在說(shuō)題中感悟 在說(shuō)題中提升
——參加教師基本功大賽有感

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(石門(mén)中學(xué),廣東 佛山 528248)

在說(shuō)題中感悟在說(shuō)題中提升
——參加教師基本功大賽有感

●徐守軍

(石門(mén)中學(xué),廣東 佛山 528248)

文章通過(guò)自身參加教師說(shuō)題比賽的經(jīng)歷，探討當(dāng)下流行的教研方式，具體展現(xiàn)了“什么是說(shuō)題，為什么說(shuō)題，說(shuō)題說(shuō)什么”，以達(dá)到在說(shuō)題中感悟和提升的目的.

說(shuō)題;感悟;提升

教師說(shuō)題是類(lèi)似于說(shuō)課的一種新的教研活動(dòng)，是說(shuō)課的延續(xù)和創(chuàng)新，是一種教育教研展示和討論活動(dòng).表面來(lái)看，說(shuō)題是教師在“說(shuō)”數(shù)學(xué)知識(shí)的前后聯(lián)系、求解題目的方法和策略，其實(shí)質(zhì)展現(xiàn)的是教師自身數(shù)學(xué)教育的理論功底、數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度、數(shù)學(xué)方法的理解能力及數(shù)學(xué)教學(xué)的理念[1].

1 說(shuō)題是什么

解數(shù)學(xué)題的本質(zhì)是要找到并且規(guī)范而簡(jiǎn)明地表述出從題目的已知條件到要求目標(biāo)的一系列命題轉(zhuǎn)化的一條通路.簡(jiǎn)而言之，說(shuō)題就是利用教學(xué)語(yǔ)言口述探尋解題通路的思維過(guò)程以及所采納的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略[2].說(shuō)題作為一種新的教研方式，正在被越來(lái)越多的教師接受.

2 為什么說(shuō)題

說(shuō)題可以將教研內(nèi)容的范圍逐漸縮小，是一種深層次備課后的展示，提高了課堂教學(xué)的有效性，體現(xiàn)了以小見(jiàn)大、去虛務(wù)實(shí)的教研理念．說(shuō)題，能促進(jìn)教師對(duì)教材例習(xí)題和高考試題的研究，從而更好地把握教材和高考命題的方向，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的針對(duì)性和有效性，能更好地反映教師的基本功，啟發(fā)和引導(dǎo)教師深層次的備考，促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng).

3 說(shuō)題說(shuō)什么

通常，說(shuō)題包含以下6個(gè)方面：題目的考查目標(biāo)、難度分析、題意理解和解題策略、教法和學(xué)法、題目的價(jià)值及推廣、教學(xué)反思.下面筆者結(jié)合自己參加廣東省佛山市首屆教師說(shuō)題大賽的情況，談?wù)勅绾握f(shuō)題.

3.1 說(shuō)題目及考查目標(biāo)

例1正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足:

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

該題目源自2013年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題，考查數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系、含有字母的一元二次方程解法以及特殊數(shù)列求和、證明不等式等知識(shí).本題對(duì)學(xué)生的觀(guān)察能力、運(yùn)算能力、理解能力、轉(zhuǎn)化能力和表達(dá)能力等有較高的要求，體現(xiàn)了猜想與論證的思想、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.

3.2 說(shuō)重難點(diǎn)

本題以知識(shí)和方法立意，兼顧能力的考查，重點(diǎn)考查數(shù)列基礎(chǔ)和主干知識(shí)，屬于高考中的中高檔題.第1)小題考查了已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)，難點(diǎn)在于方程的處理；第2)小題考查特殊數(shù)列求和及不等式的證明，難點(diǎn)在于裂項(xiàng)求和的運(yùn)用——如何構(gòu)造裂項(xiàng)，如何處理復(fù)雜多項(xiàng)式及分式運(yùn)算.

3.3 說(shuō)題意理解和解題策略

第1)小題的切入點(diǎn)是抓住已知式本質(zhì)：關(guān)于Sn的一元二次方程，利用解方程的方法求出Sn，重點(diǎn)考查含字母的一元二次方程解法，考查由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的基本知識(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)在于如何想到解方程的途徑.具體解答如下：

1)解法1(十字相乘法)已知式可化為

(Sn+1)[Sn-(n2+n)]=0.

