借幾何直觀(guān) 促深度理解 育數(shù)學(xué)素養(yǎng)

芮金芳

【關(guān)鍵詞】幾何直觀(guān)；深度理解；核心素養(yǎng)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2018）01-0066-03

幾何直觀(guān)作為新課標(biāo)提出的十大核心概念之一，是學(xué)生發(fā)展中的必備數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。幾何直觀(guān)主要指利用圖形描述問(wèn)題、分析問(wèn)題，借助幾何直觀(guān)能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于學(xué)生探索解決問(wèn)題的思路、預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀(guān)能幫助學(xué)生直觀(guān)地理解數(shù)學(xué)，使他們形成一種數(shù)形結(jié)合洞察世界的能力，培育其創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維方式。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意發(fā)揮幾何直觀(guān)的獨(dú)特價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀(guān)能力，提升其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

1.借助幾何直觀(guān)，生動(dòng)表征數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)概念的形成是抽象、理性的。小學(xué)生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，而且在過(guò)渡的過(guò)程中需要具體表象的支撐。所以，在學(xué)習(xí)概念時(shí)需要幾何直觀(guān)提供具體、直觀(guān)的支撐。如教學(xué)蘇教版三上《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，教師提供幾個(gè)不同的圖形（如圖1），讓學(xué)生通過(guò)折一折、涂一涂表示出它們的二分之一，然后組織學(xué)生交流操作結(jié)果，從而提煉出二分之一的本質(zhì)屬性。

師：大家展示的圖形都不同，為什么涂色部分都能用二分之一來(lái)表示呢？

生：不管圖形的形狀如何，只要把它平均分成兩份，涂色部分是其中的一份，就表示這個(gè)圖形的二分之一。

這是學(xué)生建立二分之一概念的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生從具體實(shí)物（分一個(gè)蛋糕）的二分之一開(kāi)始，逐步抽象到一個(gè)圖形的二分之一，在不同圖形的觀(guān)察比較中，舍棄事物非本質(zhì)、次要的特征，聚焦概括出“都是平均分成兩份，取其中的一份”這一本質(zhì)特性。教師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)譯成形，再用語(yǔ)言表征描述所畫(huà)圖形的含義，使得學(xué)生把頭腦中形成的二分之一的表象進(jìn)行視覺(jué)化，增強(qiáng)了學(xué)生借助直觀(guān)圖形表征數(shù)學(xué)概念的能力，豐富了學(xué)生的數(shù)感，同時(shí)提升了他們運(yùn)用幾何直觀(guān)形象、直觀(guān)地刻畫(huà)抽象概念的能力。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于受到已有經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到用語(yǔ)言表達(dá)不清的尷尬情形。這時(shí)，圖形直觀(guān)會(huì)成為學(xué)生最有效的表達(dá)工具。充分利用直觀(guān)材料和幾何形象能為學(xué)生提供自主思考、深度學(xué)習(xí)的思維路徑。利用幾何圖形能清楚、直觀(guān)地表達(dá)出數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，讓學(xué)生在圖形表征中發(fā)現(xiàn)積的分子和分母與兩個(gè)因數(shù)的分子、分母之間的內(nèi)在關(guān)系，自主建構(gòu)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法，并借助直觀(guān)圖示理解其算理。類(lèi)似地，在學(xué)習(xí)整數(shù)加減法、小數(shù)乘除法、分?jǐn)?shù)加減法時(shí)也都可以利用圓片、正方體模型、方格圖等圖形直觀(guān)來(lái)表征運(yùn)算過(guò)程的意義，同時(shí)以形助數(shù)更深入地理解其算理。

