堅守發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地
——課堂

☉湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 周龍虎 殷希群

課程改革深度聚焦于“核心素養(yǎng)”，旨在積極探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑與舉措，從而實現(xiàn)“培養(yǎng)人”這一工程的精細分解與核心把握.我們都不會否認(rèn)一個共識，學(xué)科核心素養(yǎng)的落地點主要是課堂.什么樣的課堂才能實現(xiàn)核心素養(yǎng)“落地”呢？我想絕不是指向解題技能的課堂，也不應(yīng)是指向知識運用的課堂，而是指向思維培養(yǎng)的課堂.培養(yǎng)思維的過程就是培育核心素養(yǎng)的過程.章建躍博士認(rèn)為“發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)”與“思維的教學(xué)”并沒有本質(zhì)差別，不必把它神秘化了.在深化教育改革的今天，我們的確沒有必要另起爐灶去落實核心素養(yǎng)，但我們同時也要認(rèn)識到思維的教學(xué)不能紙上談兵，要有對象（即內(nèi)容）；不能泛泛而論，要有針對性（即核心），發(fā)展核心素養(yǎng)是精致化的思維教學(xué)，并為發(fā)展全面素養(yǎng)服務(wù).從課堂所承載的任務(wù)來看，學(xué)生在教師引導(dǎo)下通過對基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)以掌握基本技能，并領(lǐng)會基本思想，積累基本活動經(jīng)驗，長此以往才能形成“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”（史寧中語）的學(xué)科核心素養(yǎng)，并最終進階為有理性精神、樂于協(xié)作、善于交往、敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的核心素養(yǎng).我們對課堂的期許不能止于某一階段（實際上，只有極少數(shù)的課上升到了“核心素養(yǎng)”的層面上），否則這樣的課大多都會淪為低效，甚至是低品位的，它與素養(yǎng)是無關(guān)的.

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組從學(xué)科本身特征以及學(xué)科價值提煉出高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)概念息息相關(guān)，通過觀察生活實例、特殊事例，探究出研究對象的一般本質(zhì).邏輯推理，學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)設(shè)情境，歸納事例、推理命題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)建模源于數(shù)學(xué)，用于生活，重在培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.直觀想象與幾何密切相關(guān)，觀察圖形特征，直觀感受，有助于學(xué)生空間想象能力的形成、直觀模型的建構(gòu).數(shù)學(xué)運算貫穿于代數(shù)領(lǐng)域，數(shù)的學(xué)習(xí)有利于數(shù)感的形成，數(shù)感的建立有助于學(xué)生對數(shù)的理解.數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計相關(guān)，信息源于數(shù)據(jù)，通過分析數(shù)據(jù)，形成分析數(shù)據(jù)的能力.“要素集”的確定，對于我們教學(xué)目標(biāo)的制訂、教學(xué)觀察以及學(xué)習(xí)評價提供了新視角與多維度.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)源于課程內(nèi)容，高于課程內(nèi)容.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)高度抽象，反應(yīng)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想，是蘊含于課堂中的.課堂教學(xué)中，教師通過情境的創(chuàng)設(shè)、問題的啟發(fā)、思維的引導(dǎo)等等，可以幫助學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論、歸納、推理、建構(gòu)等過程，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯連貫一致、思維系統(tǒng)統(tǒng)一，最終形成超越知識與技能的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

我們所追求的“生本”或“生態(tài)”課堂應(yīng)是平衡的課堂，如課堂控制與課堂自由的平衡、“問”與“教”的平衡、體現(xiàn)過程與追求結(jié)果的平衡等等，動態(tài)平衡才是最穩(wěn)定的平衡，一成不變終會發(fā)生傾斜.因而課堂的常態(tài)應(yīng)是“變化中的課堂”.不同教學(xué)內(nèi)容下教與學(xué)的方式的多樣性，能有效拉近與數(shù)學(xué)的距離，從而實現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的軟著陸.具備了學(xué)科認(rèn)同感，興趣方能引領(lǐng)學(xué)科核心素養(yǎng).教師的預(yù)設(shè)與學(xué)生課堂學(xué)習(xí)活動所生成的真實教學(xué)過程是不太一致的.課堂教學(xué)不是按照劇本演戲，每時每刻都可能發(fā)展“美麗的意外”.這種變化的課堂，不僅拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，擦出思想的火花，更讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有高度的認(rèn)同感.比如，偶爾出現(xiàn)的類比、推理、歸納、聯(lián)想、特殊化等思維活動，都能提出問題，形成研究思路.變化中的課堂，創(chuàng)造了多樣的思維活動，起到了數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的育人價值，是實現(xiàn)“四基”“四能”向核心素養(yǎng)過渡的主渠道，是實現(xiàn)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地.

