大陸和臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的比較研究
——以“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容為例

☉首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 覃 淋

2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》將“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”作為高中數(shù)學(xué)課程的基本理念之一，并進(jìn)一步明確說明，“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分……數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀”.［1］還提出了對(duì)“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立了“數(shù)學(xué)史選講”的專題，要求學(xué)生通過高中階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能夠了解數(shù)學(xué)科學(xué)在人類社會(huì)發(fā)展中的作用，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值.在“教材編寫建議”中指出，教材編寫應(yīng)將數(shù)學(xué)的文化價(jià)值滲透到各部分內(nèi)容中.那么，高中數(shù)學(xué)教材中文化價(jià)值表現(xiàn)在哪些方面？文化材料的運(yùn)用方式及水平如何？本文以高中數(shù)學(xué)教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容為例，比較大陸和臺(tái)灣教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容及其運(yùn)用水平，了解大陸和臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容滲透的共性和差異，希望能為我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的編寫提供一些建議.

一、研究對(duì)象

考慮教材的使用范圍及教材是否能體現(xiàn)所在地區(qū)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，再結(jié)合教材的出版時(shí)間，最后確定了表1中所列數(shù)學(xué)教材［2～5］.

表1 教材樣本及基本信息

二、數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的界定及其運(yùn)用方式

數(shù)學(xué)文化是一個(gè)涉及范圍很廣的名稱，其內(nèi)涵至今并無統(tǒng)一的界定，不同的學(xué)者從不同的角度有不同的看法.可以說，凡是與數(shù)學(xué)有關(guān)的一切事物都可以歸為數(shù)學(xué)文化的范疇.這里我們采用顧沛教授的觀點(diǎn)，“數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)涵，“簡(jiǎn)單地說，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；廣泛地說，除上述內(nèi)涵之外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的聯(lián)系，等等”.［6］

因此，本文所指的數(shù)學(xué)文化是廣義的，包括：數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科學(xué)，但不涉及數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等.為敘述方便，我們將數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)和數(shù)學(xué)與科學(xué)等數(shù)學(xué)文化內(nèi)容統(tǒng)稱為其他數(shù)學(xué)文化，也就是說，本文中的數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)史和其他數(shù)學(xué)文化兩大類.

（一）教材中數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用方式及其運(yùn)用水平

在數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用數(shù)學(xué)史料，有較為悠久的歷史.早在20世紀(jì)初的一些數(shù)學(xué)教材中，已經(jīng)開始大量運(yùn)用數(shù)學(xué)史材料于教材中，只是大多以數(shù)學(xué)故事的形式出現(xiàn)，與教學(xué)內(nèi)容關(guān)系不是特別密切.一般而言，教材中數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式可分為顯性和隱性兩大類.如數(shù)學(xué)家畫像、數(shù)學(xué)家的傳記、數(shù)學(xué)概念起源的介紹、數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史、數(shù)學(xué)家的故事、歷史數(shù)學(xué)名題等，都屬于顯性方式.顯性數(shù)學(xué)史料的主要作用是引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).隱性方式則是根據(jù)實(shí)際教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行改編、重構(gòu)，保留歷史上相關(guān)數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的關(guān)鍵步驟，以潤(rùn)物無聲的方式體現(xiàn)數(shù)學(xué)史料提供的思想和方法，所謂的“發(fā)生教學(xué)法”就屬于隱性方式.在隱性呈現(xiàn)方式中，數(shù)學(xué)史料的表現(xiàn)并不十分明顯，很多時(shí)候隱藏于一些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題或例題習(xí)題之中，按數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的順序展現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在無意識(shí)中經(jīng)歷數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”的過程.

關(guān)于教材中數(shù)學(xué)史料運(yùn)用方式的分類，到目前為止，得到大家廣泛認(rèn)可的分類方式還沒有.本文采用華東師大汪曉勤教授建立的分析框架［7］，見表2.該分類框架是按數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，將教材中運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的方式分為5類：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式.若按數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式看，前三種屬于顯性，后兩種屬于隱性方式.

表2 數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的五種方式及水平

對(duì)于教材中數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平，采用如下的計(jì)算方法［7］：首先，按數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平賦值，即水平1（點(diǎn)綴式）賦值為1，水平2（附加式）賦值為2，以此類推.其次，利用如下公式計(jì)算教材運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的水平A=

其中，Ai表示所處水平i的數(shù)學(xué)史料的數(shù)量，Bi表示數(shù)學(xué)史料所處水平的賦值，即Bi=i，n表示教材中數(shù)學(xué)史料的總數(shù).利用此公式，可以對(duì)不同版本教材，或是同一版本教材中不同冊(cè)次教材，或是不同版本教材中某一內(nèi)容運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的水平進(jìn)行量化處理.

