問題引入藝術(shù)在高中平面解析幾何中的應(yīng)用研究
——以人教版高中數(shù)學(xué)為例

☉安徽省無為中學(xué) 胡支云

一、問題引入概念解析

在傳統(tǒng)的教學(xué)活動中，老師是絕對的主導(dǎo)，教學(xué)活動的進(jìn)行可以說是完全依賴于教師的思維，學(xué)生作為被動的接受者，其學(xué)習(xí)能力、接受能力基本上就決定了各自的學(xué)習(xí)成績.

與此不同的是，新課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生的要求不再局限于課本知識點(diǎn)的掌握情況，更重要的是通過有效的教學(xué)行為提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，教學(xué)活動都是圍繞這一個目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計和開展的.在這樣的教學(xué)方式中，教師需要在引入課程知識點(diǎn)時采用“提問題”的方式，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)新知識.在這樣的新教學(xué)模式下，學(xué)生個人的領(lǐng)悟能力是其學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵.新課改要求每一個學(xué)生達(dá)成課程目標(biāo)的機(jī)會是均等的，因此對于每一個學(xué)生個體而言，在教師的正確引導(dǎo)下，都應(yīng)達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).

二、問題引入方法

（一）類比法

相近的知識點(diǎn)之間往往存在相似性，因此類比的思想方法對于學(xué)習(xí)過程很有幫助.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)或提出是從具體的現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，通過類比聯(lián)想得出的.

比如，圓、橢圓、拋物線、雙曲線等二次曲線的解析式存在較高的相似性，因此，在教學(xué)過程中，教師可以對課程內(nèi)容進(jìn)行重新編排，從不同曲線的內(nèi)涵、表達(dá)式、性質(zhì)等方面進(jìn)行對比學(xué)習(xí)，從某一個曲線的學(xué)習(xí)擴(kuò)展到其他曲線，相互借鑒，引入問題.

（二）游戲法

在引入課程內(nèi)容時，為了增強(qiáng)趣味性，教師可以適當(dāng)?shù)丶尤胩剿餍缘娜の队螒?，借此提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，營造輕松的課堂氛圍，讓學(xué)生在這樣的環(huán)境中學(xué)習(xí)與思考，最大程度地減弱數(shù)學(xué)學(xué)科的枯燥性質(zhì).

（三）案例法

與傳統(tǒng)的問題引入方法相比，通過案例演繹的方法將知識內(nèi)容傳遞給學(xué)生更具吸引力，增強(qiáng)學(xué)生的直觀認(rèn)知.比如，在講授直線與圓的位置關(guān)系時，教師可以以固定航向的船只是否觸礁為例，向?qū)W生介紹直線與圓的不同位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考各位置關(guān)系的判定條件，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性.

（四）懸念設(shè)置法

在問題導(dǎo)入教學(xué)過程中，教師一定要注意問題的設(shè)計要與學(xué)生的認(rèn)知水平相符合，設(shè)置一定的懸念，激發(fā)學(xué)生的求知欲.比如，在講授“拋物線”一章時，教師可以設(shè)置如下問題：

同學(xué)們在初中時就已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)，知道二次函數(shù)的性質(zhì)及圖像.二次函數(shù)的圖像與咱們這節(jié)課要學(xué)的拋物線相比存在一定的聯(lián)系，大家試著去歸納出這兩種不同的圖形之間的聯(lián)系.

這樣一個探索性質(zhì)的問題是不能在課本上直接找出答案的，需要學(xué)生去自主思考，能較大程度地激發(fā)學(xué)生的探索欲，課堂教學(xué)效果大大提升.

三、平面解析幾何教學(xué)設(shè)計

下面以人教版高中數(shù)學(xué)必修2教材第三章“圓與方程”第二節(jié)“直線與圓的位置關(guān)系”為例，采用問題引入的方式設(shè)計教學(xué)過程，對引入過程進(jìn)行了分析.

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.技能目標(biāo)

（1）結(jié)合具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解直線與圓的三種位置關(guān)系，抽象其定義；

（2）能根據(jù)定義判斷直線與圓的不同位置關(guān)系.