因?yàn)镾n+1>0，所以

Sn=n2+n.

當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=2n，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2滿(mǎn)足an=2n，因此

an=2n(其中n∈N*).

說(shuō)明1)能否觀(guān)察到方程的特點(diǎn)，并用十字相乘法求解是關(guān)鍵；2)由Sn求an是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，可能會(huì)忽視當(dāng)n=1時(shí)的情況.

解法2(求根公式法)由已知可得

化簡(jiǎn)可得(略).

解法3(歸納猜想法)將n=1代入已知式,得

解得

S1=2，

從而

S2=6，S3=12,

于是

a1=2,a2=4,a3=6，…

猜想：an=2n(其中n∈N*)，并證明(略).

第2)小題的切入點(diǎn)是對(duì)bn進(jìn)行變形，利用bn求出Tn，重點(diǎn)考查特殊數(shù)列求和方法——裂項(xiàng)相消法，關(guān)鍵點(diǎn)在于如何想到裂項(xiàng)、怎樣裂項(xiàng)，這也是大多數(shù)學(xué)生無(wú)法完成此題的最主要原因.

2)證明(裂項(xiàng)求和)因?yàn)閍n=2n,所以

說(shuō)明1)想到裂項(xiàng)的方法是關(guān)鍵，如何裂項(xiàng)是難點(diǎn)；2)在消去相同的部分運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)多項(xiàng)或少項(xiàng)的情況，建議采取分組的方法，如

4 說(shuō)教法與學(xué)法分析

美國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)家哈爾斯說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”沒(méi)有好的問(wèn)題就沒(méi)有異彩紛呈的數(shù)學(xué)，沒(méi)有好老師用好的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生去學(xué)，就沒(méi)有精彩的數(shù)學(xué)課堂.

4.1 立足于學(xué)生答題的情況，分析學(xué)生存在的問(wèn)題

從學(xué)生作答的情況來(lái)看，本題的得分并不高，值得注意的有以下問(wèn)題：1)第1)小題中不懂巧妙利用十字相乘法求解；2)第2)小題中求和時(shí)不知采用哪種方法；3)運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度普遍有待提高；4)注意解答規(guī)范和細(xì)節(jié)，如當(dāng)n=1時(shí)的情況不要忘記.

4.2 教會(huì)學(xué)生如何分析題目的定位和目標(biāo)

從題目的位置來(lái)看，本題處于第17題的位置，應(yīng)屬于中等難度的考題；從題目的已知條件和結(jié)論來(lái)看，本題的本質(zhì)是回歸課本所學(xué)核心和主干知識(shí).因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本關(guān)聯(lián)，搞清概念本質(zhì)和必然聯(lián)系.如

的裂項(xiàng)看似巧合，實(shí)則必然.

4.3 搞清楚問(wèn)題的本質(zhì)和所學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)

對(duì)于數(shù)列不等式的證明問(wèn)題通常分為可求和與不可求和兩大類(lèi)，可求和的直接求和再比較大小，不可求和的常用放縮法(也有其他比如數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造控制數(shù)列法、利用加強(qiáng)不等式、積分法等).求和常見(jiàn)的方法有公式法、拆項(xiàng)分組法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法和倒序相加法，本題只有裂項(xiàng)相消法適用.

4.4 解法溯源，分析思路

這么復(fù)雜的式子如何裂項(xiàng)呢？1)由于分母已因式分解，實(shí)際作通分的逆運(yùn)算即可，不用去擔(dān)心分子n+1如何處理，它一定有它存在的理由.如果掌握好這些知識(shí)和聯(lián)系，解好這道題就是水到渠成的事情了.2)對(duì)于分母已分解因式，除了可用通分逆運(yùn)算，還可采用待定系數(shù)(配湊)，即將分子n+1，配成分母n2，(n+2)2的關(guān)系，若無(wú)法配湊，則要放縮，如

3)若分母無(wú)法分解因式，則可采用添補(bǔ)技巧或放縮,從而達(dá)到裂項(xiàng)的目的.4)根據(jù)微分中值定理實(shí)現(xiàn)裂項(xiàng)過(guò)程，如

雖然本題無(wú)需放縮，可直接裂項(xiàng)，但有一點(diǎn)我們可以確定的是裂項(xiàng)后是-2次式，原式是-3次的，且裂項(xiàng)后的式子是原式的原函數(shù)，這點(diǎn)也為我們以后解決裂項(xiàng)問(wèn)題明確了方向.

