理解性學(xué)習(xí)理論下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計
——以“雙曲線”為例

☉浙江省杭州市余杭中學(xué) 楊 勁

數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)一直以來都是教育研究的熱點(diǎn)問題.所謂數(shù)學(xué)理解，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)對象進(jìn)行有效的加工，并通過數(shù)學(xué)語言描述學(xué)習(xí)結(jié)果的過程；理解性學(xué)習(xí)就是建立在數(shù)學(xué)理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)過程，就是學(xué)習(xí)者運(yùn)用先前的知識，在新的情境下進(jìn)行個體心智運(yùn)作和社會文化中介的交互的意義建構(gòu)，并不斷獲得理解的探索和發(fā)展過程［1］.從概念構(gòu)建的角度來看，概念本身又是理解學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，是學(xué)生關(guān)于某個數(shù)學(xué)觀念的濃縮.因此，理解性學(xué)習(xí)的理論對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義.下面筆者就以“雙曲線”為例，立足理解性學(xué)習(xí)的不同層次，談?wù)劺斫庑詫W(xué)習(xí)理論下的概念教學(xué).

一、立足經(jīng)驗(yàn)性理解，展現(xiàn)概念“自然”的定義過程

經(jīng)驗(yàn)性理解是指學(xué)習(xí)者基于自身經(jīng)驗(yàn)對學(xué)習(xí)對象的起始性理解.這里的“自身經(jīng)驗(yàn)”一方面指的是學(xué)習(xí)者對日常生活中的真實(shí)世界與客觀對象的一種感悟與認(rèn)識，即生活經(jīng)驗(yàn)；另一方面指的是學(xué)習(xí)者已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，比如，已有知識、思想方法體系.

學(xué)習(xí)雙曲線之前，學(xué)生已經(jīng)具備了以下“自身經(jīng)驗(yàn)”，如下表所示：

自身經(jīng)驗(yàn)生活經(jīng)驗(yàn) 學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)先前內(nèi)容圓①生活中的圓周運(yùn)動；②用圓規(guī)畫圓①用圓的幾何性質(zhì)刻畫圓的定義；②用坐標(biāo)法推導(dǎo)圓的方程；③圓的幾何要素：圓心與半徑橢圓①行星運(yùn)動軌跡；②切割圓錐得到“橢圓”；③用“繩子”畫橢圓①用橢圓的幾何性質(zhì)刻畫橢圓的定義；②中心建系，用坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓的方程；③橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程化簡原則；④橢圓的幾何要素：焦點(diǎn)與長軸；⑤離心率決定橢圓的圓扁程度

通過對“自身經(jīng)驗(yàn)”的分析，立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性理解，我們就可以向?qū)W生呈現(xiàn)雙曲線“自然”的定義過程，可以通過以下問題串進(jìn)行引導(dǎo)與啟發(fā).

問題1：圓錐曲線有幾種，它們是怎樣得到的？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧切割“圓錐模型”的場景，引發(fā)對三種曲線“同源性”的思考，即學(xué)習(xí)橢圓的過程可以移植到雙曲線中.

問題2：橢圓是如何定義的，如何畫橢圓？

意圖：通過回顧橢圓的定義過程，明確圓錐曲線定義的原理——用幾何性質(zhì)來刻畫曲線，而幾何性質(zhì)是通過“畫圖”的方式發(fā)現(xiàn)的，為雙曲線幾何性質(zhì)的提煉提供可以借鑒的路徑.

問題3：橢圓的定義包含了哪些關(guān)鍵幾何要素？

意圖：由于沒有能力直接“作”雙曲線，只能先分析橢圓的幾何要素，類比橢圓的定義方式，通過“改造”橢圓定義得到雙曲線定義.

問題4：到兩定點(diǎn)距離之和等于定長（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，你能對這個定義進(jìn)行改造嗎？

意圖：由“和”想到“差”是比較自然的思維過程，在這個猜想的基礎(chǔ)上，通過動手操作或者幾何畫板演示，從而逐步發(fā)現(xiàn)雙曲線的幾何性質(zhì)，進(jìn)而提煉雙曲線的定義.

經(jīng)驗(yàn)化理解通常發(fā)生在學(xué)習(xí)的初始階段，它是一種低層次理解，它包含諸多的個人經(jīng)驗(yàn)成分，往往具有模糊、易錯的特點(diǎn)，比如，上述設(shè)計中，“雙曲線”幾何性質(zhì)發(fā)現(xiàn)過程中，不可否認(rèn)，把“和”變成“差”存在著“運(yùn)氣”的成分，如果運(yùn)氣不好，就很難達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，所以必須要把經(jīng)驗(yàn)性理解上升到形式化理解.

二、立足形式化理解，構(gòu)建概念“系統(tǒng)”的獲得路徑

形式化理解意味著學(xué)習(xí)者對自身知識經(jīng)驗(yàn)的一種抽象性的整理、組織、概括與重新表征，能對數(shù)學(xué)的形式化符號與語言進(jìn)行簡明深刻的本質(zhì)化認(rèn)識［2］.

