積累基本活動經驗 提升數學核心素養(yǎng)
——由“三角函數與平面向量”測試結果引發(fā)的思考

●

(靈璧第一中學,安徽 靈璧 234200)

●張 敏

(太倉高級中學,江蘇 太倉 215400)

積累基本活動經驗提升數學核心素養(yǎng)
——由“三角函數與平面向量”測試結果引發(fā)的思考

●鄭良

(靈璧第一中學,安徽 靈璧 234200)

●張敏

(太倉高級中學,江蘇 太倉 215400)

積累數學基本活動經驗是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的必由之路.文章以“三角函數與平面向量”周測題為載體，揭示學生共性現象的成因，同時針對教與學的現狀，結合教學實踐給出教學思考.

數學基本活動經驗；數學核心素養(yǎng)；比較；探究；整體

1 問題提出

近日，筆者所在學校年級組組織了“三角函數與平面向量”的周測.在隨后的學科組教研活動中，幾位年輕教師反映很多測試題(原題或變式)都在課堂上講過，但學生在測試中卻“答非所問”，并對后續(xù)的教學充滿困惑與迷茫.數學是常識的精微化，學生的共性學習行為往往是教師教學效果的外在表現.如何讓學生理解并能靈活地運用這些常識(數學知識、思想方法等)是數學教師面臨的難題：課堂上學生參與了什么樣的活動，在活動中做了哪些觀察、操作、思考、認識與理解；學生在體驗數學活動中產生的知識、技能和思想方法等是否升華為今后數學學習與問題解決的經驗.下面僅以這次周測中部分試題為例，談談筆者對相關問題的理解，不足之處，敬請批評指正.

2 案例剖析

例11)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若B=60°，a=1，b=2，則sinA=

( )

( )

分析(均為學生的想法，下同)兩個小題均為“已知三角形的兩邊和其中一邊的對角”解三角形，故可用正弦定理或余弦定理解答.

解法2由余弦定理得

c2-c-3=0，

從而

于是

得

又c

A=C=30°，

解法2由余弦定理得

評注雖然例1的兩個小題條件相同，但所求結論不同(分別為“另一邊的對角的正弦值”與“第三邊”).眾所周知，解決“已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求三角形的其他邊與角”常有兩種途徑：1)先由正弦定理求出另一邊對角的正弦，其次結合三角形中“大邊對大角”(或內角和定理)確定該角，再確定第三個角，最后用正弦定理求出第三邊；2)根據方程思想用余弦定理求出第三邊，然后分別用余弦(或正弦)定理確定另外兩個角.教師在教授“解三角形”時常告訴學生：解三角形時，正弦定理適用于“已知兩角與任意一邊”和“已知兩邊和其中一邊的對角”，余弦定理適用于“已知三邊”“已知3個角”和“已知兩邊和其中一邊的對角”，很少引導學生去思考三角形的確定條件(至少3個獨立的要素)、解三角形為什么只學習正弦定理和余弦定理(兩個定理適用范圍囊括了確定三角形的各種情形)、“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形由哪個定理切入等問題，更沒有組織學生在數學活動中操作、體驗、思辨與提升，取而代之的是讓學生記住題型與解法，通過大量習題進行“刺激反應”(而非理性的模式識別)，試圖在機械操練中提高運算速度.

與學生交流發(fā)現，不少學生能夠辨識“題型”，在兩個小題中使用同樣的解題程序.對于第1)小題，運用正弦定理直達目標；對于第2)小題，運用余弦定理簡單快捷.教師要引導學生思考:為什么會出現負值;其意義是什么;還要讓學生認識到本題的特性“A=C”，否則運用正弦定理事倍功半.學生對同一張試卷中重復(相鄰)出現相同問題置若罔聞，反映了學生的觀察能力、抽象概括能力、探究意識不強，表明了學生的思維感性有余、理性不足.學生解題盲目性的根源就在于教師教學的淺表化、碎片化.

例2在△ABC中，AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是______.

分析已知三角形的兩邊長，要構成三角形，則第三邊必在某一范圍內，通過三邊又可表示三角形的任意一個內角，由第三邊的取值范圍可以求出角的取值范圍.

解法1設AC=x，由構成三角形的條件得1

x2-4xcosC+3=0.

