例談高考三角函數(shù)復(fù)習(xí)策略

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(余姚中學(xué)，浙江 余姚 315400)

例談高考三角函數(shù)復(fù)習(xí)策略

●胡建烽龔鳳

(余姚中學(xué)，浙江 余姚 315400)

三角函數(shù)是歷年高考的必考內(nèi)容，結(jié)合近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考卷的考查情況，分析考點、把握難點、剖析疑點，力求明確復(fù)習(xí)方向，提高備考質(zhì)量．

三角函數(shù)；三角恒等變換；解三角形；復(fù)習(xí)建議

1 知識內(nèi)容

三角函數(shù)的考查內(nèi)容主要有：三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形．其中，三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用；三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有較強的應(yīng)用，同時有利于發(fā)展學(xué)生的推理和運算能力[1]；解三角形揭示了一般三角形中重要的邊角關(guān)系，并運用正余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值、增強應(yīng)用意識．在高考中，三角函數(shù)的考試內(nèi)容主要包括：角的概念、角度制與弧度制、三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)、兩角和與差的三角函數(shù)公式、簡單的三角恒等變換；正弦定理和余弦定理及應(yīng)用．

2 命題分析

浙江省近5年高考中三角函數(shù)試題分布、分值統(tǒng)計如表1所示．

表1 浙江省近5年三角函數(shù)考題分布情況

年份和文理科題號分值2013年文科卷3，6，18242013年理科卷4，6，16152014年文科卷4，18192014年理科卷4，18192015年文科卷5，11，16252015年理科卷11，16202016年文科卷3，11，16252016年理科卷5，10，16252017年14，1820

在近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考卷中，三角函數(shù)均為簡單題及中等難度試題，總體來說，試題的考查難度不大，容易得滿分，全國各地數(shù)學(xué)高考卷中對三角函數(shù)的考查亦有相同的特點．

根據(jù)統(tǒng)計，三角函數(shù)每年考查的題量和分值較為穩(wěn)定，一般為1個大題加1～2個小題，主要考查三角函數(shù)的定義及幾何意義，利用誘導(dǎo)公式和同角公式的化簡、求值，三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)，角、名、冪的三角恒等變換，利用正余弦定理邊角互化、解三角形等知識點，同時也考查了數(shù)形結(jié)合、整體換元、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法．復(fù)習(xí)時，要關(guān)注學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況，關(guān)注學(xué)生的易錯點、模糊點，使學(xué)生對三角函數(shù)的內(nèi)容在高考中達到快而準(zhǔn)得滿分的目標(biāo)．

3 典例剖析

例1已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2．點D為AB延長線上一點，BD=2，聯(lián)結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=______．

從而

在△BDC中，求得

從而

點評只要學(xué)生熟練掌握正余弦定理解三角形的常見模型，此題便能迎刃而解．

解法2(向量法)以點B為原點、BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，可求得

從而

點評向量是解決幾何問題的重要工具，也是證明正弦定理、余弦定理的有效手段，因此向量方法也是解三角形的常用策略．解題中，若能根據(jù)圖形特點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)來表示向量，則能事半功倍．

( )

xcosy

從而

即

cosx

因此

x>y．

即

點評用有向線段表示三角函數(shù)值，即從圖形角度考查任意角的三角函數(shù)，這是三角函數(shù)與其他基本函數(shù)不同的地方．單位圓中的三角函數(shù)線是數(shù)形結(jié)合的有效工具，借助它不但可以畫出準(zhǔn)確的三角函數(shù)圖像，還可以討論三角函數(shù)的性質(zhì)．本題借助三角函數(shù)線得到的sinx,x,tanx之間的不等關(guān)系進行處理，水到渠成．

例3已知函數(shù)f(x)=sinxcos 2x，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論中，錯誤的是

( )

A．最大值為1

C．既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)

sinx=-1， cos 2x=-1，

從而

f(x)max=1．

-cosx(-sin 2x)=

cosxsin 2x≠-f(x)，

點評三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考的必考知識點，如定義域、值域、周期性、奇偶性、對稱性、單調(diào)性、最值、圖像變換等，學(xué)生在記憶有關(guān)結(jié)論的同時，還需掌握數(shù)形結(jié)合、整體代換等思想方法，靠單純的記憶，無法到達成功的彼岸.同時，學(xué)生通過對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對一般函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)也會有更進一步的理解．

例4在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其中a=m，b=m+1，c=m+2，m∈N，且m≥2．若△ABC中最大角是最小角的兩倍，求m的值．