課堂的生長力和張力始于教學(xué)理解，以教學(xué)設(shè)計的方式.教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點應(yīng)是“培育什么類型的核心素養(yǎng)，方式是怎樣的”.培養(yǎng)素養(yǎng)要面對全體學(xué)生，關(guān)注他們的認(rèn)知基礎(chǔ)；要倡導(dǎo)建構(gòu)式學(xué)習(xí)，關(guān)注他們探索的過程；要著眼發(fā)展，要把核心素養(yǎng)的培養(yǎng)當(dāng)成教育的最終目標(biāo).

深刻的教材分析，巧妙的知識處理，恰當(dāng)?shù)慕谭ㄟx用，是上好一節(jié)課的必備舉措，更是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本保障.

教材如何利用？籠統(tǒng)地說，首先，教師要學(xué)習(xí)、掌握教材知識，即教師先學(xué)與學(xué)生后學(xué)產(chǎn)生共情；其次，教師要深刻理解教材、剖析教材，即明確從何處舀一桶水，何處盛一碗水，做到必講時透徹之致，不講則據(jù)為教學(xué)底氣.是“用教材教”還是“教教材”，是“直譯教材”還是“重組教材”，對教材和認(rèn)識深淺與處理方式折射出不同的教材觀.數(shù)學(xué)教材是眾多專家學(xué)者的智慧結(jié)晶，兼具科學(xué)性、權(quán)威性.探析教材的意蘊與風(fēng)格，我們可以體會它的簡潔之美、概括之準(zhǔn)、說理之強.更重要地是站位于學(xué)生視角，文本素材的背后是已有經(jīng)驗與新知欲求的關(guān)聯(lián)與沖突，是學(xué)科方法與核心思想的集中反映，是透過現(xiàn)象看本質(zhì)的智慧啟迪.

以“核心素養(yǎng)”為本位的教育從以“知識”為本位的教育一路走來，我們不能盲目摒棄傳統(tǒng)，要以正確的知識觀作指引，知識才能形成能力，能力才能塑就素養(yǎng).什么是正確的知識觀呢？新知識觀認(rèn)為，認(rèn)識對象并不是獨立于主體的客觀存在，缺乏認(rèn)識主體的認(rèn)識興趣及其他許多與認(rèn)識行為相關(guān)的條件，就不會有任何的認(rèn)識對象.學(xué)習(xí)者要認(rèn)識到：知識應(yīng)該置于不同環(huán)境，環(huán)境可以告知知識的意義與價值；知識要相互聯(lián)系（即知識不能形成“孤島”），唯有邏輯才是聯(lián)通知識的針線；知識要發(fā)生作用，知識能釋義（不僅唯于知識范疇），能體現(xiàn)人的情感態(tài)度及價值觀.

如何根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實際確定教學(xué)方式，我們可以從最近發(fā)展區(qū)理論中得到啟示.維果斯基曾特別指出：“我們至少應(yīng)該確定兒童發(fā)展的兩種水平（已經(jīng)達到的與可能達到的水平），如果不了解這兩種水平，我們將不可能在每一種具體情況下，在兒童發(fā)展進程與接受教育可能性之間找到正確的關(guān)系”.教師是“多教”還是“少教”，引導(dǎo)的時機如何把握，教學(xué)的節(jié)奏如何調(diào)整，都決定著學(xué)生是否能順利地實現(xiàn)最近發(fā)展區(qū)的跨越.

下面筆者以橢圓的教學(xué)為例，從上述三個方面談?wù)勁嘤龜?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的想法.

一、深刻的教材分析，明確數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)

課堂中核心素養(yǎng)的落地，需要教師仔細研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，深刻領(lǐng)會學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，把握核心素養(yǎng)的具體目標(biāo)及其之間的內(nèi)在聯(lián)系，在每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂中設(shè)計出切實可行的核心素養(yǎng)目標(biāo).簡言之，我們要將將每個數(shù)學(xué)知識所滲透、所蘊含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)梳理出來，并從關(guān)聯(lián)一般素養(yǎng)中確定實施的具體辦法.筆者以橢圓教學(xué)中的幾個教材處理點展開來談.

