在“意譯”中培養(yǎng)思維能力，提升邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬斌

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).

在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，教師要教會學(xué)生對問題進(jìn)行“直譯”外，更加注重教會學(xué)生對問題進(jìn)行“意譯”，“意譯”更能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力，同時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題；教會學(xué)生掌握推理的基本形式，表述論證的過程；培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系和建構(gòu)知識框架的意識；形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力.

一、觀察式子外在特點(diǎn)，采用變化推理解題

例1定義在R+上的函數(shù)f（x），滿足f（x）+xf′（x）＞0，求不等式f（x+1）＞（x-1）f（x2-1）的解集.

解析：由f（x）+xf′（x）＞0可知［xf（x）］′＞0.

令g（x）=xf（x），知g（x）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，所以f（x+1）＞（x-1）f（x2-1），所以（x+1）f（x+1）＞（x2-1）f（x2-1），即g（x+1）＞g（x2-1）.

評議：對式子進(jìn)行變形，合乎推理?xiàng)l件.

例2 已知M（-1，0），P是圓C：x2+y2-6x+1=0上的動(dòng)點(diǎn).

評議：對等式進(jìn)行變化，抓住條件推出結(jié)論.

例3 設(shè)數(shù)列｛an｝滿足且對任意的正整數(shù)n，滿足an+2-an≤3n，an+4-an≥10×3n，求a2016的值.

解析：因?yàn)閍n+4-an≥10×3n，又an+4-an=an+4-an+2+an+2-an≤3n+2+3n=10×3n，則an+4-an=10×3n且an+2-an=3n.

評議：分析兩個(gè)不等式的特點(diǎn)，進(jìn)行綜合推理.

二、抓住圖形內(nèi)含條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化推理解題

例4 如圖1，已知直線l1：mx+y-1=0過定點(diǎn)A，直線l2：x-my+2+m=0過點(diǎn)B，直線l1與直線l2的交點(diǎn)為P，求PA+PB的范圍.

解析：由題意可知A（0，1），B（-2，1）.

又l1⊥l2，所以∠APB=90°，AB=2.

圖1

評議：分析習(xí)題的內(nèi)在條件，合理解決.

例5 已知A（-3，-4），B（0，-1），求∠AOB的平分線所在直線的方程.

解析：由已知條件可知OA=5，OB=1.

因?yàn)镺C=OA，所以平行四邊形OAMC為菱形，如圖2所示.

故∠AOB的平分線為直線OM，即方程為y=3x（x＜0）.

評議：利用角平分線的性質(zhì)，創(chuàng)造推理的條件.

圖2

圖3

例6 已知過點(diǎn)P（6，8）的直線l1和l2，且l1⊥l2，l1與y軸交于點(diǎn)A，l2與x軸交于點(diǎn)B，滿足S△AOB=S△PAB，求直線AB的方程.

解析：如圖3，過O點(diǎn)作OM⊥AB，過P點(diǎn)作PN⊥AB，垂足分別為點(diǎn)M，N.

所以Rt△PHN≌Rt△OHM，所以HM=HN.

點(diǎn)M與N重合或者H為MN的中點(diǎn)，可知點(diǎn)M（3，4）且N（3，4）或者H（3，4），B（6，0）.

評議：對條件進(jìn)行聯(lián)想，合情推理.

三、挖掘習(xí)題隱形本質(zhì)，利用內(nèi)化推理解題

例7已知f（x）=x3+ax-a2x+2，如對于一切x1，x2，x3∈［0，1］，總存在以f（x1），f（x2），f（x3）為三邊長的三角形，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：分析題意可知f（0）＜f（1）+f（1），解得0＜a＜2.

評議：分析問題得出本質(zhì)，推出方法.

例8 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0，若直線y=k（x+1）上存在一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

圖4

評議：分析問題的內(nèi)涵，優(yōu)化推理.

例9 若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：（1）P，Q都在函數(shù)f（x）圖像上；（2）P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則對稱點(diǎn)（P，Q）是函數(shù)f（x）的一個(gè)“友好點(diǎn)對”（點(diǎn)對（P，Q）與（Q，P）看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對”）.

解析：可畫出f（x）的示意圖，如圖5.

圖5

圖6

由題意可設(shè)函數(shù)g（x）圖像與函數(shù)h1（x）圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，本題變?yōu)橹磺蠛瘮?shù)y=g（x）與函數(shù)y=h2（x）的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，由圖6知有兩個(gè)交點(diǎn)，所以f（x）的“友好點(diǎn)對”有2個(gè).

評議：審視題意，合情推理

四、采用不同解題策略，深化邏輯推理素養(yǎng)

解析：g′（x）=x2+（m+4）x-2.

如函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)是單調(diào)的，即在（1，3）內(nèi)是遞增或遞減的，則當(dāng)1＜x＜3時(shí)，g′（x）≥0或g′（x）≤0恒成立，所以-（m+4）≤或-（m+4）≥恒成立，解得m≥-3或m≤

評議：審視習(xí)題，思維發(fā)散.

例12 在數(shù)列｛an｝中，a1=m（m為正整數(shù)），an+1=

解析：把b2分解成兩部分，如何分解成為解決問題的關(guān)鍵.

評議：反之逐級推理

邏輯推理的核心是培養(yǎng)學(xué)生善于分析、規(guī)范推理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性、思維的、條理性的途徑，也是學(xué)生進(jìn)行建構(gòu)數(shù)學(xué)、重視推理過程、體驗(yàn)成果、感受成功快樂的渠道，更是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、增強(qiáng)交流合作意識的手段，學(xué)生只有在老師長期引導(dǎo)和合作下，邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)定能加強(qiáng)和深化.

1.章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016，（3）.F