欲借圍棋之境 更現“指對”運算力量
——從2017年北京市數學高考文理科第8題的答案之爭談起

●

(浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004)

●侯 偉

(河南師范大學附屬中學，河南 新鄉(xiāng) 453002)

欲借圍棋之境更現“指對”運算力量
——從2017年北京市數學高考文理科第8題的答案之爭談起

●李懷軍

(浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004)

●侯偉

(河南師范大學附屬中學，河南 新鄉(xiāng) 453002)

試題研究有利于教師探明試題本質、優(yōu)化試題與促進教學.文章對2017年一道有爭議的高考試題，從數學概念入手，通過解法、命題背景與意圖分析，提出優(yōu)化試題的方法，也從這道試題的爭鳴中提出此類試題命制需要關注的角度.

試題研究；指數函數；估算；命題意圖

教育部考試中心于2016年10月公布的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》要求：“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用.”2017年北京市數學高考文理科試題第8題就體現了這一命題思想，以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中極具代表性的圍棋為背景.不過，該試題因其表述與參考答案引發(fā)了一些疑問和爭議：有人認為“正確答案”應該是C；也有人認為題中“接近”一詞需要嚴格界定；還有人提出比較尖銳的批評：要解決“最接近”的問題，所給“參考數據：lg 3≈0.48”用不上且有誤導作用.這道高考試題為什么會引起諸多爭議？命題者的意圖是什么，以及在多大程度上能夠達到？這些爭議又會對以后的命題和教學有什么啟示？本文嘗試對這些問題進行初步探討.

1 原題再現

( )

A.1038B.1053C.1073D.1093

(2017年北京市數學高考文理科試題第8題)

2 試題研究

2.1 概念界定

數學教育家波利亞曾說過：“對你所不理解的題目做出答復是愚蠢的.”這說明注意題目中的語言表述、理解題意是求解的其中一步，因此對本題中“接近”這一術語的正確理解顯得尤為重要.“接近”為動詞，有“靠近”與“相距不遠”之意，也即是兩個事物或對象之間的距離比較近[1].具體到兩個實數，其“接近”程度即指二者之間的距離小或近似程度高，因此對于兩個(或兩個以上)正實數的“接近”程度，可以用作差或作商的方式進行表征和判斷.

2.2 解法之辯

“圍棋狀態(tài)空間復雜度”與“宇宙中的普通物質”這兩個背景元素，在表述上看似與學生的知識背景存在一定距離，但并不影響學生的理解和求解.而且，該題信息量不大，主要有“接近”和“參考數據lg 3≈0.48”兩個關鍵信息，解題方向也比較明確.筆者對其所在學校的高中教師和部分高三學生進行訪談獲知，被訪談者最常用的是解法1.

故選D.

分析2解法2對“接近”這一術語的理解和表征是正確的，而且推理形式正確，但仍然得出存在爭議的答案D.分析上述的求解過程，發(fā)現解法2直接運用參考數據“l(fā)g 3≈0.48”，而沒有推敲其嚴格性.

其實，lg 3更為精確的估計是0.477 121 25,按照這一估計，計算發(fā)現

|1092.240 771 2-1093|<|1092.240 771 2-1073|.

比如1<3<4，|3-4|<|3-1|，但是103更接近101而不是104，因為

|103-101|=990<9 000=|103-104|.

首先證明不等式

3361<5·10172.

(1)

由39=19 683,得

104<39<2·104,

(2)

從而 3360=(39)40<(2·104)40=240·10160,

所以不等式(1)可證.

3361>(39)40>(104)40>10153,

從而

由不等式(1)可知

3361<5·10172<10173，

從而

下面作差比較：由不等式(1)可知

2·3361<10173，

即

亦即

故選C.

分析3解法3沿用了解法2對“接近”術語的正確理解，推理過程嚴密，邏輯嚴謹，也沒有使用參考數據“l(fā)g 3≈0.48”，所推導出的選項C應是正確答案.對比解法1和解法2推導出的選項D，究其原因是限制條件lg 3≈0.48的設置是否足夠精確.

2.3 命題分析

因為本題是選擇題，并沒有呈現解答過程，所以只能根據參考答案以及上述主要的3種解法來揣測命題者的意圖及其達成程度，并簡要分析試題存在爭議的原因.

本題命題意圖主要有兩個：1)以中華傳統(tǒng)文化中極具代表性的符號為背景，從數學的視角欣賞和理解優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，強化愛國主義精神和民族自豪感.深入發(fā)掘中國文化內涵，講好中國故事.2)考查學生數學閱讀能力、關于對數與大數的運算能力以及估算能力.

不過，本道題中的“圍棋”和“宇宙中普通物質”這兩個背景元素與已知數據及求解過程沒有必然聯(lián)系，因此很難說第一個命題意圖達成.另外，由于高考為限時考試，時間比較緊張，對于這道選擇題，絕大多數考生會循著試題導向，直接使用條件lg 3≈0.48(或93.28≈93)，運用解法1(或解法2)來完成.因此，從廣大考生所處的高考真實場景這一角度看，第二個命題意圖在一定程度上達成.