1.橢圓定義中“兩定點”從何而來？

關(guān)于橢圓定義的呈現(xiàn)方式各異，或通過與圓的定義類比得到，圓是平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡的集合，如果是兩個定點呢？仿佛“從魔術(shù)師的帽子里拿出一只兔子”一樣，學(xué)生在面臨新問題時也較難頓生類比思維；或基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學(xué)，這是教材章頭圖的背景.前者側(cè)重從學(xué)生已有經(jīng)驗入手，通過類比、聯(lián)想等形式建模，實現(xiàn)核心概念的引入，突出直觀想象、數(shù)學(xué)建模的重要性.而后者需要學(xué)生從經(jīng)典且復(fù)雜的幾何模型中抽象出簡單的點、線元素滿足的定量關(guān)系，對數(shù)學(xué)抽象的要求較高.因而教師需要做大量的知識鋪設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的立體幾何圖形中（或是圓柱或是圓錐背景下）發(fā)現(xiàn)“橢圓上動點到橢圓曲線與兩球切點的距離和為定值”的特殊性質(zhì)，從而抽象出橢圓的定義.

我們知道，得到數(shù)學(xué)概念尤其是核心概念的過程最典型的是數(shù)學(xué)抽象的過程.從這個意義上講，后者的做法直接指向?qū)W科特有的研究手段及思路，對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)要更勝一籌.但如此借史切入，回到原始定義固然遵照了科學(xué)發(fā)展史實，但難免對學(xué)生構(gòu)造探索的要求太高，因而需考量學(xué)生的學(xué)業(yè)水平.或許我們可以尋求一個“中間地帶”，聯(lián)系學(xué)生生活實際，觀察太陽光斜射到籃球形成的影子是橢圓，一個定點是球體與投影面的交點，根據(jù)圓的對稱性猜想必有另一個定點，定值的探求方法就與旦德林雙球模型中定值求法一致了.因而，教師只有認(rèn)真研究教材，對定義中的關(guān)鍵字“兩定點”足夠敏感，才能足夠“多謀”.

2.橢圓方程中“標(biāo)準(zhǔn)”是什么意思？

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相較直線的方程而言，多了“標(biāo)準(zhǔn)”二字，不能簡單認(rèn)為只是表述不同而已.從“數(shù)”上講，只有方程為焦點在x軸上）和方程為焦點在y軸上）的橢圓方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程，通過平移變換后的曲線方程m2+n2≠0）就不能稱為標(biāo)準(zhǔn)方程了.更直觀地，從“形”上觀察，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是建立在特殊坐標(biāo)系下得到的曲線方程，即中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸.究其方程的“標(biāo)準(zhǔn)”與“不標(biāo)準(zhǔn)”，實質(zhì)上，不礙于橢圓的性質(zhì)，只是為了研究的便利，體現(xiàn)了坐標(biāo)化思想的滲透.坐標(biāo)化思想是解析幾何的核心思想，亦是本質(zhì)，在其他知識板塊中也有較多體現(xiàn)與運用，如數(shù)列、向量等，是溝通代數(shù)與幾何的經(jīng)典數(shù)學(xué)方法.但學(xué)科思想的內(nèi)化不是朝夕可至的，需要至始至終的作外顯化的工作，再適時滲透.教師感受得越真切，學(xué)生才愈有感觸，這是共情的教育效果，這是熏陶的魅力.正如周國平所說，素質(zhì)是熏陶出來的.學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的培育也要依靠師者個人的學(xué)科認(rèn)同感及學(xué)科情懷.

3.橢圓的第二定義的講解需要“另起爐灶”嗎？

橢圓的第二定義指平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)的動點M的軌跡叫做橢圓，定點為橢圓的一個焦點，定直線為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.是否一定要按照定義求出動點M的軌跡方程呢？更一般的做法是直接求軌跡方程，完全不考慮問題的共性特征，不遵從思維的連貫性，儼然是一個完全陌生的問題.實際上，在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中，化簡有一步為，稍加變形，兩邊同時除以就已是第二定義的雛形了，這應(yīng)是第二定義的引入最為自然、合適的時機.因而，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)就必須讓全體學(xué)生親身操作，切不可認(rèn)為耽誤時間而失去一個培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的大好時機.

