特殊化思想運(yùn)用舉隅

☉山西省教育科學(xué)研究院 常 磊

☉山西省汾西縣第一中學(xué)校 申明生

一、引言

將問(wèn)題的條件特殊化（退化），或是挖掘問(wèn)題中蘊(yùn)含的特殊性條件，并由此切入作為探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的突破口，是最常見的一種直觀性的數(shù)學(xué)思想方法.尤其是學(xué)生在有限的考試時(shí)間內(nèi)將其運(yùn)用于對(duì)某些選擇題、填空題乃至解答題結(jié)論的快速判斷和獲取，常常能起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、一針見血、直奔結(jié)論的事半功倍的獨(dú)特效果.因此，特殊化的數(shù)學(xué)思想方法倍受師生的青睞.請(qǐng)看下例：

例1 已知實(shí)數(shù)a、b、c，下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

解析：本題若直接推導(dǎo)判斷，顯然難度較大；若特殊化間接解決，即選取特殊的實(shí)數(shù)代入排除掉錯(cuò)誤的選項(xiàng)，則可輕松獲得正確的結(jié)果.如：對(duì)于A，取c=-10，a=b且a2+b=9.6，則a+b2=9.6，顯然滿足條件但不滿足結(jié)論，排除之；對(duì)于B，取a2+b=0.4，c=0.2，當(dāng)a2=100，b=-99.6時(shí)，顯然不合，排除之；對(duì)于C，取a+b=0.2，c2=0.3，當(dāng)a=10，b=-9.8時(shí)，顯然不合，排除之.所以正確結(jié)論為D.

可以預(yù)見，本題若用其他方法，難度會(huì)大大增加，甚至?xí)?dǎo)致無(wú)果而終.而使用特殊化的方法，即可一掃疑云，輕松獲解，又符合數(shù)學(xué)之求簡(jiǎn)主旨.

但是，若思維不慎，無(wú)理無(wú)據(jù)地貿(mào)然使用特殊化的方法，則會(huì)讓同學(xué)們誤入歧途，反倒加速了錯(cuò)誤的行進(jìn)步伐，如下例：

例2 若方程|x2-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是（ ）.

解析：解答本例時(shí)，就有學(xué)生信心滿滿地采用了特殊化的方法予以解答，其解法如下：如圖1所示，當(dāng)直線y=t向下或向上平移至與x軸重合、與拋物線頂點(diǎn)P（1，2）相切的兩個(gè)極限位置時(shí)，式子2（x4-x1）+（x3-x2）取得最值.當(dāng)直線y=t與x軸重合時(shí)，x1=x2=1-，x3=x4=1+，則2（x4-x1）+（x3-x2）=；當(dāng)直線y=t與拋物線相切于點(diǎn)P時(shí)，x1=-1，x2=x3=1，x4=3，則2（x4-x1）+（x3-x2）=8，由于x1＜x2＜x3＜x4，所以2（x4-x1）+（x3-x2）≠8，比較二者大小可得答案應(yīng)選A.

事實(shí)上，稍加分析就不難知道以上解答是錯(cuò)誤的.因?yàn)楫?dāng)將直線y=t由下向上移動(dòng)時(shí)，x4-x1的值逐漸增大；而x3-x2的值在逐漸減小，所以不能判斷2（x4-x1）+（x3-x2）的值是增大還是減小.

其實(shí)，由圖1可知，x1，x4是方程x2-2x-1=t的兩根，x2，x3是方程x2-2x-1=-t的兩根，由韋達(dá)定理可得2（x4-x1）+（x3-x2）=2（2+）（0＜t＜2），由柯西不等式可知2（x4-x1）+（x3-x2）≤4，顯然與上述結(jié)論不符.

圖1

以上錯(cuò)解產(chǎn)生的原因，即是想當(dāng)然、無(wú)理?yè)?jù)的猜測(cè)所導(dǎo)致.因此，正確地使用特殊化思想方法解題的前提是要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)真分析，確保符合數(shù)學(xué)之推理邏輯.

那么，用特殊化的思想方法解決問(wèn)題，有哪些方面的應(yīng)用呢？本文試以高考題為主，談?wù)劰P者運(yùn)用特殊化思想方法解題的若干思考.旨在拋磚引玉，引起廣大讀者的重視與進(jìn)一步探究的欲望.但限于水平，所述定有謬誤，敬請(qǐng)方家批評(píng)指正！

二、特殊化思想方法運(yùn)用舉隅

1.特值剔假，間接求真

數(shù)學(xué)選擇題一般是按“四選一”來(lái)設(shè)計(jì)的，即在四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的.因此，某些選擇題可用剔除法間接求得正確的選項(xiàng).即選用特殊值代入只要能夠判斷出其中三個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，那么所剩即為正確選項(xiàng)（如例1）.