（二）其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容及運(yùn)用方式

根據(jù)上面的約定，其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)和數(shù)學(xué)與科學(xué)，下面分別加以闡述.

1.數(shù)學(xué)與生活

借鑒PISA（2015）對(duì)數(shù)學(xué)問題背景的分類［8］，本文根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)文化與學(xué)生的關(guān)聯(lián)程度，將數(shù)學(xué)與生活分為個(gè)人生活、公共生活兩類.具體如表3.

表3 數(shù)學(xué)與生活的分類

2.數(shù)學(xué)與人文、藝術(shù)、科學(xué)

根據(jù)教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)與人文內(nèi)容界定為：文學(xué)、戲劇、歷史等.將數(shù)學(xué)與藝術(shù)的內(nèi)容界定為：美術(shù)、音樂、電影、舞蹈等.根據(jù)科學(xué)研究的對(duì)象，將數(shù)學(xué)與科學(xué)的內(nèi)容分為：地球科學(xué)、生命科學(xué)、物質(zhì)科學(xué)；其中地球科學(xué)包括地理、天文、環(huán)境、自然資源、災(zāi)害、氣象等，生命科學(xué)包括生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、健康、食品等，物質(zhì)科學(xué)包括物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)、工業(yè)技術(shù)等.具體如表4.

表4 數(shù)學(xué)與人文、藝術(shù)、科學(xué)的分類

3.其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用方式

de Lange根據(jù)背景與數(shù)學(xué)問題的關(guān)聯(lián)程度將背景分為［9］：（1）無背景；（2）掩飾數(shù)學(xué)問題；（3）數(shù)學(xué)問題的有機(jī)組成部分.本文在此基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，將其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用方式分為兩類：附加型和順應(yīng)型.具體如表5.

表5 其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用方式

三、結(jié)果

按照上述對(duì)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的分類，對(duì)兩套教材在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活（下面簡(jiǎn)稱生活）、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科學(xué)（下面簡(jiǎn)稱科學(xué)）方面出現(xiàn)的次數(shù)與百分比進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的結(jié)果如圖1、圖2.可能是研究的內(nèi)容的緣故，兩套教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容涉及人文、藝術(shù)非常之少.考慮到這種情況，我們將數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的子類合并到一起，統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)與藝術(shù)（下面簡(jiǎn)稱藝術(shù)）.

由圖1知，兩套教材在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科學(xué)四個(gè)方面有大致相同的趨勢(shì)，都呈斜“N”字型，兩套教材都是在數(shù)學(xué)史、藝術(shù)、科學(xué)三個(gè)方面的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容很少，而在數(shù)學(xué)與生活方面內(nèi)容最多.這在圖2中表現(xiàn)非常明顯，這也說明在兩套教材中數(shù)學(xué)文化集中體現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活方面.為更清楚的比較兩套教材在各個(gè)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容上的差異與共性，下面從每個(gè)維度來進(jìn)一步詳細(xì)說明.

圖1 兩套教材數(shù)學(xué)文化內(nèi)容折線圖

圖2 兩套教材數(shù)學(xué)文化內(nèi)容面積圖

1.在數(shù)學(xué)史方面的特點(diǎn)

兩套教材中涉及數(shù)學(xué)史料方面的內(nèi)容都比較少，大陸教材共有6處，臺(tái)灣教材共11處.兩套教材中數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式以顯性為主，其中僅有一處運(yùn)用了“順應(yīng)式”的方式，大陸教材在引入概率的“統(tǒng)計(jì)定義”時(shí)，利用了歷史上數(shù)學(xué)家擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果來說明：對(duì)任意給定的隨機(jī)事件，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定于概率P（A），因此我們可以用頻率來估計(jì)概率［2］.