4.橢圓的幾何性質(zhì)研究什么？

我們試想一下，畫出一個橢圓，請學(xué)生回答應(yīng)研究其什么性質(zhì)？學(xué)生的回答很可能七零八落.為什么會出現(xiàn)這個現(xiàn)象呢？指導(dǎo)思想、方向引領(lǐng)很重要！學(xué)生已有的相關(guān)經(jīng)驗沒有被調(diào)用到解決此問題上，這就需要教師的深刻的教材分析能力，適當(dāng)搭設(shè)腳手架，找到其本質(zhì).二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)到一般函數(shù)的性質(zhì)是我們研究過的，橢圓的軌跡實際上是由兩個函數(shù)“拼接”成的，共性不會少.研究二次函數(shù)的頂點就聯(lián)想到橢圓的頂點，也可以說是一般函數(shù)的特殊點；研究一般函數(shù)的定義域及值域就聯(lián)想到曲線的范圍；研究二次函數(shù)的對稱性就聯(lián)想到曲線的對稱性；研究二次函數(shù)的開口的大小就聯(lián)想到橢圓的扁平程度.

5.橢圓的幾何性質(zhì)揭示了什么方法？

就數(shù)學(xué)知識而談數(shù)學(xué)知識的教學(xué)必然是不生動的，因為沒有剖析其中數(shù)學(xué)原理，沒能上升到數(shù)學(xué)思想、方法層面.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，較容易研究出橢圓的頂點、范圍、對稱性及離心率等性質(zhì)，但較難自覺歸納出解決問題的方式.頂點怎么求？頂點是曲線特殊的交點（對稱軸與曲線的交點），故可通過列方程組求頂點坐標(biāo).范圍求解的方式多了，學(xué)生更多的是通過“形”上的觀察而知，不知道利用數(shù)（式）的非負(fù)性建立不等式，從而得到范圍.實際上，就是善于把等式“溝通”成不等式，即列不等式求范圍.對稱性怎樣論證呢？折疊橢圓小紙片不行，肉眼觀察更不行！基于圖形的對稱問題實際上是點的對稱問題的認(rèn)識，任設(shè)曲線上點的坐標(biāo)，通過點的對稱關(guān)系論證了橢圓的對稱性，真正做到了化整為零.離心率怎樣定義？由形上橢圓的區(qū)別反映出不同的扁平程度，如何用具體確切的數(shù)表示出來呢？此思維過程揭示了用數(shù)形結(jié)合方法（這里是由形構(gòu)造數(shù)）研究曲線扁平程度.

重知識、重能力的教學(xué)觀是沒錯的，但不重思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)也僅是一個口號罷了！例如，我們學(xué)習(xí)等差（或等比）數(shù)列求和公式，公式本身的運用是很重要的一個層面，但公式推導(dǎo)中的倒序相加（或錯位相減）的方法、轉(zhuǎn)化的思想（將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的思想奠基）才是有益于數(shù)學(xué)思維能力提高的最寶貴資源.又如，式子（x+y+z）7中項x3y2z2的系數(shù)的探求，其二項式系數(shù)的推導(dǎo)思路就是解決此問題的良法，將推導(dǎo)思想不知不覺地運用于解題，才得其法.

二、巧妙的知識處理，助推數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升

作深刻的教材分析，教師能明確教學(xué)中的三維目標(biāo)、教學(xué)重難點，乃至厘清了核心素養(yǎng)，那么怎么講，如何把這些知識串起來呢？巧妙的知識處理則是傳授知識、培養(yǎng)能力、提升思維有效方法，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本保障.

在課堂教學(xué)中，以問題為導(dǎo)向，著眼問題的視角（從問題拓展角度，從問題關(guān)聯(lián)內(nèi)容，從問題猜測角度，從問題提出角度），通過感受、歸納、操作等活動，形成研究思路.筆者基于“問題引導(dǎo)，問題解決”的教學(xué)模式設(shè)計，給出一個橢圓的幾何性質(zhì)（一）的案例，以期各知識的落實.

方程和函數(shù)很相似，函數(shù)常研究哪些性質(zhì)呢？以二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）為例回顧一下函數(shù)常研究的內(nèi)容（頂點、定義域、值域（變量的范圍），對稱性，奇偶性，單調(diào)性等等），從而提出下列問題：

問題1：你覺得應(yīng)該從哪幾個方面來研究橢圓的的簡單幾何性質(zhì)？

學(xué)生回答了范圍、對稱性、頂點后，教學(xué)一步步展開.對于對稱性，考慮到學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，由形到數(shù)，先直觀操作感受，再理性科學(xué)論證，故而提出.