令f(x)=x2-4xcosC+3，則f(x)=0在(1,3)之間有解，從而

f(1)·f(3)<0,(1)

由式(1)，得

48(1-cosC)2<0，

無解；由式(2)得

又0

解法2設AC=x，由構成三角形的條件得1

又0

評注“皮之不存，毛將焉附”，研究函數的性質必先確定其定義域，解法1與解法2如是操作.解法1以x為主元研究函數f(x)的零點分布，求解過程中不少學生遺漏了f(x)的一個零點x1=1(或x1=3)，另一個零點x2在(1,3)內的情況，也有少數學生注意到x1x2=3這個特性.對于含參數的方程在某區(qū)間有解問題往往可以分離參數轉化為新函數的值域問題，解法2如是操作.由于y=cosx在(0,π)上單調遞減，從而可建立函數值與自變量之間的一一對應關系，這也是解法1與解法2備受學生青睞的原因，正弦定理因為要驗證解的個數而無人問津，果真如此嗎？形式促使本質外顯，本質推動形式內蘊；直覺誘發(fā)邏輯，邏輯反哺直覺.兩者結合，相得益彰.教學時，不應當犧牲一個而把另一個捧到天上去，應當把每一個都用到該用的地方.而要做到這一點，就只有注意它們的相互關系、它們的相互補充[1].

事實上，正弦定理、余弦定理、射影定理是等價的，我們解題時只需“就近上車”.如在△ABC中，A>B，從正弦定理角度有

A>B?sinA>sinB?a>b；

從余弦定理角度有

A>B?cosB>cosA

?(a-b)(a+b+c)(a+b-c)>0

?a>b.

本題中，若將A(其中A>C)視為已知，則問題可轉化為“已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”，由例1的分析可知用正弦定理簡單快捷.相比例2，例1的第1)小題只是三角形其中一邊對角的一種特殊情況(固定狀態(tài))，形式不同，本質相同，相互聯系便可構建整體，深化認知.

解法1由正弦定理得

(3)

(4)

式(3)×sinC-式(4)×cosC，得

即

于是

圖1

解法2如圖1，在邊AB上取一點D，使AD=CD=x，則

∠DCB=∠BCA-∠A.

在△BCD中，由余弦定理得

解得x=5，從而

例4如圖2，某海島上一觀察哨A上午11時測得一輪船在海島北偏東60°的C處，12時20分時測得該輪船在海島北偏西60°的B處，12時40分該輪船到達位于海島正西方且距海島5千米的E港口，如果輪船始終勻速直線航行，則船速是多少(結果保留根號)？

圖2 圖3

分析由勻速直線運動的時間比可得其路程之比.利用解析法鎖定點B,C的位置.

則

解法2由題意得BC=4BE.設BE=x，則BC=4x，由已知得∠BAE=30°.在△AEC中，由正弦定理得

即

在△ABC中，由正弦定理得

即

在△ABE中，由余弦定理得

評注多數學生無法通過審題建立條件與結論的(三角)聯系導致無的放矢，只能借助解析法，將數學推理演變?yōu)閿祵W運算.在解法1中，不少學生沒有直接運用點B,C各自橫坐標與縱坐標的關聯，而是先設元后再消元，使得過程冗余.少數學生結合平面幾何知識直接運用點B,C的縱坐標之間的關系，優(yōu)化了解題過程.解法2以∠C為△AEC與△ABC的公共角建構相互關聯的方程.

3 教學思考

數學教學不只是教給學生數學知識、思想方法，還要教會學生如何思考，即探尋從無到有或從有到優(yōu)的思路，并能幫助學生理解數學本質.史寧中教授認為：“通過基礎教育階段的數學教育，不管接受教育的人將來從事的工作是否與數學有關，終極培養(yǎng)目標都可以描述為：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界.這‘三會’就是數學核心素養(yǎng).”[2]他還將“三會”具體化：數學的眼光就是數學抽象；數學的思維就是邏輯推理；數學的語言就是數學模型[2].“三會”是(信息攝入、信息加工、信息輸出)數學學習過程凝練的總結.因此，積累數學基本活動經驗是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的必由之路.

數學活動經驗是什么？數學教育專家及一線數學教師均提出不同的看法.如仲秀英老師認為：學生數學活動經驗可以理解為學生從經歷的數學活動中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗[3].而張奠宙先生等認為：數學活動經驗是在數學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識[4].