【操作驗(yàn)證1】旦德林雙球模型（圖1）

圖1

因?yàn)镻M與PF′分別與球面相切，切點(diǎn)分別是M與F′，所以PM=PF′，同理可得PQ=PF.

則PF′-PF=PM-PQ=QM（定值）.

【操作驗(yàn)證2】折紙游戲

第一步：在矩形的白紙上，畫一個圓，圓心記作F1.

第二步：在圓F1外任取一定點(diǎn)F2.

第三步：在圓F1上任取一點(diǎn)P1，然后將紙片對折，使得點(diǎn)P1與點(diǎn)F2重合，并且留下一條折痕，為了看清楚，可以把折痕畫出來（如圖2所示）.

圖2

圖3

第四步：再在圓F1上任取其他的點(diǎn)，然后重復(fù)步驟三.這樣繼續(xù)下去，得到很多折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成何種曲線.

證明：如圖3所示，曲線上的點(diǎn)是由折痕和P1F1相交而得到的，不妨設(shè)為M.根據(jù)折紙原理，折痕其實(shí)就是垂直平分線，可知|MF2|=|MP1|.所以|MF2|-|MF1|=|MP1|-|MF1|=R（圓的半徑），即動點(diǎn)M滿足到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，符合雙曲線的定義.

意圖：通過動手操作，一方面進(jìn)一步驗(yàn)證“猜想”的正確性，深化對雙曲線定義的形式化理解；另一方面，能夠系統(tǒng)地獲得對圓錐曲線定義的統(tǒng)一認(rèn)知，因?yàn)橥ㄟ^旦德林雙球模型、折紙游戲同樣可以得到橢圓與拋物線.

從經(jīng)驗(yàn)性理解上升到形式化理解直至結(jié)構(gòu)化理解，學(xué)習(xí)者在理解的層級上已經(jīng)向前邁出了一大步，但形式化理解只局限于定義的本身，無法揭示定義的外延及與其他數(shù)學(xué)對象的聯(lián)系，因而其理解的程度在豐富性、關(guān)聯(lián)性與精細(xì)化方面都顯欠缺，所以還要把形式化理解上升到結(jié)構(gòu)化理解的層面.

三、立足結(jié)構(gòu)化理解，揭示概念“豐富”的外延體系

結(jié)構(gòu)化理解實(shí)質(zhì)上是一種結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性理解，其著眼點(diǎn)是在一種知識的關(guān)系脈絡(luò)中把握相關(guān)知識的內(nèi)涵與本質(zhì).數(shù)學(xué)是一個邏輯結(jié)構(gòu)很強(qiáng)的演繹體系，但這種邏輯結(jié)構(gòu)體系往往需要學(xué)習(xí)者自己去為其賦予意義，從而在掌握數(shù)學(xué)中大大小小的結(jié)構(gòu)的同時，建立一種對數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性理解［3］.

在此之前，學(xué)生對于“雙曲線”的認(rèn)知并非一片空白，事實(shí)上，反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線，學(xué)生不禁會提出這樣的疑問：反比例函數(shù)對應(yīng)的雙曲線與圓錐曲線對應(yīng)的雙曲線是否是同一類曲線，兩者存在著什么聯(lián)系.對于這個問題，我們可以從雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)分析中找到答案.

從定義出發(fā)容易得到推論：以兩條相交直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）.反之，曲線方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）表示為以直線方程A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線.

（未完，）

更為復(fù)雜的二次曲線x2+xy-2y2+3y-4=0?（x+2y-1）（x-y+1）=3，它表示以x+2y-1=0，x-y+1=0為漸近線的雙曲線.

至此，學(xué)生“雙曲線”的認(rèn)知經(jīng)歷了從形到數(shù)、再從數(shù)到結(jié)構(gòu)的飛躍.

對某一具體的數(shù)學(xué)知識而言，所關(guān)涉的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜、越精細(xì)，學(xué)習(xí)者對其本質(zhì)的理解亦是越深刻、越完善.正如布魯納所言：“每一門學(xué)科都有一個結(jié)構(gòu)，一個貼切的、美妙的結(jié)構(gòu).這個結(jié)構(gòu)提供有關(guān)事物的潛在的簡約性，并且，通過學(xué)習(xí)它的本質(zhì)，我們就能夠達(dá)到對這個學(xué)科內(nèi)在意義的理解.”

圖4

如圖4所示，需要強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)理解發(fā)展不是以高一層次來取代低層次，導(dǎo)致低層次的思維形態(tài)銷聲匿跡，而是以低層次思維形態(tài)作為高層次思維形態(tài)發(fā)展基礎(chǔ)；反過來，高層次思維形態(tài)的出現(xiàn)和發(fā)展又帶動、促進(jìn)低層次思維形態(tài)不斷地由低水平向高水平的發(fā)展.因此，基于理解性學(xué)習(xí)理論下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是思維自我建構(gòu)、自我完善的過程，這是理解性學(xué)習(xí)理論的核心.

1.沙涓.高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐與思索［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（36）.

2.徐彥輝.高中生對數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)認(rèn)識的因素結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010（4）.

3.呂林海.數(shù)學(xué)教學(xué)中的理解性學(xué)習(xí)探究［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2013（10）.