問題2：觀察圖形，你認(rèn)為橢圓有怎樣的對稱性？你能通過折疊和旋轉(zhuǎn)的方法說明你手中橢圓紙片的對稱性嗎？（操作體驗，學(xué)生展示）

歸納提煉得到對稱性的研究方法：通過檢驗兩個對稱點坐標(biāo)是否同時滿足方程來判斷圖形的對稱性.在教師的引導(dǎo)下，研究完橢圓的對稱性后，學(xué)生已初具研究思路，剩下的頂點及范圍可以交由學(xué)生完成，因而提出問題4.

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納提煉出兩點方法，頂點坐標(biāo)的求法：將對稱軸方程和橢圓方程聯(lián)立求解；范圍的求法：利用平方的非負(fù)性建立不等式求解.探求完橢圓的三個性質(zhì)后，為及時鞏固所學(xué)并自然引入下一個性質(zhì)——離心率的研究，設(shè)計了一例題，如下：

例1 利用橢圓的幾何性質(zhì)作出橢圓的草圖（學(xué)生作圖，教師點評）：

從上例中我們看到，有的橢圓圓些，有的扁些，橢圓的扁平程度就是橢圓一個重要的性質(zhì)了，如何刻畫橢圓的扁平程度呢？提出問題5.

問題5：分別從以下兩個角度思考，用a，b，c中的哪兩個量的比值可以刻畫橢圓的扁平程度？（1）例1的作圖；（2）定義法作橢圓.

（獨立思考→小組交流→代表匯報→教師補充）

兩個子問題表明：可用a，b的關(guān)系或用a，c的關(guān)系刻畫橢圓的扁平程度.哪一個最合適呢？引發(fā)學(xué)生展開思考，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是出于便利的考慮才引進字母b，因而用表示離心率才能揭示問題的本質(zhì).從而歸納得到：觀察圖形的變化對參數(shù)的影響找到描述橢圓扁平程度的量，即數(shù)形結(jié)合的思想.對焦點在x軸上的橢圓的性質(zhì)研究完后，展示研究成果，讓學(xué)生完成焦點在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)，提出問題6.

之所以把焦點在x，y軸上的橢圓的性質(zhì)全部研究完，不僅僅是出于完備性的考慮，更是讓學(xué)生體會到橢圓的性質(zhì)是不依賴坐標(biāo)系仍舊成立的，我們用坐標(biāo)系是為了研究的便利，體現(xiàn)了坐標(biāo)化思想的應(yīng)用.課的最后就是學(xué)習(xí)反饋了，展示第二個例題，如下：

例2 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo).

利用簡單例子小結(jié)并鞏固本節(jié)課所學(xué)知識內(nèi)容，歸納提煉出求已知橢圓方程求長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)的步驟：（1）將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)；（2）求出參數(shù)a，b，c；（3）結(jié)合性質(zhì)，寫出所求.同樣，也巧妙地處理好了本節(jié)課要講授的知識內(nèi)容.

三、恰當(dāng)?shù)慕谭ㄟx用，確保數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)根扎課堂

俗話說：“教學(xué)有法，貴在得法.”教師要能隨著教學(xué)內(nèi)容的變化，教學(xué)對象的變化，教學(xué)設(shè)備的變化，教學(xué)節(jié)奏的變化，靈活應(yīng)用教學(xué)方法.數(shù)學(xué)教學(xué)的方法很多，對于不同的課型可選用不同的教學(xué)法，常見的教學(xué)法有講授式、發(fā)現(xiàn)式、探究式、討論式、啟發(fā)式、問題引導(dǎo)式等等.如對于綜合及應(yīng)用及小結(jié)或復(fù)習(xí)課，變式（或討論）教學(xué)法就比較受青睞，以排列組合的綜合應(yīng)用為例.教師給出范例：將5個不同的小球放入4個不同的盒子內(nèi)，共有多少種不同的放法？這是簡單的乘法原理的應(yīng)用.為體現(xiàn)加法原理和乘法原理應(yīng)用上的區(qū)別，依次給出兩個變式，真正做到理解排列數(shù)、組合數(shù)公式.