例3 （2016年全國(guó)Ⅰ卷理8）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（ ）.

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc

例4（2015年浙江卷（理）7）存在函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意x∈R都有（ ）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

眾所周知，只要是有關(guān)函數(shù)圖像的選擇題，大多須采用此法.而這類問(wèn)題近年來(lái)時(shí)有考查（如2015年安徽卷（理）9；2016年全國(guó)Ⅰ卷（理）7等）.

2.因果互參，由果導(dǎo)果

對(duì)于選擇題來(lái)說(shuō)，選項(xiàng)也是已知條件的一部分，解題時(shí)不能視而不見，置之不理.某些選擇題可以把選項(xiàng)當(dāng)做條件來(lái)檢驗(yàn)是否符合題目的要求，從而逐一檢驗(yàn)得到正確的結(jié)果.此法雖顯笨拙，但終可下手.況若講究技法，亦可以拙制巧.

A.11 B.9 C.7 D.5

解析：依據(jù)選項(xiàng)，從大到小驗(yàn)證取得.

若ω=11為最大值時(shí)，則（fx）=sin（11x+φ），依已知有且，可求得所以f（x）=顯然，y=sinx在上不單調(diào)，與已知條件矛盾，所以排除A.

3.著眼特殊，內(nèi)涵突破

解題的關(guān)切，首先就是看其有無(wú)特殊性.大凡問(wèn)題均有其自身之特殊性蘊(yùn)含其中.抓住特性，切入要害，攻其一點(diǎn)，取得突破.

例6（2015年全國(guó)Ⅰ卷理12）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（ ）.

解析：觀察函數(shù)式特點(diǎn)，取特殊值x=0，得到（f0）=a-1＜0，所以，根據(jù)題意知x0=0即為唯一存在的整數(shù).為此應(yīng)該有（f-1）＞0且（f1）＞0，解得，故選A.

4.普適結(jié)論，特例亦然

普遍條件（全集）下適用的數(shù)學(xué)命題，在特殊情形（子集）下也是成立的.因此，解答一些普適條件（全集）下的數(shù)學(xué)客觀問(wèn)題時(shí)，只考慮其特殊情形（子集）就可以得到其正確的結(jié)果.主觀題也可以通過(guò)將條件特殊化而預(yù)測(cè)到問(wèn)題的可能結(jié)果.

例7 （2012年全國(guó)Ⅰ卷理16）數(shù)列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則｛an｝的前60項(xiàng)的和為________.

解析：本題未給出a1的值，說(shuō)明其為任意值時(shí)不影響問(wèn)題的結(jié)果.故特殊化賦值，令a1=1，根據(jù)遞推式得a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，a7=1，a8=14，…，發(fā)現(xiàn)a1，a3，a5，…，a59是各項(xiàng)都為1的常數(shù)列；a2，a4，a6，…，a60是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列.所以a1+a2+…+a60=1830.

5.以動(dòng)制靜，極限探究

對(duì)運(yùn)用特殊化思想解題能力的考查，以2015年全國(guó)Ⅰ卷（理）的試題最為突出.除選擇題有所考查外（如例7），填空題中共四道就有三道予以考查，可謂集中火力，重磅出擊.

解析：線性規(guī)劃問(wèn)題就是特殊化思想中“以動(dòng)制靜，極限探究”運(yùn)用的典型代表.本題由約束條件畫出可行域，如圖2，的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O連線的斜率k.于是，將直線y=kx繞O點(diǎn)在可行域內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OA的極限位置時(shí)最大.由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為

圖2

6.零點(diǎn)問(wèn)題，特值破解

高考中很多壓軸題（如判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)）最終的歸因，即判斷函數(shù)值的大小或正負(fù)，而判斷的利器之一，就是尋求合適的特殊值利用單調(diào)性來(lái)間接獲得.

例9（2017年全國(guó)Ⅰ卷理21）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析：（1）若a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；若a＞0，f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減，在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增.（過(guò)程略）

（2）若a≤0，由（1）知，f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn).

若a＞0，由（1）知，當(dāng)x=-lna時(shí)，（fx）取得最小值，最小值為（f-lna）=1-+lna.

