☉浙江省湖州市第二中學 羅展華
☉浙江省湖州市第二中學 沈 恒
眾所周知,復習教學相比新知教學要更難演繹,究其原因首先是復習教學知識點多且散亂、不宜找到重點;其次復習教學如何調動學生的積極性、開發(fā)學生的思維是難點;最后作為公開課,需要有一定的示范性和前瞻性,既鑄造了自身復習教學特色的烙印,也給學生留下了新的思考、新的啟發(fā).筆者在一線教學多年,也對復習課教學情有獨鐘.近期筆者在本地區(qū)給年輕教師示范一堂數(shù)列復習課,授課之余筆者也頗有些想法與讀者交流.
筆者以為,學習和習武是相通的,試想:一代宗師都是從“扎馬步”開始,學習“基本招式”;在不斷的學習中“改進招式”;在不斷的改進中青出于藍而勝于藍的“創(chuàng)造招式”;最后達到參悟“武學意境”的頂峰.我們的教學何嘗不是如此,從全新課程標準提出的核心素養(yǎng)來看,掌握基本知識——善用基本技能——創(chuàng)造改編問題——參悟知識,不恰恰是如此嗎?筆者將習武的認知與數(shù)列復習教學結合起來,較為創(chuàng)新的開設數(shù)列求和復習課,從某一個點進行深入和發(fā)散,將學科素養(yǎng)呈現(xiàn)其中,現(xiàn)將課堂教學實錄與大家分享,請讀者批評指正.
師:同學們大家好.和同學們一樣,在成長道路上我拜讀過很多武俠名著,書中習武之人都有“基本招式”——“改進招式”——“創(chuàng)造招式”——“武學意境”這樣的習武歷程,那么同學們在數(shù)學學習中也有這樣的感悟心得吧?
生1:我想學習數(shù)學應該也是如此,首先應該是扎實的基本功,進而是解決新的問題,再次是思考創(chuàng)造一些新的問題,最后思考從這樣的學習過程中得到的一些學習經(jīng)驗和總結.
設計意圖:拉近學生之間的心理距離,從學生感興趣的認知和學情出發(fā),設計“習武”與“學習”的感悟對比,通過回顧以往數(shù)學學習過程中如何形成知識的螺旋式上升,給課的走勢定下基本基調.
1.基本招式
條件:已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:an=2n,bn=3n-1(n∈N*).
問題1:記{an}前n項和為An,記{bn}前n項和為Bn,求An和Bn;
問題3:若cn=log3bn+1,求{cn}前n項和Tn;
問題4:若cn=a·nbn,求{cn}前n項和Tn;
師:請同學們思考,上述問題如何解決?
生2:問題1是最基本的等差、等比數(shù)列求和,運用基本公式法就可以!
生4:問題3代入化簡,可以得到cn=log3bn+1=9n-1+n,典型的分組求和!
生5:問題4cn=a·nbn是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的典型模型,應該使用錯位相減解決!
生6:觀察問題5的結論,讓我想起了學習等差數(shù)列求和公式時所提到的S=1+2+…+100,高斯用倒序相加的想法輕松地解決了問題.所以我從(fn)+(f1-n)這一角度入手思考,通過簡單的運算,我發(fā)現(xiàn)只要自變量之和為這樣問題就輕松解決了!
師:同學們說得很好!看來大家對數(shù)列求和的基本招式掌握得都比較扎實,我們用二十個字總結數(shù)列求和的基本招式:“公式求和+裂項相消+分組求和+錯位相減+倒序相加”,這是數(shù)列求和最基本的解決招式!特別是問題5,同學們用類比的數(shù)學思想將倒序相加很好的表述了,我們進一步在基本招式的基礎上研究改進招式!
設計意圖:首先問題的背景都是同一總條件,這樣的設計好處在于節(jié)省了復習教學在審查題意上的時間、提高教學效率;其次,數(shù)列求和并不是采用一一羅列知識點的傳統(tǒng)復習方式,而是以問題為載體的復習提煉,具備知識點與問題情境的融合統(tǒng)一;再者復習教學從一開始就積極引導學生積極參與,讓課堂成為教師主設計、學生主參與的學習陣地.
