合理假設參數(shù)，提高運算速度

郭煒

在解決解析幾何相關問題時常常需要合理引入?yún)?shù)，以便迅速發(fā)現(xiàn)解題思路，減少運算量，提高解題速度.常見的設參方式有：①點參數(shù)；②斜率參數(shù)；③角參數(shù)；④線參數(shù)；⑤截距參數(shù)等.請看以下三個例子.

一、熟練運用“斜率參數(shù)”

將直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到方程組，用韋達定理可以得出x₁+x₂，x₁x₂的值，從而找到k，b的關系，消元后可簡化直線MN的方程，進一步探究直線MN是否過定點.可得到解法二.

解題反思 解法一使用“斜率參數(shù)”，參數(shù)只有1個，雖有較大的運算量，但思路清晰，應該很有信心做下去，而且通過直線MN垂直于x軸這一特殊位置，很容易猜想出該定點坐標，把探究題化歸為證明題，可以進一步降低運算量.解法二使用“點參數(shù)”，參數(shù)量較多，思維量也較大，需要具備較強的綜合分析問題的能力，運算量也較大，對于算理的要求也比較高.

二、合理運用“點參數(shù)”

分析1 將四邊形的面積分割成兩個三角形△AEF和△BEF.這種分割需要以EF為底，以A，B到EF的距離為高，表示三角形面積，這就要知道直線EF的方程，可以考慮“斜率參數(shù)”.

簡解 假設直線EF的斜率為k，則k>0，直線EF的方程為y=kx（k>0），先求EF的長，再求A，B兩點到直線EF的距離.

分析2 如果把四邊形分割成△AEB和△AFB，因為已知點A，B的坐標，易得AB長度和直線AB的方程，要得到E，F(xiàn)到AB的高，可以用“點參數(shù)”設出點E的坐標.

解題反思 通過解答過程可發(fā)現(xiàn)本題利用“點參數(shù)”表示三角形面積比用“斜率參數(shù)”表示面積更方便，用“點參數(shù)”把面積表示出來后出現(xiàn)了關于x₀，y₀二元一次式子的最值問題，再用“角參數(shù)”表示出點的坐標，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，則可進一步簡化計算.遇到與面積相關的問題，通過分割后，三角形的底和高有時可用坐標表示，比較簡單，所以一般用“點參數(shù)”比用“斜率參數(shù)”更容易表示出面積.

三、靈活運用“線參數(shù)”

例3 如圖3，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點5km處有一中轉(zhuǎn)站P，現(xiàn)準備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過中轉(zhuǎn)站.為方便交通，準備過中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長度和的最小值.

分析 本題即求過點P的兩條動弦AB，CD之和的最小值，圓的半徑是定值，弦長的變化是由圓心O到弦AB，CD的距離d₁，d₂決定的，而d₁，d₂之間滿足 + =25，建模后通過“消元”可化歸為函數(shù)的最值問題.

所以兩條公路長度和的最小值是（20+10 ）km.

解題反思 一些同學在解決此問題時以O為原點，以OP為y軸建立平面直角坐標系，然后選擇以直線AB的斜率k為參數(shù)（需對斜率不存在的情況進行討論），用弦長公式分別表示出AB，CD的長度，從而AB+CD的長度就化歸為關于斜率k的雙根式函數(shù)問題.由于目標函數(shù)比較復雜，只有個別同學能夠通過平方、換元得出最終答案.通過本例可發(fā)現(xiàn)在圓中經(jīng)常選擇弦心距為參數(shù)建模.一般地，當變化是由某線段引起的，經(jīng)常選擇線段長為參數(shù)，即“線參數(shù)”.

通過對以上三個問題的研究，我們發(fā)現(xiàn)，合理選取參數(shù)，對提高解析幾何題的運算速度至關重要.同學們在復習中要注意比較，注重積累，不斷優(yōu)化.endprint