大陸教材在“統(tǒng)計(jì)與概率”部分涉及的數(shù)學(xué)史料包括：“回歸”一詞的起源、含義及其發(fā)展，概率的“統(tǒng)計(jì)定義”、數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）的介紹及大數(shù)定律、蒙特卡羅方法、伯努利試驗(yàn)、正態(tài)分布（高斯分布）名稱的來源.臺(tái)灣教材中涉及的數(shù)學(xué)史料有：費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601-1665）的畫像、概率論的起源、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）的畫像、概率的“古典定義”、貝葉斯（Thomas Bayes，1702-1761）的畫像、貝葉斯學(xué)派、“辛普生詭辯”問題、伯努利試驗(yàn)、棣·莫弗（Abraham de Moivre，1667-1754）及高斯（Gauss，1777-1855）的畫像、正態(tài)分布（高斯分布）名稱的來源.

兩套教材中數(shù)學(xué)史料出現(xiàn)的位置大都在正文中，只有臺(tái)灣教材在課后習(xí)題中采用了“辛普生詭辯”問題.對(duì)兩套教材中數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用方式進(jìn)行具體分析，發(fā)現(xiàn)兩套教材大都以“附加式”的方式運(yùn)用數(shù)學(xué)史料，處于較低水平，以發(fā)生法來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“重構(gòu)式”均未涉及（具體見表6）.值得注意的是，臺(tái)灣教材中有大量的數(shù)學(xué)家的畫像，以點(diǎn)綴的方式來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，大陸教材則沒有采用此方式，而是在教材正文以“旁白”的形式對(duì)一些與教材知識(shí)有關(guān)的材料進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，如上面提到的“回歸”一詞的起源及發(fā)展，蒙特卡羅方法等內(nèi)容.

表6 兩套教材數(shù)學(xué)史料運(yùn)用方式

根據(jù)前面提到的教材中數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平的計(jì)算公式，我們可以計(jì)算出大陸教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平同樣，可以計(jì)算得到臺(tái)灣教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平為ZT=1.64.可以看出，在“統(tǒng)計(jì)與概率”部分，大陸高中數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平高于臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材.同時(shí)表明，教材中數(shù)學(xué)史料的數(shù)量與數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平之間并無直接的聯(lián)系.

2.在其他數(shù)學(xué)文化方面的特點(diǎn)

由上面的圖1知，兩套教材在其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容主要集中在“數(shù)學(xué)與生活”方面，在“數(shù)學(xué)與藝術(shù)”方面，兩套教材所涉及的可以忽略不計(jì).

（1）在數(shù)學(xué)與生活方面

按照子類和運(yùn)用方式分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到表7.可以發(fā)現(xiàn)，兩套教材都有較多的內(nèi)容與生活緊密聯(lián)系，臺(tái)灣教材在與生活相關(guān)的內(nèi)容出現(xiàn)的次數(shù)大于大陸教材.按子類劃分來看，兩套教材在與學(xué)生個(gè)人生活相關(guān)的內(nèi)容，數(shù)量上相差不是很大，比例上大陸教材大于臺(tái)灣教材.臺(tái)灣教材與生活有關(guān)的內(nèi)容主要集中在“公共生活”，大陸和臺(tái)灣教材各自所占比例分別為73.3%、81%.這說明，大陸教材比臺(tái)灣教材更加貼近學(xué)生的個(gè)人生活.而從兩套教材所涉及的內(nèi)容來看，在個(gè)人生活方面，兩套教材涉及的內(nèi)容大都是學(xué)生的考試成績(jī)、身高、體重等內(nèi)容，范圍比較狹窄；在公共生活方面，內(nèi)容則比較豐富，涉及運(yùn)動(dòng)（籃球比賽、足球比賽、射擊、田徑）、交通、游戲（擲硬幣、擲骰子、袋中摸球）、職業(yè)等.

表7 兩套教材數(shù)學(xué)與生活的水平分類

由表7可知，在“數(shù)學(xué)與生活”內(nèi)容中，兩套教材大多是順應(yīng)型，即生活背景與數(shù)學(xué)知識(shí)不可分離.這可能和本文所研究的對(duì)象有關(guān)，“統(tǒng)計(jì)與概率”相對(duì)于傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容（如代數(shù)、幾何）而言，與生活的練習(xí)較為密切.如大陸教材中給出的多個(gè)閱讀材料，“一個(gè)著名的案例”、“廣告數(shù)據(jù)的可靠性”等，都說明了“統(tǒng)計(jì)與概率”在生活中有較為廣泛的應(yīng)用.

同時(shí)，我們還發(fā)現(xiàn)，在“數(shù)學(xué)與生活”這一數(shù)學(xué)文化內(nèi)容中，統(tǒng)計(jì)、概率部分有著比較顯著的區(qū)別，這一點(diǎn)在后面會(huì)進(jìn)一步論述.

