習(xí)知識(shí)，煉方法，善反思
——新課程背景下一道解析幾何課堂教學(xué)的實(shí)踐與思考

☉浙江省慈溪中學(xué) 張 軍

解析幾何是在平面直角坐標(biāo)系的框架下用代數(shù)的方法來(lái)研究圖形的幾何性質(zhì)，問題一般涉及的變量多，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，是公認(rèn)的“一根難啃的硬骨頭”.它是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，但卻是高考的熱點(diǎn).學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何主要存在以下問題：

1.學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)只停留在“聽懂”“看懂”層面，未能真正理解，缺少進(jìn)一步深入研究；

2.運(yùn)算能力薄弱，不能合理轉(zhuǎn)化；

3.缺少題后反思，很少有知識(shí)聯(lián)系.

那么如何在課堂教學(xué)中破解出現(xiàn)的問題，是值得每位教師思考的問題.本文作者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和思考，運(yùn)用重過(guò)程、重應(yīng)用、重體驗(yàn)、重參與的課堂模式，以學(xué)生為主體，充分暴露解題思維和探究過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，破解學(xué)生對(duì)解析幾何的“恐懼”.

一、試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

此題涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)的計(jì)算、三角形面積的計(jì)算等.背景簡(jiǎn)單、條件熟悉，起點(diǎn)低，入口寬，突出主干知識(shí)，緊扣考試說(shuō)明.但是學(xué)生在第（2）問碰到很大困難，究其原因，主要是解題方法選擇不當(dāng)，運(yùn)算能力不強(qiáng)，缺少知識(shí)的融會(huì)貫通和靈活應(yīng)用.

二、教學(xué)片段

師：請(qǐng)同學(xué)們迅速做一下第（1）問.

生1：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1），

師：同學(xué)們，第（1）問很簡(jiǎn)單，但計(jì)算一定要仔細(xì)準(zhǔn)確，因?yàn)橐坏╁e(cuò)誤，那整個(gè)大題都錯(cuò)了，同時(shí)還要注意由于兩條直線斜率的存在，所以x不能取±1.

師：下面請(qǐng)同學(xué)們考慮一下第（2）問怎么處理.

生2：對(duì)于存在性問題可先假設(shè)存在，目標(biāo)是求出△PAB和△PMN的面積.

師：那么你說(shuō)說(shuō)該如何求這兩個(gè)三角形的面積呢？

生2：先要求出這兩個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)及其所對(duì)應(yīng)的高.

師：那么如何求解呢？

生2：先選擇參數(shù)，由于要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，所以選擇斜率k為參數(shù)，這樣可得到直線AP和BP，然后利用韋達(dá)定理即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

設(shè)直線AP的方程為y=k（x+1）+1，則直線BP的方程為

師：很好！有了點(diǎn)P坐標(biāo)，接下來(lái)我們要做什么工作呢？

生3：接著求P到直線AB和x=3的距離，即兩個(gè)三角形的高，再求得線段AB和MN的長(zhǎng)，就可以表示出三角形的面積.

師：非常棒！請(qǐng)大家一起共同來(lái)嘗試下.

教師巡視，查看學(xué)生的解題過(guò)程，但是這個(gè)思路很快就遇到了困難，選擇一份做不下去的草稿投影在黑板上：

若存在點(diǎn)P，使S△PAB=S△PMN，則P必在直線AB的右上方，且yN>yM.

因?yàn)?+3k2≠0，所以12k2+9k+1=0.

但接下去點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x1求不出來(lái)了，想用求根公式求出k的值然后代入x1=，又覺得運(yùn)算量太大，幾乎不可能完成，不知所措了.

師：生2的思路是不是不能做了呢？是否必須要把k解出來(lái)？

生4：不必求出k的值，這里設(shè)而不求的思想，得到

教室里傳來(lái)了同學(xué)們的驚嘆之聲，佩服生4的高超運(yùn)算智慧，變繁為簡(jiǎn)，化腐朽為神奇.

師：對(duì)于生2的方法容易想到，但卻不容易解出答案，運(yùn)算有些復(fù)雜，所以平時(shí)我們一定要加強(qiáng)運(yùn)算能力訓(xùn)練，只要運(yùn)算中有一點(diǎn)點(diǎn)失誤，就很難得到正確答案.那么還有其他思路嗎？

生5：根據(jù)三角形的面積公式可得

師：太棒了！生5能將所學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用，融會(huì)貫通，運(yùn)算量明顯比上一種思路要簡(jiǎn)潔，值得我們大家學(xué)習(xí).

