三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用

劉衛(wèi)東

三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合使三角問題富于變化，為了對三角函數(shù)和平面向量問題能有更深刻的理解，本文通過五個(gè)方面來展示三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用，利用向量來解決三角函數(shù)的內(nèi)容，同時(shí)也體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想以及轉(zhuǎn)化思想。

一、利用向量的平行、垂直解決三角函數(shù)問題

利用向量平行、垂直的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解，此類問題主要體現(xiàn)方程的轉(zhuǎn)化思想。

二、利用向量的模解決三角函數(shù)最值問題

向量的模涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量的模解決三角函數(shù)最值問題，首先求出解析式，利用換元求解最值，但是注意換元必須給出定義域范圍。

分析 利用向量的坐標(biāo)加減運(yùn)算求得α十b，進(jìn)而求得|α十b|的值；由題設(shè)得出f（x），求出COSx的范圍后，利用換元法求出f（x）的最值。

三、結(jié)合向量的數(shù)量積，解決三角函數(shù)的化簡或求值

利用向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，從而建立函數(shù)關(guān)系式，解決三角函數(shù)的化簡與求值。

分析 依據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的對稱軸方程為x=π/2十Kπ，可以求得β的值，利用數(shù)量積可以求得關(guān)于三角函數(shù)的關(guān)系式，然后化簡求值，其中涉及切化弦以及二倍角公式。

四、依據(jù)三角函數(shù)圖象過點(diǎn)以及向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求參數(shù)值

通過三角函數(shù)的圖象上點(diǎn)的特征，求解參數(shù)值，巧妙地將三角函數(shù)的對稱性與向量數(shù)量積結(jié)合解決問題。

五、結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查與三角不等式相關(guān)的問題

利用數(shù)量積公式化簡求得函數(shù)的解析式，研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，解決三角不等式要注意將函數(shù)化成一角一名稱即y=Asin（ωχ+φ）十k，結(jié)合圖象解決問題。

三角函數(shù)一直以來是高考命題的熱點(diǎn)，命題形式也多樣化，向量的加入更增加了三角函數(shù)變化的靈活性。本文是筆者對三角函數(shù)與平面向量綜合應(yīng)用的一點(diǎn)拙見，希望能對同學(xué)們有所幫助。endprint