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    堅(jiān)持梳理,系統(tǒng)理解

    2018-03-13 18:51黃煜霖
    新高考·高二數(shù)學(xué) 2017年7期
    關(guān)鍵詞:定義域極值單調(diào)

    黃煜霖

    匆匆地,兩年里我們?nèi)缒潜捡Y的動車,從函數(shù)開始,一路不停地學(xué)完了高中數(shù)學(xué)所有新授課程。回眸過去,一疊疊厚重的學(xué)案與試卷,凝聚著我們兩年的辛勤。兩年里,我們的數(shù)學(xué)知識不斷累積、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富、數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷提升,數(shù)學(xué)讓我們不斷成長。然而,兩年的學(xué)習(xí)是局部的、基礎(chǔ)性的,高三的復(fù)習(xí)才是真正的考驗(yàn)。如何才能在一輪復(fù)習(xí)中跟上老師的節(jié)奏、完成自我的蛻變呢?“凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢?!北疚脑谡埥汤蠋熀蛯W(xué)長的基礎(chǔ)上,結(jié)合我們最近學(xué)習(xí)的《導(dǎo)數(shù)》單元,初步闡釋一下高三一輪復(fù)習(xí)中如何“堅(jiān)持梳理,系統(tǒng)理解”。

    導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)是高中的難點(diǎn),相應(yīng)的考題在高考中往往是處在壓軸題的位置,其涉及的知識比較廣泛,對技能和經(jīng)驗(yàn)要求比較高,常常與函數(shù)、方程、不等式以及圖象、零點(diǎn)等結(jié)合,能夠覆蓋整個(gè)代數(shù)的學(xué)習(xí),但這些考點(diǎn)之間也存在著內(nèi)在的聯(lián)系和清晰的邏輯。

    1.連點(diǎn)成線

    對一個(gè)單元的學(xué)習(xí),我們首先要掌握其中的概念。導(dǎo)數(shù)部分的概念比較多:導(dǎo)數(shù)的概念、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、函數(shù)的最值等。將每個(gè)概念看成一個(gè)個(gè)的點(diǎn),而抓住概念之間存在的聯(lián)系,就可以將點(diǎn)連成線,在這些概念中“極值、極值點(diǎn)的含義”比較復(fù)雜:

    一般地,已知函數(shù)f(x),設(shè)x1是定義域內(nèi)一點(diǎn),如果在x1附近的所有x,都有分f(x1)>f(x)(f(x1)

    如果僅從定義的表面看,其與“導(dǎo)數(shù)”沒有太大關(guān)系,但如果結(jié)合相應(yīng)的圖象理解,“極值點(diǎn)”就是函數(shù)增、減性改變的點(diǎn),則函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如下:

    單調(diào)性與極值存在著聯(lián)系,研究函數(shù)的極值,先要研究函數(shù)的單調(diào)性。我們再來看一看函數(shù)在定義域上的最大值、最小值的概念:

    函數(shù)的最大(小)值是相對于函數(shù)定義域整體而言的,如果存在最大(?。┲?,那么它是唯一的。所以,從概念表面上看,“函數(shù)在定義域上的最大值、最小值”與導(dǎo)數(shù)沒有關(guān)系。但如果我們這樣理解:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上,如果存在極大(?。┲担瑒t將極大(?。┲岛蚮(a)、f(b)進(jìn)行比較,得到y(tǒng)=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值;如果不存在極大(?。┲担瑒t只要將f(a),f(b)進(jìn)行比較,得到y(tǒng)=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(?。┲?。由此可見,導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值、最值這些概念之間具有內(nèi)在的聯(lián)系,可以形成一條清晰的線路,如下圖:

    2.合線成面

    運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì),其核心是研究函數(shù)的單調(diào)性。這是因?yàn)槿绻篮瘮?shù)的單調(diào)性,我們就可以畫出它的草圖,結(jié)合圖象可觀察函數(shù)的“極值”,進(jìn)而可求“最值”、“值域”,也可處理“函數(shù)的零點(diǎn)”、“不等式恒成立”、“方程有解問題”等問題,判斷函數(shù)的單調(diào)性是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)性質(zhì)的基石。問題是如何才能準(zhǔn)確地處理所有單調(diào)性相關(guān)問題呢?我們可以采用“合線成面”的復(fù)習(xí)模式。

    分析:對其中的a,△進(jìn)行討論,共分四種情況,我們分別作出其導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的草圖(圖l-圖4)。

    結(jié)合這些圖象,所有三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性一目了然,這里強(qiáng)調(diào)的是:當(dāng)△>0時(shí),宜將f(x)因式分解,寫成兩根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2),這樣處理不僅可以快捷地作圖,而且能直觀地判斷導(dǎo)函數(shù)的符號。

    其次,我們要進(jìn)一步厘清關(guān)于單調(diào)性的幾種表達(dá),舉個(gè)例子讓大家辨別理解一下:

    對于函數(shù)f(x)=x3-ax2十1.(1)若函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

    我們首先要思考的問題是:題目中兩問有何區(qū)別?函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,那么區(qū)間(0,2)與函數(shù)減區(qū)間有何關(guān)系?

    本質(zhì)上看,問題l是“已知f(x)的單調(diào)減區(qū)間”,而“求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間”是通過在定義域內(nèi)解不等式“f(x)<0”得到,所以,“已知f(x)的單調(diào)減區(qū)間,求參數(shù)的值”應(yīng)該化歸為“已知不等式f(x)<0的解集,求參數(shù)的值”;問題2是“已知f(x)的單調(diào)性,求參數(shù)的范圍”,事實(shí)上,“函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,2)”能夠推出“函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減”,但“函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減”不能夠推出“函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,2)”。所以,區(qū)間(0,2)是函數(shù)f(x)減區(qū)間的一個(gè)子集。具體解答如下:

    復(fù)習(xí)時(shí),我們在辨別的基礎(chǔ)上,可將相關(guān)知識“合線成面”,與單調(diào)性有關(guān)的求參數(shù)取值范圍的問題(例如:已知f(x)在區(qū)間[a,b]上為增函數(shù),求k的范圍)的基本求解策略:

    3.融面成體

    在一個(gè)個(gè)概念“連點(diǎn)成線”,一個(gè)個(gè)知識點(diǎn)“合線成面”的基礎(chǔ)上,我們還要學(xué)會將這些“線”和“面”與其他關(guān)聯(lián)知識進(jìn)行融合?!叭诿娉审w”,完善自己的知識體系,例如,我們可以用導(dǎo)數(shù)的知識來處理“零點(diǎn)”問題:

    點(diǎn)評 “函數(shù)的零點(diǎn)”本質(zhì)上是“方程的根”,求函數(shù)g(x)=f(x)+a的零點(diǎn)問題,我們可以將之轉(zhuǎn)化為求方程“f(x)=-a”的根,“數(shù)形結(jié)合”,即觀察函數(shù)y=f(x)與直線y=-a交點(diǎn)的情況,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求“函數(shù)y=f(x)的極值”問題。

    類似的融合還很多,比如一些不等式的證明,常常與函數(shù)的單調(diào)性融合起來。因?yàn)椋瘮?shù)的單調(diào)性的定義就是由不等式表達(dá)的,用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性也是由不等式來計(jì)算的。所以,處理一些不等式的證明問題常常通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來證明,僅舉一例已說明。

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