數學基本活動經驗有助于學生數學活動的探究、數學思想方法的領悟、數學素養(yǎng)的提升.積累充足的數學活動經驗是學好數學的重要基礎.課堂是教學的主陣地，教師是學生的引領人.在數學教學中促進并落實學生基本活動經驗的積累，教師應著眼以下方面.

3.1 深化“三個理解”,奠定教學基礎

教書育人，其核心是育人.體現在數學教學中，就是教師將數學的精髓(數學本質、數學精神等)以易于學生理解與接受的方式傳遞給學生.章建躍博士提出“三個理解”，即理解數學、理解學生和理解教學，它是數學教師專業(yè)發(fā)展的三大基石，也是教師進行教學設計的基礎.

如例1與例2中涉及正弦定理與余弦定理(及射影定理)的等價性，若教師沒有理解、掌握豐富的數學學科知識，則教學時只能照本宣科、淺嘗輒止；高中學生相對于教師來說，其知識匱乏、經驗不足、精力分散(還要學其他科目)、認知不完善，教師要在學生的最近發(fā)展區(qū)設置問題，促進學生的理解.不少學生沒有認識到例1與例2為同類問題，主要是因為其不能從運動變化的角度看問題，抽象思維能力有待提升；為了讓學生充分認識到用正弦定理與余弦定理解決例1與例2的過程繁簡，教師可用思維導圖讓學生進行感受、感知、感悟.

3.2 強化數學探究,體驗數學發(fā)現

蒙臺梭利說過：“我聽過了，我就忘了；我看見了，我就記得了；我做過了，我就理解了.”著名教育家布魯納指出探究是教學的生命線.平鋪直敘的填鴨式教學只會使課堂成為一潭死水，教學效果可想而知，反之，教師設計合理的活動，讓學生在操作中思考、在合作中交流、在探究中思辨，學生的思維與認知力必定在火熱的思考中得到完善與提升.教師可根據需要組織活動讓學生探究問題的一題多解、一題多變、多題一解，探究數學知識之間的內在聯系，促進構建系統(tǒng)化的知識體系等.

探究過程需要良好的環(huán)境，“紀律和自由是一件事物不可分的兩部分——猶如一枚銅幣的兩面”[5].教師要控制良好的自由；探究目標要適切，要根據具體情況及時把控探究的廣度、深度與高度，以免把探究變成了低效(甚至無效)活動或極個別人的表演.

3.3 回歸數學理性,追求優(yōu)化創(chuàng)新

《普通高中課程標準(實驗)》指出：“形式化是數學的本質特征之一，在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但不能只限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學本質淹沒在形式化的海洋里.”因此，數學教學要整合內容，凸顯數學本質，滲透數學文化，弘揚理性精神，讓學生有充足的時間去思考、探究、感悟、評價、創(chuàng)造；數學教學要切實做到數學的形式化和數學本質并重，形式化的表達要為揭示數學的本質服務；數學教育要充滿數學的“味道”.

例3以向量為表象，解三角形為本真，少數學生感性有余，理性不足，無法從表象中揭示本真，多數學生很難通過消元化歸得到解法1，更沒有想到構造性解法2；例4涉及3個三角形，元素眾多，雜而不亂，更需要我們冷靜地思考、理性地謀劃；又如等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d揭示了an的生成過程，凸顯了問題本質，而an=pn+q(其中p,q為常數)是問題的形式化、一般化、抽象化.北京師范大學劉紹學教授反復強調：“數學是自然的、數學是清楚的.數學教與學要通過追問促使理解自然、清楚、優(yōu)美.”

[1] 鄭良.直覺和邏輯同行 形式和本質并重——由一節(jié)公開課引發(fā)的思考[J].中國數學教育：高中版，2015(1/2)：26-30.

[2] 史寧中.高中數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評價與教學實施[J].中小學教材教學，2017(5)：4-9.

[3] 仲秀英.促進學生積累數學活動經驗的教學策略[J].數學教育學報，2010(5)：36-39.

[4] 張奠宙，竺仕芬，林永偉.“數學基本活動經驗”的界定與分類[J].數學通報，2008(5)：4-7.

[5] 蒙臺梭利.蒙臺梭利幼兒教育科學方法[M].任代文,譯.北京：人民教育出版社,2001.

收文日期：2017-09-27；

2017-10-28

鄭 良(1980-)，男，安徽靈璧人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O122

A

1003-6407(2018)03-0009-05