解法1依題意，A

因為C=2A，所以

cosC=cos 2A=2cos2A-1，

即

化簡得

(m-4)(2m2+7m+3)=0，

解得

m=4．

解法2由題意知A

sinC=sin 2A=2sinAcosA,

即

由正弦定理，得

從而

解得

m=4，

可以驗證此時三角形的最大角是最小角的2倍．

點評本題的主要條件是C=2A，求的是邊長，因此如何將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系實現(xiàn)邊角統(tǒng)一是解決本題的關(guān)鍵．解法1是利用余弦定理將余弦化為邊；解法2是利用正弦定理將正弦的比值化為邊長的比值及用余弦定理將余弦化為邊．值得注意的是，用正弦定理進行邊角互化時，表達式必須是齊次式．

解法1由正弦定理，得

a+c=pb，

由題意知角B為銳角，從而

cosB=2p2-3∈(0,1)，

即

從而

即

于是

根據(jù)同角公式，得

又

4 精題集萃

( )

2．設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c，則f(x)的最小正周期

( )

A．與b有關(guān)，且與c有關(guān)

B．與b有關(guān)，但與c無關(guān)

C．與b無關(guān)，且與c無關(guān)

D．與b無關(guān)，但與c有關(guān)

( )

A．不一定有交點 B．至少有兩個交點

C．只有一個交點 D．至少有一個交點

1)求ω的值；

1)求tanC的值；

2)若△ABC的面積為3，求b的值.

參考答案

即

于是

g(x)∈[-1,2].

于是

-cos 2B=sin2C.

從而

sin2C=2sinCcosC,

于是

tanC=2.

2)由tanC=2， 其中C∈(0,π),得

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

3)利用幾何關(guān)系求解代數(shù)關(guān)系．包括：根據(jù)曲線的幾何特征判斷曲線方程的特征；根據(jù)兩曲線的關(guān)系判斷兩曲線方程的關(guān)系；根據(jù)幾何運動變化推斷曲線方程的變化等．

1.3 常用題型與方法

常用題型有：求幾何特征量、方程、特殊位置或關(guān)系、定點或定值、幾何量的范圍．

求(軌跡)方程的方法有：定義法、直接法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、幾何法、交軌法．

求幾何關(guān)系的方法有：幾何法、判別式法及韋達定理、點差法．

從以上可以看出解決解析幾何問題，最重要的策略是：注重深層次的數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)、幾何相互詮釋，從而揭露其本質(zhì)．

為了快速解決問題或減少運算量，解析幾何應(yīng)從運動變化、邏輯推理等角度理解其特征，從而快速得到解決．減少解析幾何運算的方法有：極限思想、邏輯推理、先猜后證、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等．

2 典題剖析

2.1 綜合運用韋達定理和點差法解決存在性問題

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于點P,Q，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

2)假設(shè)存在直線l交橢圓于點P,Q，且F恰為△PQM的垂心.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),又kMF=-1，則kPQ=1.設(shè)直線l為y=x+m,代入橢圓方程得

3x2+4mx+2m2-2=0,

x1(x2-1)+y2(y1-1)=0，

即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,

亦即 2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,

評注滿足特殊要求和位置的存在性問題，是解析幾何基本題型之一，是?？汲Ｐ碌念愋?求解的一般思路是：先假設(shè)存在，綜合運用韋達定理、點差法及幾何推理論證，求出目標(biāo)，或推出矛盾說明不存在．

2.2 注重數(shù)形結(jié)合，從運動、函數(shù)等角度提升本質(zhì)的理解

解析幾何的核心思想是運用坐標(biāo)、方程等思想解決幾何問題;反過來，考慮幾何體運動變化時的特征有助于問題的解決，可避免大量的代數(shù)運算．

1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；

2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

1)分析本題為典型的求弦長的題目，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理求出弦長即可： 設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP，與橢圓方程聯(lián)立得

(1+a2k2)x2+2a2kx=0，

2)分析1假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|=|AQ|．記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1>0,k2>0，k1≠k2．由第1)小題知

由k1>0,k2>0，k1≠k2,知

(1)

因為式(1)關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是

1+a2(a2-2)>1,

分析2上述方法嚴(yán)謹(jǐn)而全面，學(xué)生有此意識并能完成的很少．從圖的運動變化看，任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為：當(dāng)k∈[0,+∞)時，函數(shù)

為單調(diào)遞增函數(shù),從而

對任意的k>0都成立．因此a2≤2，下面與分析1相同．

分析3從圖的運動變化看，任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為：當(dāng)點P在右半橢圓從上往下移時，|AP|越來越大．記P(x1,y1)，則