2.改進招式
師:在基本招式的問題上,我們先來看看老師給出的改進招式:
問題6:若cn=|10-an|,求{cn}前n項和Tn.
師:請同學們想一想,在等差數(shù)列通項上帶有絕對值,如何借助基本招式來破解呢?
生7:我覺得首先必須借助分類討論,將問題分解成兩部分解決.不妨記Pn=10-2n,記{Pn}前n項和為Sn,則易得Sn=9n-n2. 當1≤n≤5時,Tn=Sn=9n-n2,當n≥6時,Tn=2S5-Sn=n2-9n+40,因此
設計意圖:本題的改進緣自2013年浙江高考文科數(shù)列解答題,基于絕對值等差數(shù)列的基本研究方式需要依仗分類討論的數(shù)學思想,將問題在基本等差數(shù)列的基礎上進行了加強,既感受了這是基本招式上的深化,也深刻體會了高考問題緣自基本試題不經(jīng)意的轉變.
問題7:將{an}、{bn}中各項按a1、b1、a2、b2、a3、b3…排成一個新數(shù)列{cn},求cn及{cn}前n項和Tn.
師:將問題按照穿插進行改進,請大家思考如何求解cn的通項公式及其前n項的和?
生8:a1、b1、a2、b2、a3、b3…依次為2、30、4、31、6、32…,通過研究數(shù)列各項的規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)是如何書寫嚴密的求解過程還沒想好.
師:從項數(shù)角度思考,我們發(fā)現(xiàn)an位于數(shù)列cn中的奇數(shù)位置,其每一項在cn中位置分別為第1、3、5…,an中的第n個數(shù)恰為cn中的第項,因此當n為奇數(shù)時,cn=2+;bn位于數(shù)列cn中的偶數(shù)位置,其每一項在cn中位置分別為第2、4、6…,bn中的第n個數(shù)恰為cn中的第項,因此當n為偶數(shù)時進一步考慮{cn}前n項和Tn.
生9:需要分類,可以先求解n為偶數(shù)時{cn}前n項和Tn,考慮到n為偶數(shù)時,cn中的項來自an和bn中的項各占一半,因此當n為奇數(shù)時,我們可以借助已經(jīng)得到的偶數(shù)項的結論進行求解,,所以
設計意圖:將問題進行穿插融合,不難發(fā)現(xiàn)簡單的等比、等差數(shù)列也可以產(chǎn)生大問題,從項數(shù)角度進行分析,特別是關注原數(shù)列在新數(shù)列中所處的位置是解決問題的關鍵,也是學生重要的易錯點.從基本招式進行的項數(shù)角度的改進,從學生最懼怕數(shù)列的視角——(無限的)項數(shù)突破,進而提高復習針對性.
設計意圖:本題的設計是為教學內容轉向做準備和鋪墊的,筆者在數(shù)列求和的復習中進一步引入了與之相關的最值問題求解,進一步拓展了“改進招式”,以期待學生在“創(chuàng)造招式”能有更為廣泛的思路.
3.創(chuàng)造招式
給學生一定的探究時間,請學生板演其“創(chuàng)造的招式”,下面的問題全部出自學生的命制:
學生創(chuàng)造招式1:若cn=3an+2bn,求{cn}前n項和Tn.
學生創(chuàng)造招式2:若cn=a2n+2bn+1,求{cn}前n項和Tn.
學生創(chuàng)造招式4:若2an=Sn·Sn+1,求Sn.
學生創(chuàng)造招式5:若cn=abn,求{cn}前n項和Tn.
這是五位學生在課堂中自己創(chuàng)編的問題,筆者驚嘆學生在有限的時間內學生的創(chuàng)造力,與學生一起對學生創(chuàng)編的問題簡單做出了剖析:
學生自我剖析1:與問題3類似,利用分組求和解決.
學生自我剖析3:與問題4類似,利用錯位相減解決.
學生自我剖析4:這是學生命制的一道很有想法的、研究數(shù)列通項的問題,可以發(fā)現(xiàn)學生在進行問題命制的時候,首先其通過特殊值的方式研究數(shù)列Sn前幾項,進而通過隔項成等比的方式進行求解.