2.方法目標(biāo)

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、談?wù)摰妊芯炕顒?，使學(xué)生體會探索問題的一般方法.

3.情感目標(biāo)

（1）通過具體的情景引入課程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；

（2）讓學(xué)生親身體會數(shù)學(xué)活動，在活動中獲得成就感.

（二）教學(xué)方法

由于幾何問題對學(xué)生的形象思維要求較高，需要學(xué)生具備一定的聯(lián)想能力，因此在講授這部分內(nèi)容時，教師應(yīng)著重采用“問題引入”的教學(xué)方法，通過層層遞進(jìn)的教學(xué)活動來引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)展，在活動中逐漸掌握知識點(diǎn).

（三）教學(xué)過程

1.知識點(diǎn)回顧（類比法）

在課程開始之前，教師可以問同學(xué)們以下幾個問題：

（1）兩點(diǎn)間的距離公式是怎樣的？點(diǎn)到直線的距離公式又如何表達(dá)？

（2）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪些？分別有什么判斷依據(jù)？

通過提問，讓學(xué)生迅速回憶起之前所學(xué)的內(nèi)容，尋找這些知識點(diǎn)與這節(jié)課內(nèi)容的聯(lián)系，類比思考，在課程開始之前就能對這節(jié)課的知識有初步的認(rèn)識，對老師提出的問題能有自己的想法，進(jìn)而對本節(jié)課的教學(xué)做出有效的鋪墊.

通過思考與交流，同學(xué)們很容易就能得出答案：

（2）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有3種，分別是點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上以及點(diǎn)在圓內(nèi)：

若已知點(diǎn)到圓心的距離d大于圓半徑r，則該點(diǎn)在圓外；

若已知點(diǎn)到圓心的距離d等于圓半徑r，則該點(diǎn)在圓上；

若已知點(diǎn)到圓心的距離d小于圓半徑r，則該點(diǎn)在圓內(nèi).

除此之外，還可以歸納成點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）與圓心坐標(biāo)（a，b）之間的數(shù)量關(guān)系：

2.案例探究（案例法）

案例呈現(xiàn)：假設(shè)有一個小島，其周圍布有暗礁，暗礁分布呈圓形，以小島的中心為圓心，半徑為30km.現(xiàn)在小島中心正東方向70km處有一艘輪船，在小島中心正北方向40km處有一港口.若輪船筆直駛向港口，可不可能出現(xiàn)觸礁的情況？

案例分析：對案例進(jìn)行抽象，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，以小島中心為圓心，其與輪船所在直線為x軸，小島中心所在垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1.易知，本案例就是要分析港口與輪船所連直線與暗礁圍成的圓是否有交點(diǎn).

圖1

案例演繹：在平面幾何中，直線與圓的關(guān)系有圖2所示的幾種：

圖2

若d小于r，則直線與圓相交；

若d等于r，則直線與圓相切；

若d大于r，則直線與圓相離.

案例解答：通過上述分析，只需求出直線的解析式，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，與已知圓的半徑對比，結(jié)合圓與直線位置的判定準(zhǔn)則，求解出最終的結(jié)果.

四、結(jié)束語

通過對大量的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行觀察與分析，筆者認(rèn)為精心設(shè)計的問題引入能為教學(xué)環(huán)節(jié)開一個好頭，是教學(xué)設(shè)計極為關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié).精彩的、生動的問題引入教學(xué)設(shè)計能使得學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與專注度大幅度增長，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，自主學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生就存在的問題展開交流，推動學(xué)生創(chuàng)新能力的提升.

當(dāng)然，采用“問題引入”教學(xué)方法就需要數(shù)學(xué)教師具備“講故事”的能力，設(shè)計趣味性較強(qiáng)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入教學(xué)情境.因此，廣大數(shù)學(xué)教師需要改變傳統(tǒng)的教學(xué)思維與教學(xué)方法，擺正與學(xué)生間的地位關(guān)系，在教學(xué)過程中不斷反思總結(jié)，推動數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新發(fā)展.

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