另外，針對本題的上述爭議，筆者認為：由于該題給出了確定的參考數據，因而其答案是無須爭議的.但對比3種解法的求解過程可知：試題的表述與限制條件的精確性是有爭議的.首先，“接近”一詞是關鍵信息，但本題題目并沒有對此作出清晰和明確的界定；其次，無論是以0.48,0.477 121 25，或其他數作為lg 3的近似值，都不應該影響試題的答案.再次，解法1先后進行了兩次估算lg 3≈0.48，93.28≈93，估算前后的數值雖然相差都不大，但還原成指數冪之后，卻發(fā)生了驚人的質的變化.正如解法2所呈現的：92.240 771 2僅比93小0.759 228 8，但比73大19.240 771 2，而1092.240 771 2卻更接近1073.引發(fā)以上質變的根本原因是“指數”運算具有爆炸性的“放大”作用，能將細微的差別放大成顯著的差異；而與此相對應的“對數”運算，卻具有截然相反的緩慢性的“縮小”作用，可將上述顯著的差異縮小到細微的、甚至是難以察覺的程度.

2.4 試題優(yōu)化

由以上分析可知，完善本道試題可以從以下兩個方面著手：1)概念的明確化與清晰化,比如借鑒2010年上海市數學高考理科試題第22題關于“遠離”一詞的定義，來界定本題中“接近”一詞的內涵；2)進一步精確限制條件，比如給出lg 3≈0.477，或者將4個選項設置成區(qū)間的形式.

3 總結與啟示

2017年北京市數學高考文理科試題第8題欲借“圍棋”之境，傳揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.不過，深入探究此題，感受更多的是“指對”運算的力量.因此，對此題的相關概念進行澄清與界定，對試題進行分析和優(yōu)化，有助于爭論者在一定程度上消解對本道試題的疑惑與爭議，也希望對數學試題命制、數學教學有一定的啟發(fā)作用.

3.1 從命題者的角度看

試題表述和概念界定明確、準確、嚴密、不存在爭議是命題之重.要想做到這一點，既要考慮日常用語通俗易懂的優(yōu)點，又要發(fā)揮數學語言簡潔抽象的長處，更需要注重語言表述的內在邏輯.為了簡便運算，常有規(guī)定性或限制性條件的設置，但要合情合理，不能出現前后表述、題目的表層與內含信息互相“打架”的現象.另外，對“估算”的考查，最好出現在解題的最后一步或幾步，即使是出現在解題過程中，也要謹慎考慮各種近似對后續(xù)運算以及解題結果的影響.

3.2 從高中數學教學的角度看

首先，要培養(yǎng)學生數學閱讀的能力.數學是一種語言，“數學教學也就是數學語言的教學”[3].而語言的學習離不開閱讀.實施數學閱讀的教學，既要示范和引導學生正確感知和認讀文字、數學符號、術語、公式、圖表等語言符號，也要通過同化或順應教學，將新概念納入或重構學生的認知結構.當然，更需要與不斷假設、證明、想象、推理等系列積極能動的認知過程相連貫,從而在上述閱讀過程、記憶、思考等細節(jié)中提升學生的數學理解能力.

其次，樹立對估算的正確認識.在教學中適時、適量滲透估算.傳統(tǒng)對估算持有一種錯誤的認識，“人們在估算能力的獲得上有最后時期和個體有相似的估算能力”[3].一部分中學數學教師也持有類似觀點：估算能力的獲得應在小學階段完成.其實，中學階段也需要估算，只不過這種估算是高階的、更為復雜和抽象的，正如本道題中所體現的.估算教學應充分利用估算能力在高中時期的自然發(fā)展，同時鼓勵學生在實際的數學情景中多運用估算，以盡量消除簡單化和“死記硬背”的傾向.

最后，借助數學史和數學現實，促進概念教學走向知識本質.數學概念反映出數學對象的本質屬性，數學研究的對象是現實世界的數量關系和空間形式，不過是被舍去具體的物質屬性和關系而抽取出來的量的關系和形式構造.因此，數學概念的教學就要指向這種量的關系或形式構造的本質，借助數學史和數學現實就是兩條有效的實施途徑.比如，上述試題中所體現的指數與對數運算的“力量”，可以從“對數”史和“指數”的數學現實中強烈地感受到：對數運算是蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中對大數的計算而“發(fā)明”的.對數的“發(fā)明”可以將冪運算在內的乘除運算轉化為加減運算，大大減小了運算量，從而縮短運算時間，使得“天文學家的壽命延長了一倍”.又可以從細胞分裂、人口增長等問題中強烈體會到，“指數爆炸”是對指數運算這一特性的形象刻畫.

[1] 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室.現代漢語詞典[Z].6版.北京:商務印書館,2012.

[2] 斯托利亞爾.數學教育學[M].丁爾陞,譯.北京:人民教育出版社,1984.

[3] 司繼偉,張慶林.估算:來自心理學的聲音[J].心理科學,2002(2):240-241.

收文日期：2017-11-22；

2017-12-24

河南省中小學學科數學教育教學研究基地資助項目

李懷軍(1981-)，男，河南新鄉(xiāng)人，博士研究生.研究方向：數學教育.

O122.6

A

1003-6407(2018)03-0024-03