①當(dāng)a=1時(shí)，由于（f-lna）=0，所以（fx）只有一個(gè)零點(diǎn)；

所以（fx）沒(méi)有零點(diǎn)；

因?yàn)?lna＞0，不妨取特殊值x1=-1，得f（-1）=ae-2+（a-2）e-1+1＞（a-2）e-1+1＞-2e-1+1＞0，所以f（x）在（-∞，-lna）上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，a的取值范圍是（0，1）.

7.特殊退化，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題難于處理時(shí)，最有效的策略就是“退”，退到特殊的又便于解決的簡(jiǎn)單情形，找出問(wèn)題解決的途徑或發(fā)現(xiàn)有用的結(jié)論，然后以此為基礎(chǔ)通過(guò)聯(lián)想與類比不斷地逼近原問(wèn)題，從而將問(wèn)題完美地解決.

解析：由于“點(diǎn)P在△AOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)”的條件顯得較為抽象，不易下手.但是當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，就比較具體容易了.為此，先把問(wèn)題變式為以下特殊情形進(jìn)行探索，以便獲取解決問(wèn)題的途徑.

圖3

上述解答過(guò)程，有兩點(diǎn)啟示：一是將向量坐標(biāo)化，使問(wèn)題易于描述；二是利用點(diǎn)P的軌跡，建立了λ，μ的相應(yīng)關(guān)系.借鑒這兩個(gè)優(yōu)勢(shì)，嘗試解決原問(wèn)題.

圖4

如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)P在△AOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)OP交AB于點(diǎn)Q.設(shè)因?yàn)樗运杂捎邳c(diǎn)Q在線段AB上（不含端點(diǎn)），所以，即λ+μ=（t0＜t＜1，0≤λ≤t，0≤μ≤t）.

對(duì)于滿足0＜t＜1的每一個(gè)t值，動(dòng)點(diǎn)M（λ，μ）構(gòu)成的圖形是線段λ+μ=（t0≤λ≤t，0≤μ≤t）.于是可知，當(dāng)點(diǎn)P在△AOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M（λ，μ）構(gòu)成的圖形是以（0，0）、（0，1）、（1，0）為頂點(diǎn)的直角三角形內(nèi)部.故動(dòng)點(diǎn)M（λ，μ）構(gòu)成的圖形的面積為

選取特殊的角度進(jìn)行探究，果然抓住了問(wèn)題的本質(zhì)特性，形成了破竹之勢(shì)，難點(diǎn)瞬間崩潰，問(wèn)題順利解決.

三、結(jié)束語(yǔ)

辯證法認(rèn)為，觀察事物，首先要注意到事物中矛盾的特殊性，從特殊入手探求一般.因?yàn)榉治雒艿奶厥庑允钦_認(rèn)識(shí)事物的基礎(chǔ)；同時(shí)，分析矛盾的特殊性也是正確解決矛盾的關(guān)鍵.一般而言，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，總會(huì)或多或少存在它自身區(qū)別于其他問(wèn)題的特殊性.只要認(rèn)真挖掘，就會(huì)有所發(fā)現(xiàn)；只要善于思考和利用，就會(huì)有所作為，有所收獲.因此，用特殊化思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，是巧取，而不是逃避，不是不可登大雅之堂；是一種智慧，而不是旁門左道，羞于表述；是一種簡(jiǎn)約思維，而不是偶然之遇；是一種視角，而不是無(wú)為之僥幸.是探究、嘗試、歸納、猜想、論證過(guò)程的前奏，是不以人的主觀意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的素養(yǎng)之一.邏輯固然重要，但打開解題局面，則常常需要數(shù)學(xué)直觀能力，而直觀能力又來(lái)自于問(wèn)題中特殊化的捕捉，由此不斷升華解題境界.同時(shí)，特殊化思想既符合數(shù)學(xué)之求簡(jiǎn)精神，也符合學(xué)生之認(rèn)知規(guī)律.它有利于學(xué)生大膽而審慎地破框思考，質(zhì)疑現(xiàn)狀.因此，教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視并需要引導(dǎo)學(xué)生深入地進(jìn)行研究，形成一種思維品質(zhì)，運(yùn)用于問(wèn)題解決之中.

1.李啟超，潘國(guó)雙.北京高考數(shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)實(shí)踐與反思［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（1）.

2.張千明.運(yùn)用聯(lián)想與類比開展探究性學(xué)習(xí)——用向量解決一類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2017（5）.F