變式1：將5個不同的小球放入4個不同的盒子內(nèi)，每個盒子至少有1個小球，共有多少種不同的放法？

變式2：將5個不同的小球放到4個不同的盒子內(nèi)，每盒至少有1個小球，且甲球必須放到A盒中，共有多少種不同的放法？

而對于新授課，講授式教學(xué)方法比較風(fēng)靡，但也有其他教學(xué)方法的使用.拿橢圓的幾何性質(zhì)這節(jié)課來說，筆者的教學(xué)設(shè)計采用的就是“問題引導(dǎo)式”進行啟發(fā)式教學(xué)，六個問題在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下逐步清晰明朗；學(xué)生動手折疊橢圓小紙片確認(rèn)直觀感受的過程，即數(shù)學(xué)實驗教學(xué)法的體現(xiàn)；橢圓的頂點、范圍及離心率的研究以小組形式展開，體現(xiàn)的是探究合作式教學(xué)原則；為生動演繹橢圓的扁平程度受離心率影響，幾何畫板的演示正是基于信息技術(shù)的教學(xué)方式.因而，教學(xué)方法的選用是基于深刻的教材分析、巧妙的知識處理而言的，不是胡亂搭配的.也就是說，教學(xué)方法需要選擇與優(yōu)化組合.中學(xué)數(shù)學(xué)不能拘泥于采用哪一種固定的教學(xué)方法，每一種成型的教學(xué)方法都有其明顯的特征和局限性，只有選擇最適合某節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、最適合學(xué)生認(rèn)知實際、最符合教師個性特征的教學(xué)方法，才能有效培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì).只要能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，都是好的教學(xué)方法.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已是課程設(shè)計的標(biāo)志性因素，數(shù)學(xué)教育改革的成敗都踐行在課堂，課堂教學(xué)模式、課堂教學(xué)評價的深刻變革直接決定著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能否落地.改革是我校持續(xù)蓬勃發(fā)展的主旋律.從“五四·零”方案、素質(zhì)學(xué)分制、“兩把兩重”到“錘煉健康身心、塑造必備品格、培養(yǎng)關(guān)鍵能力”的理念與實踐，人才培養(yǎng)體系的建構(gòu)都歸結(jié)于教育教學(xué)的轉(zhuǎn)型與變革，因此迄今所舉辦的兩屆教學(xué)節(jié)的主題分別確定為“關(guān)鍵能力與學(xué)科教學(xué)的深度融合”、“基于關(guān)鍵能力培養(yǎng)的課堂建設(shè)與實踐”.學(xué)科的視角必然要明確關(guān)鍵的學(xué)科能力和必備的學(xué)科核心素養(yǎng)，學(xué)科理應(yīng)為真正發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作出它獨有的貢獻.課堂的聚焦是培育學(xué)科素養(yǎng)的絕好舉措，也必定促進深度學(xué)習(xí)方式的推進.我們的學(xué)生對課堂是充滿期盼的，因為課堂充斥著各種可能性：課堂的模式是多變的，可能是“15+25”模式（教師主講不超過15分鐘，學(xué)生自主學(xué)習(xí)活動不低于25分鐘），也可能是“1+1+1”模式（自主預(yù)習(xí)+交流研討+展示提升）；課堂形式是豐富的，學(xué)生講題、講課也并非是一種點綴，已然是一種學(xué)習(xí)方式，并且囿于課堂環(huán)境的限制有的課堂學(xué)習(xí)已經(jīng)延伸到了課外.不能不說，課堂是一個提供學(xué)生多種發(fā)展可能性的天堂，學(xué)生的發(fā)展根基在此筑牢，發(fā)展前景自然不可估量.

立足于課堂，以學(xué)科為抓手培育學(xué)生的核心素養(yǎng)是一個系統(tǒng)性工程，為最大限度地發(fā)展“核心”的素養(yǎng)，我們還要注重一般素養(yǎng)與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)、融合與轉(zhuǎn)化.此外，我們還要認(rèn)識到這項工程與單純的“優(yōu)化課堂，打造高效課堂”的區(qū)別，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)忌空忌泛，要具實，要宏觀更要微觀，要抓常效機制，積極做好課堂觀察與評價的機制建設(shè)，因而構(gòu)建一個操作性強的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有序落實尤為重要.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地問題上，我們?nèi)匀沃囟肋h.

1.章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實在課堂［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（3）.

2.殷希群.怎樣才能“把方法教給學(xué)生”—對課堂教學(xué)的一些認(rèn)識與思考［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師版），2012（5）.

3.胡典順.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)問題的視角［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師版），2017（10）.

4.呂立杰，韓繼偉，張曉娟.學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)：課程實施的價值訴求［J］.課程.教材.教法，2017（9）.

5.呂世虎，吳振英.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其體系構(gòu)建［J］.課程·教材·教法，2017（9）.