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    構(gòu)造函數(shù),巧解題

    2018-03-12 09:00:34遼寧省沈陽市第四中學(xué)孫玉才
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年3期
    關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)變式單調(diào)

    ☉遼寧省沈陽市第四中學(xué) 孫玉才

    若題設(shè)出現(xiàn)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式,或題設(shè)給出“雙變量”不等式恒成立,則往往可通過構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)獲得簡捷、明了的解答.請(qǐng)看以下歸類解析.

    一、考慮移項(xiàng)作差,構(gòu)造函數(shù)

    評(píng)注:本題構(gòu)造函數(shù)之后,需要先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再利用所得函數(shù)的單調(diào)性求解不等式.

    變式訓(xùn)練:已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(-2)=2018,且對(duì)任意x∈R,都有f′(x)>2x成立,則不等式f(x)>x2+2014的解集為________.

    簡解:令函數(shù)F(x)=f(x)-x2-2014,則F′(x)=f′(x)-2x>0,所以F(x)在R上為增函數(shù).又可求得F(-2)=0,所以f(x)>x2+2014?F(x)>0=F(-2)?x>-2.故所求不等式的解集為(-2,+∞).

    二、直接考慮導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,構(gòu)造函數(shù)

    故所求不等式的解集為(1,+∞).

    評(píng)注:本題求解的關(guān)鍵是根據(jù)不等式f(x)>xf′(x),考慮導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,靈活構(gòu)造函數(shù);構(gòu)造函數(shù)之后,應(yīng)充分利用函數(shù)的性質(zhì)求解目標(biāo)問題.

    變式訓(xùn)練:已知f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0.對(duì)任意正數(shù)a,b,若a<b,則必有( ).

    (A)af(b)≤bf(a)

    (B)bf(a)≤af(b)

    (C)af(a)≤f(b)

    (D)bf(b)≤f(a)

    簡解:令函數(shù)y=xf(x),x∈(0,+∞).由于xf′(x)+f(x)≤0,故函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞減或?yàn)槌?shù)函數(shù).所以,必有af(a)≥bf(b).又根據(jù)f(x)≥0,且0<a<b,可得af(a)≤bf(a),af(b)≤bf(b).綜上,af(b)≤bf(b)≤af(a)≤bf(a).故選A.

    三、結(jié)合特殊的指數(shù)函數(shù)y=ex,考慮導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,構(gòu)造函數(shù)

    例3已知f(x)為定義在(-∞,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)>f′(x),則().

    (A)f(2)>e2·f(0),f(100)>e100·f(0)

    (B)f(2)<e2·f(0),f(100)>e100·f(0)

    (C)f(2)>e2·f(0),f(100)<e100·f(0)

    (D)f(2)<e2·f(0),f(100)<e100·f(0)

    解析:因?yàn)椋╢x)>f(′x),考慮特殊的指數(shù)函數(shù)y=ex,可構(gòu)造函數(shù),則,所以函數(shù)F(x)為(-∞,+∞)上的減函數(shù).

    變式訓(xùn)練:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意x∈R,f(′x)+(fx)>0,則對(duì)任意正數(shù)a,必有( ).

    簡解:令函數(shù)F(x)=exf(x),則F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]>0,故F(x)在R上單調(diào)遞增.又a>0,所以F(a)>F(0),即eaf(a)>e0f(0),所以.故選C.

    四、考慮外在結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造函數(shù)

    例4設(shè)函數(shù)f(x)=x3-11x,若對(duì)任意a,b∈(2m,m+1),且b>a,有不等式恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

    構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-x=x3-12x,

    則h(x)在(2m,m+1)上單調(diào)遞減.

    又由h′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)知,

    函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,2).

    故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1,1).

    評(píng)注:本題切入點(diǎn)的探求具有一定的隱蔽性,需要靈活變形.構(gòu)造函數(shù)之后,要注意借助定義、導(dǎo)數(shù)均可分析函數(shù)的單調(diào)性,并活用之解題.

    綜上,構(gòu)造函數(shù)是一種創(chuàng)新思維,對(duì)能力的要求較高,需要我們?cè)诮忸}實(shí)踐中不斷積累經(jīng)驗(yàn),且學(xué)且悟且應(yīng)用.

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