基于序貫分析的制導彈藥命中精度試驗一次抽樣方案

李阿楠，廖學軍

(1.解放軍裝備學院，北京 101416；2.武警后勤學院軍交運輸系，天津 300301)

0 引言

制導彈藥命中精度主要由兩部分組成，即命中準確度和命中密集度，系統(tǒng)誤差是影響準確度的主要因素，而隨機誤差是影響密集度的主要因素[1]。在制導彈藥命中精度試驗中，人們常采用圓概率偏差(CEP)假設檢驗方法進行試驗，試驗方案一般采用一次抽樣方案或序貫概率比檢驗方案，并且已制定了相應國標或國軍標，如GB/T5080.5-1985、國軍標GJB899-97等。一次抽樣方案原理簡單，試驗準備和操作都比較方便，但是不管產(chǎn)品的質量如何，都要經(jīng)歷最多的累計試驗數(shù)，且有時所需試驗樣本量過大[2]，這對于制導彈藥武器來說，試驗費用就顯得十分昂貴。而序貫概率比檢驗(SPRT)方案雖能使試驗樣本量盡可能的少，提高試驗效率，但是這種試驗方案的累計試驗數(shù)變化范圍較大，有時累計試驗數(shù)甚至超過一次抽樣方案的累計試驗數(shù)[3]。本文針對這兩種試驗方案的不足之處，提出了基于序貫分析的制導彈藥命中精度試驗一次抽樣方案。

1 制導彈藥命中精度試驗的一次抽樣方案

1.1 制導彈藥命中精度的圓概率偏差(CEP)的計算

圓概率偏差(CEP)指的是以瞄準點為圓心，包含彈著點50%的圓的半徑R[4-5]。 在制導彈藥落點精度試驗中，最常見的是采用圓概率偏差(CEP)的假設檢驗方法。即：

H0:CEP=CEP0,H1:CEP=λCEP0

式中，λ為檢出比，λ>1，由生產(chǎn)方和使用方協(xié)商確定。

設對平面目標進行射擊，以瞄準點為原點，以射擊方向為縱軸，垂直射擊方向為橫軸，落點坐標為(x,z)，且(x,z)服從正態(tài)分布，縱橫向獨立，(x,z)～N(ux,uz,σx,σz)，此時(CEP)的計算如下[6-7]：

(1)

當p=50%,R即為所求的CEP的值。需要指出的是，在做命中精度試驗時，通常先評估系統(tǒng)性誤差，即(ux,uz)，然后對系統(tǒng)性誤差進行補償，使其降到最小，最終使射彈散布中心與瞄準點重合，這也是武器系統(tǒng)在總體設計時提出的戰(zhàn)術技術要求[1]。因此，CEP的計算可進一步簡化如下式：

(2)

設σx=σz=σ，進一步轉換成極坐標進行求解得：

(3)

進一步簡化得：

(4)

(5)

同理，不同的p可以得到不同的以R為半徑的圓。

1.2 制導彈藥命中精度試驗的一次抽樣方案設計

根據(jù)圓概率偏差(CEP)的概念，在制導彈藥精度試驗中，如果有50%以上的制導彈藥落在了以CEP為半徑的概率圓內，則證明該型制導彈藥的命中精度達到了設計要求。同理，如果有85%以上的制導彈藥落在了當p為85%時的概率圓內，則也證明該型制導彈藥的命中精度達到了設計要求[8]。在靶場試驗時，最常用的試驗方案為一次抽樣方案，下面舉例說明一次抽樣方案的設計。

由圖2和圖3可知，實驗殘差分布在常態(tài)范圍內，實驗選取的模型合適；實驗值與預測值吻合良好，實驗值基本上平均分布于預測線周圍。響應曲面設計(BBD)的實驗模型能夠很好地反映微波干燥草果過程中自變量與響應值之間的實際規(guī)律。

1)設某制導彈藥的命中概率設計指標為85%，σx=σz=σ=50 m，根據(jù)使用方和生產(chǎn)方共同協(xié)商確定“棄真”和“采偽”的概率值，即α和β的值，α=0.3，β=0.3，要求設計該型制導彈藥命中精度試驗的一次抽樣方案。

2)由于制導彈藥的命中概率為0.85，所以根據(jù)概率圓的定義，首先計算p為85%時的概率圓半徑R，根據(jù)公式(5)來計算。

R=1.9478σ=1.9478×50=97.39 m

以瞄準點為圓心，R=97.39 m為半徑畫圓，制導彈藥落點在此圓內為成功，不在此圓內為失敗。

求解以上方程組，得出N和AC的值，由于N和AC均為整數(shù)，所以N和AC的最終結果為α和β值最接近要求值時所求解出來的整數(shù)。靶場一般是根據(jù)現(xiàn)成的國標或國軍標，查表得到N和AC的值，本文使用Matlab語言進行編程求解，表1為所求結果，其中α′、β′ 為生產(chǎn)方和使用方實際的“棄真”和“采偽”的概率，這在現(xiàn)有的國標和國軍標上是查不到的。