生6迫不及待地站了起來(lái)：我對(duì)生5的思路還有另外一種處理方式：

如圖1，連接|BM|、|AN|，

圖1

師：生6的方法也很妙.

師：解析幾何一般處理方式是幾何問題代數(shù)化，其實(shí)質(zhì)就是將問題中的幾何要素用坐標(biāo)或方程表示，利用坐標(biāo)運(yùn)算和方程思想，來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì).但仍然要注意圖形的性質(zhì)，用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡(jiǎn)化計(jì)算.數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何的精髓所在.

師：通過(guò)這節(jié)課你有什么體會(huì)？大家可以相互交流，并應(yīng)用到以后的學(xué)習(xí)中去.

生7：要加強(qiáng)基本運(yùn)算能力的訓(xùn)練，加強(qiáng)方法的比較，通過(guò)分析與比較有時(shí)會(huì)得到“巧算”.

師：是的，在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，要重視基本思路、基本運(yùn)算；要重視分析、比較；要重視過(guò)程步驟、答題規(guī)范.

三、拓展延伸

講授完該題，學(xué)生對(duì)如何啃下解析幾何這根“硬骨頭”有了初步認(rèn)識(shí)，教師從該題出發(fā)，進(jìn)行適當(dāng)改編，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和提升學(xué)生的解題能力.

（2）橢圓C上是否存在三點(diǎn)D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=？若存在，判斷△DEG的性狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

四、課后反思

1.進(jìn)行解析幾何教學(xué)時(shí)要重通法，教算理，幫助學(xué)生掌握解題策略

對(duì)于解析幾何的教學(xué)，并不是題目講得越多越好，也不是技巧講得越巧妙越好，而是要“授人以魚，不如授人以漁”.要堅(jiān)持以學(xué)生為主體，多角度示范解題分析，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，重視數(shù)學(xué)思想和方法來(lái)指導(dǎo)解題，避免盲目地生搬硬套.如通過(guò)第（2）問的講解，點(diǎn)撥學(xué)生總結(jié)解決解析幾何問題的方法步驟，利用設(shè)而不求的方法、轉(zhuǎn)化相關(guān)條件、注重整體代換等運(yùn)算技能，從能力角度提高對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，反思運(yùn)算方法的優(yōu)化，不斷提高運(yùn)算水平.同時(shí)解題方法的多樣性，有助于拓展學(xué)生的思維.

2.進(jìn)行解析幾何教學(xué)時(shí)要以探究為徑，發(fā)揮學(xué)生主體作用

俗話說(shuō)“百聞不如一練”，只有讓學(xué)生“動(dòng)起來(lái)”，才能使所學(xué)知識(shí)“活起來(lái)”“用起來(lái)”.所以要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)探究，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問題.教師做好引導(dǎo)，以問題模式為驅(qū)動(dòng)，在時(shí)間和空間上保證學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)正常展開和學(xué)習(xí)行為真實(shí)發(fā)生，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生思考，在形式和本質(zhì)上保證學(xué)生大腦處于積極的思維狀態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生探究思考的好習(xí)慣.

3.進(jìn)行解析幾何教學(xué)時(shí)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情景，培養(yǎng)學(xué)生抗挫能力

大多數(shù)學(xué)生對(duì)解析幾何題有著一種恐懼感，在探索思路、分析求解的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“絞盡腦汁而無(wú)從下手”“運(yùn)算繁雜而中途作廢”的思維受阻現(xiàn)象.所以解決解析幾何問題，信心很重要，堅(jiān)持也很重要.但信心和堅(jiān)持需要我們從平時(shí)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中去獲取，在平時(shí)的教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生去做這類題目，在他們算不對(duì)，化簡(jiǎn)不出的時(shí)候個(gè)別輔導(dǎo)，與學(xué)生一起運(yùn)算，讓他們?cè)谛睦砩舷冉邮苓@類題，相信這是他們能解決的問題.在解析幾何這條路上，享受的不是結(jié)果，而是在失敗中找出成功的途徑，培養(yǎng)耐心，磨礪心志，這就是解析幾何帶給我們的最美之處.