老師，這道題的數(shù)學(xué)模型是什么

王思儉

考試結(jié)束了，學(xué)生涌出考場，邊走邊議論，“今天的應(yīng)用題，我沒有想到它是什么模型”“我又沒有理解題意，不知道如何建立數(shù)學(xué)模型”“題目中的參量較多，不知道選擇哪一個作為自變量”“應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型究竟有哪些，我背了前幾年的數(shù)學(xué)模型，但一到考場里就全忘記了，不知道怎樣尋找?guī)讉€量之間的聯(lián)系”……我為此邀請幾位學(xué)生針對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的建模問題進(jìn)行交流，旨在通過對幾道應(yīng)用題的分析，引導(dǎo)學(xué)生尋找變量與變量、變量與參量的內(nèi)在聯(lián)系，掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本思路.

生甲：如圖1，某海島觀察哨A測得在海島北偏東60°的C處有一輪船，80min后測得船在海島北偏西60°的B處，又過20min輪船到達(dá)位于海島正西方且距離海島5km的E港口.如果輪船始終做勻速直線運(yùn)動，求輪船的速度.

我沒有讀懂題意，這題的數(shù)學(xué)模型是什么？我建立直角坐標(biāo)系求解，運(yùn)算量較大，過程太繁瑣，沒有成功！

師：首先要弄清楚本題有哪些條件，結(jié)論要求什么？條件有4個，結(jié)論是計算輪船的速度，我們只要計算BE或BC的長.你們知道線段BC與BE所用的時間之比是多少嗎？

眾生：4∶1.

師：于是問題可以轉(zhuǎn)化為我們要求的線段長度之比是多少？

眾生：也是4∶1.

師：你們再閱讀題目，找一找還有哪些已知條件？

師：很好！本題是以解三角形為背景的應(yīng)用題，數(shù)學(xué)模型就是路程與速度的模型.從解題過程來看，關(guān)鍵是要找出或設(shè)出角度，實(shí)質(zhì)是解斜三角形，將問題涉及的有關(guān)量集中在某一個或者幾個三角形中，靈活地運(yùn)用正弦定理、余弦定理來加以解決.

（1）求該游戲參與者從浮橋A端跑到B端所需的時間.

（2）問該游戲參與者能否在這個游戲中過關(guān)？請說明理由.

師：你們閱讀理解這句話：“若該參與者通過浮橋AB的過程中，從點(diǎn)O處發(fā)出的水波圈始終沒能到達(dá)此人跑動時的位置，則認(rèn)定該參與者在這個游戲中過關(guān)；否則，認(rèn)定在這個游戲中不過關(guān).”領(lǐng)會它的含義是什么？能否提供建立數(shù)學(xué)模型的相關(guān)信息？

師：本題的第（2）小題數(shù)學(xué)模型是三次函數(shù)模型，通過點(diǎn)在直線上建立函數(shù)關(guān)系式，將解三角形、直線方程、兩點(diǎn)間距離公式、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識整合在一起，然后再利用導(dǎo)數(shù)求解，最后再回到實(shí)際問題中來.

（2）設(shè)小船速度為10km/h，請你替該游客設(shè)計小船行駛的方位角α，當(dāng)角α余弦值的大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間到達(dá)Q.

第（1）小題的數(shù)學(xué)模型是方程類的問題，解直角三角形，建立方程；第（2）小題是三角函數(shù)模型.但由于我沒能正確理解方位角，導(dǎo)致建模錯誤，因此本題沒有得分.

師：解數(shù)學(xué)應(yīng)用題首先是對相關(guān)概念、信息要理清楚，如方位角的概念，它是指從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角；其次正確選擇數(shù)學(xué)模型，如本題是屬于追及類問題（方程、函數(shù)），要抓住同時到達(dá)；再次選擇合理的運(yùn)算方法進(jìn)行求解；最后回到實(shí)際問題中去.

師：你們在讀題時要標(biāo)注出關(guān)鍵語句，并注在圖形上，重要的數(shù)據(jù)要提煉到草稿本上，引起注意.

師：正確！本題的數(shù)學(xué)模型并不是很復(fù)雜，但關(guān)鍵是挖掘題目中的隱含條件，收集題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)并認(rèn)真分析，當(dāng)遇到困難時，再讀題，再思考還有哪個條件或數(shù)據(jù)沒有用上.

解應(yīng)用題的關(guān)鍵就是提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理分析數(shù)據(jù)，建立模型，分析求解，回歸檢驗.正弦定理、余弦定理在測量（角度、距離）、合理下料、設(shè)計規(guī)劃等方面有著廣泛應(yīng)用.從以上3題的分析過程我們可以獲得求解應(yīng)用題的基本策略：

（1）弄清題意是前提.通過閱讀，知道講的是什么，訓(xùn)練自己獨(dú)立獲取知識的能力.

（2）建立模型是關(guān)鍵.需要把實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，要有對數(shù)學(xué)知識檢索的能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.

（3）正確解模是目標(biāo).建立了數(shù)學(xué)模型后，要正確解出數(shù)學(xué)問題的答案，并加以檢驗，需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力.

（4）提高能力是根本.正確快捷地求解應(yīng)用題需要提高各種綜合能力.endprint