根據(jù)表1計算的結果，綜合考慮制導彈藥的價格和試驗費用及“棄真”和“采偽”的概率大小等因素，來確定發(fā)射制導彈藥的總發(fā)數(shù)和允許失敗的發(fā)數(shù)。在本例中，可取N=16,AC=3。也就是說，在發(fā)射的16發(fā)制導彈藥中，如果最多有3發(fā)彈沒有落在以半徑為R=97.39 m的概率圓內，則表明該型制導彈藥的命中精度符合設計指標要求。如果有4發(fā)或4發(fā)以上彈失敗，則表明該型制導彈藥的命中精度不符合設計指標要求，這就是經(jīng)典的一次抽樣試驗方案。

表1 制導彈藥命中精度試驗一次抽樣方案

2 基于序貫分析的一次抽樣試驗方案

在一次抽樣方案中，有時所需樣本量較大，如在上例中，其他條件不變，只是將制導彈藥命中精度改為95%，那么N=36，AC=3。由于制導彈藥的造價一般都比較昂貴，試驗費用比較高，尤其是戰(zhàn)略制導彈藥，不可能提供大量的試驗用彈[9-10]。因此在保證試驗精度的基礎上，一般都希望試驗用彈量越少越好。本文提出了一種基于序貫分析的一次抽樣試驗方案，該方案是在一次抽樣方案的基礎上進行序貫試驗，有效地減少了試驗用彈量，提高了試驗效率。下面結合上例說明基于序貫分析一次抽樣試驗方案的設計步驟。

1)在上例中，根據(jù)一次抽樣方案的計算結果，總發(fā)射彈數(shù)為16發(fā)，允許失敗彈數(shù)為3發(fā)，因此我們可以計算發(fā)射數(shù)從4發(fā)開始到12發(fā)所占總發(fā)射數(shù)的百分比及所對應的概率圓半徑[11]，計算結果如表2所示。

根據(jù)圓概率偏差的概念，結合表2的計算結果，我們可得出以下結論，如果有4發(fā)彈落在了以R4為半徑的概率圓內，則證明該型制導彈藥的命中精度符合設計要求，則可以停止發(fā)射，結束試驗。如果沒有，則繼續(xù)發(fā)射，直到發(fā)射彈數(shù)落在了所對應的概率圓內，則試驗結束[12]，這就是序貫分析。

表2 發(fā)射彈數(shù)占總數(shù)的百分比及概率圓半徑

2)但是上述序貫試驗方法的“棄真”和“采偽”的概率有多大呢？生產(chǎn)方和使用方可以接受嗎?因此，我們計算了這種序貫試驗方法的“棄真”和“采偽”的概率值，如表3所示。

表3 采用序貫分析方法所對應的α′和β′的值(λ=1.5)

從表3可以看出，“棄真”α′的概率值較大，不能滿足生產(chǎn)方的要求，所以這個方法必須進行改進。

3)為了調整實際的“棄真”和“采偽”的大小，我們根據(jù)公式(5)，通過調整發(fā)射彈數(shù)所對應的概率圓半徑的大小，從而改變命中率p0大小的方法，最終改變α′、β′的大小。計算結果如表4所示。

通過表4我們可以看出，通過調整發(fā)射彈數(shù)所對應的概率圓半徑的大小，使得α′的值有所減小，從發(fā)射第5發(fā)彈開始，α′<0.3、β′<0.3，滿足了生產(chǎn)方和使用方的要求。

結合本例，基于序貫分析的一次抽樣方案總結如下：首先計算總發(fā)射彈數(shù)為16發(fā)，最多允許3發(fā)彈發(fā)射失敗，即3發(fā)彈落在了以R=97.39 m為半徑的圓外，當有4發(fā)彈發(fā)射失敗時，則可判定該型制導彈藥命中精度達不到指標要求，實驗結束；如果失敗彈數(shù)不超過3發(fā)，則繼續(xù)發(fā)射，然后檢查發(fā)射彈數(shù)是否落在所對應(調整后)的概率圓內(表4)，如5發(fā)彈落在R=46.4 m的概率圓內，或6發(fā)彈落在了R=52.2 m的概率圓內，以此類推，若是，則判定該型制導彈藥命中精度達到指標要求，試驗結束。

表4 調整概率圓后所對應的α′和β′的值(λ=1.5)

3 結論

本文提出了基于序貫分析的制導彈藥命中精度試驗一次抽樣方案。該方案將兩種試驗方案的優(yōu)點結合了起來，試驗前便可知試驗樣本數(shù)，便于靶場和生產(chǎn)方進行試驗準備，試驗中根據(jù)序貫分析，隨時做出“接受”和“棄收”的決定。實例證明，該試驗方案在保證試驗精度的同時，能有效減少累計試驗數(shù)，節(jié)約了試驗費用，提高了試驗效率。

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