三角恒等變換之題型總結(jié)及解題策略分析

王傳勇

三角恒等變換是解決三角函數(shù)問(wèn)題的重要工具.三角恒等變換是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要模塊，在歷年的高考中都是必考內(nèi)容，同時(shí)也是很多學(xué)生學(xué)習(xí)，考試的難點(diǎn).本文將三角恒等變換的一些常見(jiàn)題型及解決策略作了梳理，僅供參考，希望能對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)有所幫助.

一、公式的變形

三角公式是變換的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練地掌握公式的順用、逆用及變形應(yīng)用.

1.化簡(jiǎn)

（1）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ；（2）sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ

解：（1）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=cos[（α+β）-α]=cosβ

（2）sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=sin[（α+β）-α]=sinα

2.求證：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.

證明：由tan（20°+40°）=得

tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°），所以

（1-tan20°tan40°）+tan20°tan40°=.

二、角的變換

在表達(dá)式中或者在已知條件和所求問(wèn)題中出現(xiàn)較多的相異角，可以通過(guò)觀察，尋找兩角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系，從而應(yīng)用角的變換，建立已知和結(jié)論之間的聯(lián)系，使問(wèn)題得以解決.

1.已知cosα=，cos（α+β）=-且α，β均為銳角，求cosβ.

思路分析：通過(guò)尋找題目中的角α，α+β，β三者之間的關(guān)系，利用角的變換來(lái)解決.

解：因?yàn)閏osα=，cos（α+β）=-，且α，β均為銳角，

所以sinα==，sin（α+β）==

cosβ=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ

=-×+×=

2.已知cos（α-β）=-，cos（α+β=），且（α-β）∈，π

（α+β）∈，2π，求cos2α.

思路分析：通過(guò)尋找題目中的角α-β，α+β，2α三者之間的關(guān)系，利用角的變換來(lái)解決.

解：因?yàn)閏os（α-β）=-，（α-β）∈，π，所以sin（α-β）==.

因?yàn)閏os（α+β）=，（α+β）∈，2π，所以sin（α+β）==-.

所以cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]

=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）

=-×-×-=-

三、函數(shù)名稱的改變

三角變形中，常常需要變不同函數(shù)名稱為同名函數(shù).如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?，化弦為切，變異名為同名.

1.求sin15°sin30°sin75°值.

解：sin15°sin30°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=×=

2.化簡(jiǎn).

解：原式=

==

===2.

四、常數(shù)變換，巧用“1”

在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)1轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值來(lái)代換，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

1.已知tan+θ=3，求sin2θ-2cos2θ.

解：由tan+θ=3得，tanθ=.

sin2θ-2cos2θ====-.

2.求.

解：原式===tan30°=

五、冪的變換

升降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法，降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪.

求使函數(shù)f（x）=cos4x+sinxcosx-sin4x為正值的x的集合.

解：f（x）=cos4x+sinxcosx-sin4x=（cos4x-sin4x）+sin2x=（cos2x-sin2x）（cos2x+sin2x）+sin2x=cos2x+sin2x=sin2x+，由sin2x+>0得2kπ<2x+<2kπ+π，k∈z.解得-+kπ

所以x的集合為x-+kπ

六、結(jié)構(gòu)的變換

通過(guò)表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造上的變換，從而使問(wèn)題得到解決.

求cos20°cos40°cos80°的值.

解析：根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，乘以并除以2sin20°.

解：cos20°cos40°cos80°=

==

===.

參考文獻(xiàn)：

[1]牛曉偉.三角恒等變換的技巧及其應(yīng)用[J].考試周刊，2012（49）.

[2]黃偉軍.三角恒等變換之七變[J].泛舟學(xué)海（高中），2008.

[3]華麗鳳.三角恒等變換之“差異分析”策略[J].高中數(shù)理化，2011（22）.

[4]杜春輝.例談三角恒等變換中的“變角”技巧及其應(yīng)用[J].考試周刊（數(shù)理系），2011（78）.

編輯 謝尾合