學生自我剖析5:學生較有創(chuàng)意的將數(shù)列下標引入到通項公式中,進而從兩者結合的角度進行了分組求和.
設計意圖:從學生的視角體會哪些數(shù)列求和以及相關問題是學生比較關注的,讓所有學生參與的創(chuàng)編以及自主解決這些創(chuàng)編,真正做到了在課堂教學中“以學生為主體”的教學設計,從而開發(fā)學生如何將數(shù)學知識自我整合的思維和能力,提高了學生數(shù)學運用的綜合能力.
4.學習意境
限于課堂教學時間有限,筆者給出了教師層面對于問題的進一步開放創(chuàng)編,供學生課后進一步對數(shù)列相關知識在綜合性問題中的整合性考查展開研究:
問題14:若cn=an·bn,問{cn}中有無連續(xù)三項成等比?請說明理由(.由cn-·1cn+1=c2n顯然不成立,故不存在)
問題15:若cn=a2bn-1,問b·kbk+(1k∈N*)是否為{c2n}中的項?請說明理由(.b·kbk+1=32k-1為奇數(shù),而cn=4·3n-1-2為偶數(shù),故不可能為{cn}中的項.)
問題16:將數(shù)列{bn}中的第三項、第六項、第九項…劃去,得到一個新數(shù)列{cn},求{cn}前2n項的和T2n.
問題17:若,求{cn}前n項和Tn的取值范圍.(由,由裂項相消得結合函數(shù)單調性可知
設計意圖:在學生親身感受了問題的創(chuàng)編之后,教師給出了各種具備聯(lián)系其他綜合性知識的問題儲備,尤其以問題9、10、12、13從函數(shù)視角研究數(shù)列,是體現(xiàn)數(shù)列作為具備函數(shù)特征最好的本質體現(xiàn).從這一系列問題的給出,我們不難發(fā)現(xiàn),從數(shù)列基本求和出發(fā)(基本招式)——絕對值數(shù)列與奇偶項數(shù)列求和的研究(改進招式)——學生創(chuàng)編問題(創(chuàng)造招式)——數(shù)列求和演變綜合性問題思考(學習意境),螺旋式上升的體現(xiàn)了課堂教學設計的主體與發(fā)散,有效的提高了數(shù)列求和復習的深度和廣度.
師:讓我們對數(shù)列求和進行課堂小結.
生11:回顧了求和的基本知識,以及含有絕對值的數(shù)列求和以及奇偶項的分類求和等等.
師:從知識層面來說,同學們總結的非常好.我們用下面的圖示結構展示今天所學:
設計意圖:參透學習的境界,正是將武俠小說中“如何習武”與數(shù)列學習中“如何復習”緊密的連線,層層遞進、螺旋上升,既有濃郁的文化氣息,又不失數(shù)學形式化的味道,兩者具備共性的本質聯(lián)系讓課堂教學達到頂峰.從學科素養(yǎng)的角度來說,學習本課的主要目的,在于管窺學習的一個過程,讓學生獲得學習的一類方式是學習的關鍵,以此滲透數(shù)學學習的學科素養(yǎng).
1.生本意識,立足可動
《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》指出:“學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習,高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐等學習數(shù)學的方式.這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性,使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程,鼓勵學生在學習過程中,養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣,力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動,讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”可以這么說,沒有學生參與的課堂教學是低效的、無能的,而學生能否真正參與進來,立足兩點:其一教師肯不肯在教學設計環(huán)節(jié)為學生設計探究時間,合理的設計可以保障探究的有效性.其二課堂教學環(huán)節(jié)中問題選擇的合理性,從心理學角度來說,適合學情的問題設計是學生積極參與探究的關鍵.