于是a2≤2，下面與分析1相同．

評注例2是綜合弦長、距離的典型高考原題，從中告訴我們應(yīng)提高運動變化的觀點、函數(shù)方程思想，進一步掌握解析幾何的本質(zhì)．

2.3 綜合運用參數(shù)、幾何關(guān)系、邏輯推理求解定點和定值問題

定點和定值問題是解析幾何中熱門、有趣的問題之一，在各類各級考試中常有此身影．其一般思路是運用參數(shù)，求出該定點(或定值)與參數(shù)無關(guān)即可．它是集運算求解、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理于一身的綜合問題，因此少不了邏輯推理，如：可以運用先猜后證、特殊到一般、極限等邏輯推理減少運算量和思維量．

圖1

分析1首先當(dāng)r→1時，B→A，D→橢圓下頂點A1(0,-1)，即直線BD→y軸.因此，猜想直線BD與y軸交于定點，具體解法如下：

設(shè)切線方程為y=kx+1，則

即

(1-r2)k2-2k+1-r2=0.

(1+4k2)x2+8kx=0,

因此直線BD的方程為

令x=0，得

分析2從運算角度看，上述方法較繁，注意到點B，D地位對等，利用點B(或點D)既是兩條直線AB，BD的交點，又在橢圓上，通過構(gòu)造方程進行求解，有如下方法：

設(shè)直線AB，AD，BD的方程分別為y=k1x+1，y=k2x+1，y=k3x+m(其中m≠1)，則

(m-1)2=4(m2-1)，

分析3可反向思考，先設(shè)直線BD的方程，由韋達定理知點B，D的坐標(biāo)關(guān)系，再由兩條直線AB，AD同時與⊙M相切即可得.

設(shè)直線BD的方程為y=kx+m，代入橢圓方程得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

由分析1知

評注解析幾何的運算量大，很多學(xué)生“望題生畏”“中途而廢”.因此，除了加強運算技能外，還要加強解題策略和邏輯推理能力，如先猜后證、特殊到一般、方程思想、反向思考等．

2.4 綜合運用函數(shù)、方程、不等式、幾何關(guān)系等求解幾何特征量的取值范圍

幾何特征量的取值范圍問題是解析幾何中常見的題型之一，常用方法有：1)函數(shù)法，增設(shè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題或進行不等式放縮；2)方程法，轉(zhuǎn)化為方程有解問題；3)幾何法，如利用圓錐曲線定義、幾何元素之間的關(guān)系(點在橢圓內(nèi)外、直線與圓錐曲線關(guān)系等)求解．

圖2

1)證明：k1k2為定值；

2)過點M且與BN垂直的直線交橢圓C于點P,Q，求△BPQ面積的最大值．

分析1)除了直接法外，注意到kBNkDN=-2為定值，因此只要證明kDN與kOM是倍數(shù)關(guān)系即可.顯然

從而

k1k2=2kDMk2=-4.

2)常規(guī)方法：設(shè)M(1,t)，則△BPQ的面積可以直接用t表達，然后利用不等式求出其最大值，此法運算量大而繁．若先利用幾何關(guān)系，則可大大降低運算量．

因為kBNkDN=-2，kBNkPQ=-1，所以

S△BPQ=|S△EBQ-S△EBP|=2|y1-y2|,

即轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題.設(shè)直線PQ的方程為x=my-3，代入橢圓方程得

(2m2+1)y2-12my+16=0,

記m2-4=t，得

評注取值范圍問題雖然思路簡單，但要快速準(zhǔn)確地求解，同樣需要找到代數(shù)與幾何的相互關(guān)系，從研究其本質(zhì)作為出發(fā)點．

3 精題集萃

1．已知p：“0≤a≤2”，q：“直線x+y-1=0與圓(x-1)2+(y+a)2=2有公共點”，則p是q的

( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既非充分也非必要條件

( )

( )

4．過拋物線y2=4x的焦點作直線與其交于點M，N，作MONP，則點P的軌跡方程為______.

6.設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F，過點F的直線交該拋物線于點A，B，則|AF|+4|BF|的最小值為______．

8．已知拋物線C：x2=2py(其中p>0)上橫坐標(biāo)為4的點Q到焦點F的距離為5．

1)求拋物線C的方程；

2)若p≤2，過焦點F的直線交拋物線C于點A,B，設(shè)直線AO與BO(其中點O為坐標(biāo)原點)分別交直線l：y=x-2于點M,N，求|MN|的最小值．

參考答案

1．A 2．C 3．C

8．解1)拋物線C的方程為x2=4y或x2=16y.

收文日期：2017-12-28；

2018-01-29

胡建烽(1982-)，男，浙江余姚人，中學(xué)高級教師．研究方向：數(shù)學(xué)教育．

O124.1

A

1003-6407(2018)03-0042-05