（2）在數(shù)學(xué)與科學(xué)方面

統(tǒng)計(jì)表明，兩套教材在“數(shù)學(xué)與科學(xué)”方面較為薄弱.大陸教材共有39處，臺(tái)灣教材僅有17處，并且超過一半的內(nèi)容都是附加型的，即與教材內(nèi)容可分離，去掉也不會(huì)影響學(xué)生正常的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).

此外，在這一內(nèi)容中，大陸教材的內(nèi)容多與氣象、生物學(xué)有關(guān)，臺(tái)灣教材則多與工業(yè)生產(chǎn)相關(guān)；兩套教材在與其他學(xué)科的交叉聯(lián)系上較為薄弱.

3.教材中統(tǒng)計(jì)、概率二者在數(shù)學(xué)文化滲透方面的差別

在數(shù)學(xué)史料中，大陸教材僅有1處屬于統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，其余5處均是涉及概率的.臺(tái)灣教材中也僅有3處內(nèi)容是關(guān)于統(tǒng)計(jì)的，另外8處都出現(xiàn)在概率內(nèi)容中.這說明兩套教材都重視概率超過統(tǒng)計(jì).

在“數(shù)學(xué)與生活”的內(nèi)容中，如表8所示.這一內(nèi)容中，統(tǒng)計(jì)、概率的差別非常顯著.兩套教材中，概率部分涉及生活的內(nèi)容都接近統(tǒng)計(jì)中與生活相關(guān)的內(nèi)容的兩倍.從數(shù)學(xué)與生活方面的呈現(xiàn)方式來看，大陸教材在附加型的呈現(xiàn)方式中，統(tǒng)計(jì)與概率二者相差不大，臺(tái)灣教材相差則比較大.在順應(yīng)型的呈現(xiàn)方式中，兩套教材“統(tǒng)計(jì)”與“概率”的差別都比較大，概率部分顯著高于統(tǒng)計(jì)部分；臺(tái)灣教材的差別更為明顯，概率部分達(dá)到了統(tǒng)計(jì)部分的4倍.

表8 兩套教材統(tǒng)計(jì)、概率二者在“生活”方面的差別

四、結(jié)論及建議

從數(shù)學(xué)文化內(nèi)容在兩套教材中出現(xiàn)的范圍、次數(shù)及運(yùn)用水平來看，應(yīng)該說兩套教材的編寫者都比較重視數(shù)學(xué)文化的滲透.但通過對(duì)教材中文化材料的運(yùn)用水平的分析，發(fā)現(xiàn)它們與將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有機(jī)結(jié)合的目標(biāo)還存在一定的差距.為使教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容更好的促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，教材中融入數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的數(shù)量及運(yùn)用水平上都有待改進(jìn).

1.融入更多的數(shù)學(xué)史料

數(shù)學(xué)史料的融入是數(shù)學(xué)文化的主要體現(xiàn)之一，但是兩套教材涉及的數(shù)學(xué)史料都很少，數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用水平也較為粗淺.大多以點(diǎn)綴式、附加式的方式對(duì)數(shù)學(xué)概念、符號(hào)的起源，數(shù)學(xué)家生平，歷史上的數(shù)學(xué)問題等進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹.如大陸教材在“旁白”中介紹了“回歸”一詞的來源，是高爾頓（Francils Galton，1822-1911）在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時(shí)引進(jìn)的，還以“旁白”的方式簡(jiǎn)要介紹了“蒙特卡羅”方法的興起與發(fā)展.很顯然，這種數(shù)學(xué)史料雖與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)，但很難引起學(xué)生的興趣，在課堂上教師一般也會(huì)選擇性的忽視.

可以說，數(shù)學(xué)教材中融入數(shù)學(xué)史料，是數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的直接反映.了解概率論歷史都知道，現(xiàn)代的概率理論開始于帕斯卡與費(fèi)馬的通信.進(jìn)一步考察概率論的歷史可以發(fā)現(xiàn)，歷史上很多材料都可用于今日的課堂教學(xué).

以卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano，1501-1576）的著作《論機(jī)會(huì)游戲》（1526）為例，該書中討論了德·默勒曾經(jīng)向帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）提出的問題，“擲一對(duì)骰子多少次才能使出現(xiàn)兩個(gè)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)達(dá)到50%”.卡爾達(dá)諾給出了自己的答案，不過遺憾的是，他給出的答案是錯(cuò)誤的.這一問題也被意大利數(shù)學(xué)家帕喬利（Luca Pacioli，1445-1517）討論過，在其著作《算術(shù)、幾何、比和比例集成》（1494）有這樣一個(gè)問題，“甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)公平的游戲，約定先勝6局者勝.實(shí)際上在家贏了5局，乙贏了3局后，游戲中斷.請(qǐng)問賭金該如何分配？”帕喬利認(rèn)為賭金應(yīng)按照5∶3的比例分配，這顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的答案.

另一位意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞（NicccoloTartaglia，1499-1557）也討論過此問題.在其著作《論數(shù)字與度量》（1556）中，他指出了帕喬利的答案是錯(cuò)誤的.“因?yàn)閮蓚€(gè)得分相差兩局，甲需要贏的次數(shù)僅是乙的，甲應(yīng)該拿走乙賭注份額的”，所以賭金應(yīng)該按2∶1來分配，但他對(duì)自己的答案是否正確也沒有信心.因此，在書中有這樣一句話，“這樣一個(gè)問題的解決是法律上的而非數(shù)學(xué)上的，所以無論怎樣分配都有理由上訴.”［10］今天我們已經(jīng)知道，他的說法也是錯(cuò)誤的.

這些問題顯然比今天課本中的問題有趣得多，為什么不對(duì)它們進(jìn)行改編或重構(gòu)，然后編入教材呢？讓學(xué)生去解一些早期數(shù)學(xué)家感興趣的問題，可以讓學(xué)生回到問題提出的時(shí)候；一個(gè)問題研究的原因、最早的解法是什么、最后的解法是什么、最好的解法又是什么，都能激發(fā)學(xué)生的興趣；并且學(xué)生在解決這些問題后，會(huì)獲得某種程度上的成就感.

2.注重?cái)?shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系

數(shù)學(xué)的思想和方法已經(jīng)滲透到社會(huì)的方方面面，統(tǒng)計(jì)與概率是數(shù)學(xué)中應(yīng)用性較強(qiáng)的分支，其應(yīng)用范圍已經(jīng)涉及整個(gè)自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程計(jì)算、管理、經(jīng)濟(jì)和文學(xué)領(lǐng)域.通過對(duì)兩套教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)兩套教材在數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與人文等方面都有待加強(qiáng).

數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí).現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)不僅僅是算術(shù)、幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)內(nèi)容的相互交織，還聯(lián)系著物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)和一些人文學(xué)科，這些學(xué)科中許多材料都可作為“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)的素材.

在數(shù)學(xué)與生活方面，也應(yīng)進(jìn)一步增加與學(xué)生個(gè)人生活相關(guān)的內(nèi)容.對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅要與其他學(xué)科聯(lián)系，還要考慮與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.“統(tǒng)計(jì)與概率”作為數(shù)學(xué)中應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容，更應(yīng)該聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際生活來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，這樣學(xué)生才有可能利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去分析和解決實(shí)際問題.

3.數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用水平有待提高

從整體上看，兩套教材在數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用水平都比較低，尤其是在數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用上，數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用大都以顯性方式.在數(shù)學(xué)與生活方面，數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)方式主要是順應(yīng)型，與問題結(jié)合較為緊密.在這一點(diǎn)上，大陸教材做得比臺(tái)灣教材好.但是，我們也應(yīng)看到的是，兩套教材中與學(xué)生個(gè)人生活相關(guān)的內(nèi)容都比較少.而在數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)等方面，數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的數(shù)量都有待增加，運(yùn)用水平也有待提高.

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)（必修3）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

3.課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)（選修2-3）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

4.林福來.普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）［M］.臺(tái)南：南一書局，2013.

5.林福來.普通高級(jí)中學(xué)選修數(shù)學(xué)甲版（上冊(cè)）［M］.臺(tái)南：南一書局，2013.

6.顧沛.數(shù)學(xué)文化［M］.北京：高等教育出版社，2008.

7.覃淋.臺(tái)灣初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017，（8）：33-37.

8.OECD.PISA 2015draftmathematicsframework［EB/OL］.http：//www.oecd.org/pisa /pisaproducts /pisa2015draftframeworks.htm，2017.9.20.

9.de Lange.Assessment：No Change without Problems［A］.In：Romberg TA.Reform in School Mathematics and Authentic Assessment［C］.New York：SUNY Press，1995.

10.卡茨.數(shù)學(xué)史通論［M］.北京：高等教育出版社，2004.