4.5 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，詳細(xì)剖析解題策略

對(duì)第1)小題可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考：①已知Sn求an，通常如何求解？②已知的是Sn的關(guān)系式，即Sn不直接已知，如何求解？

在解題的過(guò)程中要避免“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的情況.因此，平時(shí)教學(xué)中要重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面：1)注意書(shū)寫(xiě)表達(dá)規(guī)范；2)注意運(yùn)算結(jié)果準(zhǔn)確；3)注意條件與結(jié)論的等價(jià)轉(zhuǎn)換；4)注意分類(lèi)討論要全面，不能想當(dāng)然.

4.6 及時(shí)捕捉學(xué)生的閃光點(diǎn)

教學(xué)中需及時(shí)關(guān)注學(xué)生的反應(yīng)，以及學(xué)生對(duì)題目的理解、解法等.比如：學(xué)生的巧妙解法，或者出發(fā)點(diǎn)是好的，即使沒(méi)做出來(lái)，也要借機(jī)肯定學(xué)生的想法，這對(duì)學(xué)生無(wú)疑是莫大的鼓勵(lì)，再解到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)便能有信心、有毅力求出答案.

5 說(shuō)題目的價(jià)值與推廣

從題目考查的深度與思維量來(lái)看，該題作為高考的中高檔題，注重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并在此基礎(chǔ)上有所提高，是一道好題.而作為平時(shí)教學(xué)，該題更是對(duì)教學(xué)有很好的導(dǎo)向作用，因此課堂教學(xué)要立足基礎(chǔ)，高于基礎(chǔ)，挖掘本質(zhì)，探尋聯(lián)系，這也是素質(zhì)教育的一種體現(xiàn).在該題的教學(xué)中，教師可做以下幾個(gè)方面的推廣：

第1)小題中，求an的表達(dá)式，實(shí)質(zhì)是考查對(duì)Sn的關(guān)系式的處理，需弄清問(wèn)題的本質(zhì)，關(guān)系式是方程還是遞推關(guān)系.此類(lèi)題還有以下情形：

情形3已知Sn的遞推關(guān)系，如Sn+1=a2Sn+a1,其中n∈N*.

情形4已知an的遞推關(guān)系，如an+1=pan+q,其中n∈N*(這里q可改成關(guān)于n的式子).

第2)小題是裂項(xiàng)求和的問(wèn)題，以原題為基礎(chǔ)可設(shè)計(jì)以下變式：

變式1(橫向變式)指數(shù)型

對(duì)數(shù)型

變式2(縱向變式)放縮型

變式3(能力提升)

充分發(fā)揮說(shuō)題的功能，深入地挖掘題目、發(fā)展題目，就能更好地備考.

源于原題、高于原題，這是變式教學(xué)的重要指導(dǎo)思想.問(wèn)題須在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)進(jìn)行拓展，以原題為源，緊扣教材，突出定義、定理、公式的重要價(jià)值，突出數(shù)學(xué)思想在分析解決問(wèn)題中的重要作用，體現(xiàn)教材在高考中的導(dǎo)向性，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的重要作用.

6 說(shuō)教學(xué)反思

在平時(shí)的教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行拆解，對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形，從而化繁為簡(jiǎn).要學(xué)會(huì)抓概念、抓本質(zhì)、抓基本方法，以不變應(yīng)萬(wàn)變.更重要的是，應(yīng)意識(shí)到教學(xué)生解題是毅力的培養(yǎng)，當(dāng)學(xué)生求解難題時(shí)，應(yīng)讓他學(xué)會(huì)敗而不餒，學(xué)會(huì)欣賞微小的進(jìn)展，學(xué)會(huì)期待靈感的迸發(fā)，學(xué)會(huì)當(dāng)靈感來(lái)臨后全力以赴.讓學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，樹(shù)立良好的思維品質(zhì)，這才是真正的授人以漁.

[1] 傅瑞琦.說(shuō)題，讓主題教研更精彩[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012(3)：45-48.

[2] 成克利.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展說(shuō)題活動(dòng)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，10(5)：32-34.

收文日期：2017-10-19；

2017-11-21

徐守軍(1982-)，男，江蘇南通人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2018)03-0027-03