本課筆者為學生的“動”設計了兩個平臺.其一,在“基本招式”環(huán)節(jié),通過問題設計、學生自主回顧求和基本方法為整個課堂定下積極參與、主動探求的基調.其二,在問題創(chuàng)編環(huán)節(jié),發(fā)揮學生無限創(chuàng)造力,感同身受的體會熱點問題考查就在我們身邊,只要積極思考、發(fā)展思維品質,真正地做到課堂屬于學生、問題來自自我思考,恰如愛因斯坦說的:提出一個問題往往比解決一個問題更重要!
2.建立觀念,滲透文化
借助走遍大江南北的中華武俠文化,本課合理地整合了武俠精神和學生學情,將武俠文化與數(shù)學教學進行了有效的融合,通過問題研究的不斷提高、螺旋上升,促進學生復習視角的延伸和知識整合角度的思考,既建立了如何讓學習不斷進步的良好觀念,也感受了蘊含在武俠小說中的人生之道.
《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》指出:“數(shù)學課程應幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用,逐步形成正確的數(shù)學觀.”數(shù)學之美,低端欣賞在于視頻、圖片等“美觀”層次;數(shù)學美的“高端”欣賞在于和人文意境的溝通,本課融入武俠中的“習武”悟性,更多屬于意境的溝通與升華,不斷在向學生滲透人生感悟、讓學生懂得欣賞數(shù)學中的生活哲理,用數(shù)學的眼光來感受生活.
3.注重細節(jié),精益求精
課后筆者也對細節(jié)進行了全面的剖析與點評,認為在某些方面存在改進的空間:
(1)問題8的設計是敗筆,本課在問題6、7后達到課堂教學的頂峰,若此時讓學生介入試題命制更能讓課堂達到思維的高峰,此處的問題8畫蛇添足,反而降低了課堂的精彩程度.
(2)問題7的教師引導過程稍顯抽象,特別是如何闡述奇偶項在原數(shù)列中所處的位置,教師的引導、分解還需要細化:若能以換元思想介入,如則教學過程顯得更為完美.
(3)問題8、問題17的表述還需要進一步完善,考慮到數(shù)列中的項是不連續(xù)的,因此“求{cn}前n項和Tn的取值范圍”的表述不夠精準,改為“求證”更為恰當.
(4)點評環(huán)節(jié)設計不足,既然學生積極參與問題的編制,在后期學生解決、點評環(huán)節(jié)更需要學生的積極參與,可以設計諸如:“你最喜歡哪些同學創(chuàng)編的問題?”“為什么呢?”等等,讓參與過程做到更為自然、讓學生的交流更水到渠成.
4.反思感悟,凸顯真經(jīng)
本課所采用的復習課教學設計以問題條件共背景的形態(tài)展開、以多達十七個問題串的形式給出(部分問題課后繼續(xù)探究),采用探究和講授結合的教學方式,在課堂教學過程中,頗有“百家爭鳴”的味道!于大而已,有春秋戰(zhàn)國的百家爭鳴,于小而已,有今天好聲音舞臺上的歌者呈現(xiàn)不同曲風的嘗試,都在做一些多元化的探索.筆者認為,若將本課用連堂課的模式進行,效果會更佳!也可以采用陶行知先生提出的“小先生制”做一次探索嘗試,讓復習課教學呈現(xiàn)多元化的嘗試和思考.
多年的教學經(jīng)驗告誡筆者:課堂教學不僅在于應試,更要有高一層次的境界追求,這也是教師專業(yè)化發(fā)展對于教師課堂教學水平、教學藝術的一種提煉,讓課堂既要腳踏實地、也需仰望星空,這樣的復習教學才讓學生的思維有“悠然見南山”的成長!因此,在復習教學中多嘗試一些不同教學理念的滲透、文化的融合,將其運用到教學實踐中,讓復習課關注高效、讓探究講求真實、讓教法選擇自然、讓復習課堂注重深度和廣度,使課堂教學能夠達到一種自然而不做作的教學意境.
1.羅展華.東臨碣石以觀滄海——一次說題活動的嘗試與感受[J].數(shù)學教學通訊,2016(9.
2.吳成海.數(shù)學教學設計應著力于思維培養(yǎng)[J].中學數(shù)學(上),2014(8).
3.沈恒.課堂教學行走在“兩極”之間[J].中學數(shù)學(上),2016(5).