3.借助幾何直觀(guān)，提升問(wèn)題解決能力。

數(shù)學(xué)問(wèn)題一般由問(wèn)題情境信息及其內(nèi)在關(guān)系要素組成。要正確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須透過(guò)信息表層達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)性的理解。但有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)形式過(guò)于煩瑣，學(xué)生無(wú)法從文字的敘述和解讀中抓住其中的核心關(guān)系，而難以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成自身可以理解的內(nèi)容。例如：教學(xué)蘇教版四上《解決問(wèn)題的策略：畫(huà)圖》一課，有這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：“梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8米。在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來(lái)花圃的面積是多少平方米？”面對(duì)這樣復(fù)雜、冗長(zhǎng)、抽象的實(shí)際問(wèn)題，如果直接進(jìn)行解答，學(xué)生很難找到數(shù)量之間的關(guān)系，在這樣的認(rèn)知沖突下，會(huì)自然引發(fā)他們畫(huà)圖（面積示意圖）的內(nèi)在學(xué)習(xí)需求。在學(xué)生用示意圖（如圖3）清楚、完整、簡(jiǎn)潔地表示出信息后，讓他們對(duì)文字和示意圖進(jìn)行比較，深度感受畫(huà)直觀(guān)示意圖的價(jià)值。在這里，幾何直觀(guān)起到啟迪學(xué)生思考解題思路的作用，學(xué)生在層層分析、推理、解決問(wèn)題的過(guò)程中，不但可以深刻感受到畫(huà)圖策略的重要地位，而且能充分體會(huì)畫(huà)面積示意圖對(duì)描述、整理問(wèn)題和探尋、分析問(wèn)題解決思路的價(jià)值和作用。

4.借助幾何直觀(guān)，發(fā)展推理想象能力。

直觀(guān)推理是一種滲透性極強(qiáng)的思維形式，可以看作數(shù)學(xué)直觀(guān)的精髓。加強(qiáng)幾何直觀(guān)教學(xué)并不單單要求學(xué)生能夠利用示意圖或線(xiàn)段圖直觀(guān)表征數(shù)、數(shù)量之間的關(guān)系，還要能利用圖形產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)，或借助圖形進(jìn)行直觀(guān)推理，從而洞察各個(gè)對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，獲得直觀(guān)、系統(tǒng)、整體性的認(rèn)識(shí)。如：（1）小劇場(chǎng)原來(lái)每排有25個(gè)座位，有20排。擴(kuò)建后每排增加5個(gè)座位，增加3排。擴(kuò)建后共增加了多少個(gè)座位？（2）原計(jì)劃買(mǎi)25個(gè)球，每個(gè)20元。實(shí)際每個(gè)漲價(jià)3元，而且多買(mǎi)了5個(gè)。實(shí)際比計(jì)劃多用多少元？（3）一個(gè)長(zhǎng)方形種植園長(zhǎng)25米，寬20米。擴(kuò)建后長(zhǎng)增加5米，寬增加3米。擴(kuò)建后的面積增加了多少平方米？乍一看，這三道題似乎毫不相干，情境內(nèi)容各異，但深入思考后會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系是一致的，可以用相同的幾何模型來(lái)表達(dá)，如圖4所示。所以，除了依據(jù)常規(guī)數(shù)量之間的關(guān)系列式（25+5）×（20+3）-25×20以外，根據(jù)長(zhǎng)方形面積示意圖的直觀(guān)表達(dá)和劃分，學(xué)生還能輕松地得到另外兩種解法：5×（20+3）+25×3和（25+5）×3+20×5。這些多樣化的思考和表達(dá)是學(xué)生借助幾何直觀(guān)進(jìn)行比較、分析、推理和想象逐步形成的。從這個(gè)角度看，是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維。借助幾何圖形，學(xué)生能由淺入深、由表及里地展開(kāi)想象，創(chuàng)造性地進(jìn)行探究活動(dòng)。

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾曾說(shuō)過(guò)：幾何直觀(guān)能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?？梢?jiàn)，幾何直觀(guān)可以幫助我們很好地把握問(wèn)題的本質(zhì)。作為學(xué)生必備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幾何直觀(guān)的形成不是一蹴而就的，需要教師在教學(xué)中不斷滲透幾何直觀(guān)的意識(shí)，教會(huì)學(xué)生圖形直觀(guān)的表達(dá)方法，使學(xué)生逐步積累幾何直觀(guān)表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)，提升其運(yùn)用幾何直觀(guān)的能力。

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（作者單位：江蘇省溧陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）endprint