“直觀想象”與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”下的變式教學(xué)

王芳

摘 要：在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的獲得和深化往往都是以學(xué)生“解題活動(dòng)”為載體，“解題活動(dòng)”是學(xué)生提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要“平臺(tái)”.而在解析幾何中，借助圖形關(guān)系，通過(guò)“一題多變，一題多解”的教學(xué)方式，往往能夠?qū)ふ业浇忸}的方法與規(guī)律.

關(guān)鍵詞：一題多變；一題多解；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算

高三圓錐曲線復(fù)習(xí)中的最大特點(diǎn)：計(jì)算量大、本文就從直觀想象與一題多變、數(shù)學(xué)運(yùn)算與一題多解的角度去審視運(yùn)算中的問(wèn)題，通過(guò)“一題多變，一題多解”的教學(xué)方式，能讓學(xué)生對(duì)一類題型融會(huì)貫通，掌握解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維，從而讓學(xué)生從復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程中解脫出來(lái)，上升到思想方法層面，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、概念教學(xué)中的直觀想象與一題多變

概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的一種重要途徑，歷年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題中涉及數(shù)學(xué)概念的題型頻繁出現(xiàn).借助圓錐曲線幾何圖形的直觀性去洞悉數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維，能進(jìn)一步提升學(xué)生幾何直觀的想象力，激發(fā)學(xué)生推理分析的能力.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，很多時(shí)候?qū)W生做題思維被卡住的原因是文字、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為相應(yīng)圖形語(yǔ)言出現(xiàn)了障礙，需要教師選擇幾何圖形為背景的問(wèn)題進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)，讓學(xué)生從圖形中感悟至升華，從而提升直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例1.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，求橢圓C的離心率e.

分析與解：由“線段PF2與x2+y2=b2圓相切”得OQ的長(zhǎng)就是短半軸b，且垂直P(pán)F2，再由OQ是△F2PF1的中位線得b==，OQ⊥PF2，故e=.

變式：P是橢圓+=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，且=+，=4，求點(diǎn)P到該橢圓左準(zhǔn)線的距離.幾何圖形是解決問(wèn)題的本質(zhì)，也是對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的熏陶.

二、方法指導(dǎo)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算與一題多解

方法的指導(dǎo)，即在學(xué)生解題過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的審題、解題、運(yùn)算、化簡(jiǎn)等進(jìn)行一定的指導(dǎo)與幫助，使學(xué)生掌握合理的解題方法且能進(jìn)一步優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程.而解析幾何中運(yùn)算的方法指導(dǎo)是指在運(yùn)算中對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系式處理上的指導(dǎo)，常常受題目的條件、選參的方向以及數(shù)學(xué)思想方法的影響.

解析幾何中的運(yùn)算是解題的核心，也是學(xué)生最大的困惑，是高校區(qū)分學(xué)生能力的重要方面.在培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.

例2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l⊥x軸，點(diǎn)M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于點(diǎn)P.（1）求橢圓C的方程；（2）求證：AP⊥OM.

分析與解：把橢圓的定義、幾何性質(zhì)、代數(shù)運(yùn)算等內(nèi)容滲透到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，充分體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間的橫向聯(lián)系，符合了直線與橢圓B級(jí)考查要求的基本理念.

解法一：設(shè)直線BM：y=k（x-2），得M（-2，-4k），得y=x（x-2）+=1，得P，-，下用斜率乘積為-1，或用向量點(diǎn)乘為0得到證明；

解法二：設(shè)M（-2，m），求出直線BM的方程，再結(jié)合橢圓方程得方程組，求出P，，下同解法一；

解法三：設(shè)P（x0，y0），求出BM，得M-2，，設(shè)而不求是解析幾何中的一種重要的方法，利用方程進(jìn)行整體消元，優(yōu)化運(yùn)算：

·=-2（x0+2）+=-2（x0+2）-=-2（x0+2）+2（2+x0）=0；

解法四：利用“橢圓上的點(diǎn)與橢圓上關(guān)于中心對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的斜率之積為定值-”轉(zhuǎn)化，由kAP·kBP=-及直線OM、BM斜率的關(guān)系可以得AP，OM垂直.

三、兩點(diǎn)思考

在解析幾何的教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)貫穿整章內(nèi)容的教學(xué)，在“一題多變、一題多解”的教學(xué)環(huán)節(jié)下，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，同時(shí)直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)也得到了相應(yīng)的滲透，從而使得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)化于心，成為學(xué)生心靈深處的“財(cái)富”！

1.一題多變，在變式發(fā)展中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).問(wèn)題1和變式都對(duì)橢圓的定義進(jìn)行了考查，放在一起教學(xué)可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解題目的本質(zhì)，進(jìn)一步深化對(duì)概念的理解，也可以幫助學(xué)生在新的問(wèn)題分析中感受直觀到抽象、已知到未知的變化，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

2.一題多解，在探索發(fā)現(xiàn)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.“一題多解”是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一個(gè)重要的組成部分，讓學(xué)生從各個(gè)不同的角度去思考問(wèn)題，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，從而培養(yǎng)學(xué)生再思考、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的能力.問(wèn)題2由通性通法到最優(yōu)解法、由復(fù)雜的運(yùn)算到精密的思維、由設(shè)點(diǎn)斜率到利用一些重要的結(jié)論進(jìn)行跳躍，從多種角度去解決同一問(wèn)題，既拓寬了學(xué)生的解題思路，又訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算化簡(jiǎn)能力.

變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維，拓寬學(xué)生的解題思路；變式教學(xué)也可以讓學(xué)生感受知識(shí)與方法的發(fā)展過(guò)程，體會(huì)自我認(rèn)知能力的提升，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的樂(lè)趣，進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.因此，我們要整合教學(xué)中的資源，將變式教學(xué)滲透到高中數(shù)學(xué)課堂中去，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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編輯 魯翠紅