)Nε），有（-1）nn-0<ε（ε>0）.從而得數(shù)列{an}的極限是a的定量定義：ε>0，Nε∈N，n>Nε，有|an-a|<ε.

三、結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于高職高專的學(xué)生，剛開始認(rèn)識(shí)數(shù)列極限的時(shí)候，不宜一味追求嚴(yán)密無(wú)懈，急于描繪類似于sinnn這種忽遠(yuǎn)忽近波動(dòng)著無(wú)限逼近常數(shù)0的數(shù)列.仿唐詩(shī)《望岳》：艾普小如何，只要把N找.當(dāng)n更大時(shí)，一覽眾差?。环绿圃?shī)《春曉》：艾普任意小，遠(yuǎn)處把N找.從此N以后，距離a愈少；再如，幾何意義：ε小an愈近，N大n更優(yōu).此N的后面，數(shù)列鄰域收.可活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)熱情，吸引積極討論，亦是無(wú)傷大雅的.

【參考文獻(xiàn)】

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