相遇和追及問(wèn)題模型化習(xí)題設(shè)計(jì)與命制探析

鄭行軍

摘要：相遇和追及問(wèn)題的分析過(guò)程涉及多種方法，如解析法、圖象法、結(jié)論法、極值法和函數(shù)法的組合應(yīng)用，有一定的靈活性.此類(lèi)問(wèn)題的求解要求把握兩個(gè)關(guān)鍵：一個(gè)是同時(shí)；一個(gè)是同一位置，因此以物體運(yùn)動(dòng)的空間和時(shí)間的關(guān)聯(lián)性為基礎(chǔ)建立系統(tǒng)的軌跡模型和問(wèn)題模型，以歸納的物理模型為解題切入點(diǎn)，是實(shí)現(xiàn)高效解題的一個(gè)有效途徑.

關(guān)鍵詞：相遇和追及；軌跡模型；空間；時(shí)間；問(wèn)題模型

相遇和追及問(wèn)題是指兩物體能否在同一時(shí)刻到達(dá)空間的同一位置.解決此問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況找出其時(shí)間關(guān)系、位移關(guān)系、速度關(guān)系，然后列方程聯(lián)立求解[1].因此建構(gòu)系統(tǒng)的軌跡模型和問(wèn)題模型幫助學(xué)生比較全面地掌握此類(lèi)問(wèn)題可能的命題方向和解題策略，是實(shí)現(xiàn)高效解題的一個(gè)有效途徑.

一、軌跡模型的構(gòu)建

1.兩物體初始由不同位置出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)構(gòu)建相向運(yùn)動(dòng)軌跡模型

運(yùn)動(dòng)量關(guān)系：兩物體位移絕對(duì)值之和等于初始時(shí)刻兩物體的距離（s0=s1+s2）.

2.兩物體初始由同一位置同向運(yùn)動(dòng)構(gòu)建同向運(yùn)動(dòng)-同時(shí)同地模型

運(yùn)動(dòng)量關(guān)系：相遇時(shí)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移相同，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同（s1=s2，t1=t2）.

運(yùn)動(dòng)量關(guān)系：末時(shí)刻兩物體的間距等于運(yùn)動(dòng)位移之差，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同（Δs=s2-s1，t1=t2）.

3.兩物體初始由不同位置出發(fā)同向運(yùn)動(dòng)構(gòu)建同向運(yùn)動(dòng)-同時(shí)不同地模型

運(yùn)動(dòng)量關(guān)系：相遇時(shí)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移絕對(duì)值之差等于初始時(shí)刻兩物體的距離，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同（s0=s1-s2，t1=t2）.

4.兩物體由同一位置不同時(shí)刻出發(fā)同向運(yùn)動(dòng)構(gòu)建同向運(yùn)動(dòng)-同地不同時(shí)模型

運(yùn)動(dòng)量關(guān)系：相遇時(shí)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移相同，兩物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之差等于兩物體先后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間間隔（s1=s2，t0=t2-t1）.

5.兩物體由不同位置不同時(shí)刻出發(fā)同向運(yùn)動(dòng)構(gòu)建同向運(yùn)動(dòng)-不同時(shí)且不同地模型

運(yùn)動(dòng)量關(guān)系：相遇時(shí)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移絕對(duì)值之差等于初始時(shí)刻兩物體的距離，兩物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之差等于兩物體先后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間間隔（s0=s1-s2，t1=t2±t0）.

二、問(wèn)題模型的構(gòu)建

問(wèn)題模型1：涉及相遇時(shí)的物理量分析

解題策略：①畫(huà)出物體運(yùn)動(dòng)的軌跡模型，找出物體運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系；②分析運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)學(xué)公式利用位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系求解.

問(wèn)題模型2：涉及相距最近（遠(yuǎn)）的物理量分析

解題策略：函數(shù)法、圖象法[2]、結(jié)論法

①根據(jù)末速度相等求物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；②求出相應(yīng)時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移；③由物體運(yùn)動(dòng)的軌跡關(guān)系求出兩物體的最近（遠(yuǎn)）的距離.

問(wèn)題模型3：涉及物體運(yùn)動(dòng)最大速度的物理量分析

解題策略（假設(shè)法）：①假設(shè)在相遇前，物體先做勻加速后勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；②由物體運(yùn)動(dòng)的軌跡關(guān)系找出兩物體運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系；③分析物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，由是否有解判斷假設(shè)是否成立，物體的速度是否在相遇前已達(dá)最大值.

問(wèn)題模型4：涉及前物做不可逆勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物理量分析

解題策略（假設(shè)法）：①假設(shè)前物末速度為零，求出減速至零所需的時(shí)間；②計(jì)算前物減速至零時(shí)，兩物體運(yùn)動(dòng)的位移；③畫(huà)出物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，由末時(shí)刻物體所處的位置判斷前物減速零時(shí)，后物是否已和前物相遇.

問(wèn)題模型5：涉及恰好不相撞問(wèn)題的物理量分析

問(wèn)題特征：恰好不相撞問(wèn)題應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)關(guān)系[3]：（1）末時(shí)刻兩物體相遇；（2）末時(shí)刻兩物體速度相等.

解題策略：①利用末速度相等求物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；②計(jì)算相應(yīng)時(shí)間內(nèi)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移；③由運(yùn)動(dòng)的軌跡關(guān)系求出臨界狀態(tài)下的待求量.

三、例題賞析

例1如圖7所示，水平地面上A、B兩點(diǎn)相距x0=8m，甲球從B點(diǎn)以v=2m/s的速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，乙球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始以a=2m/s2的加速度向右做勻加速運(yùn)動(dòng).下列說(shuō)法正確的是（）

A.乙球相對(duì)甲球一直做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

B.乙球在追上甲球之前它們相距的最遠(yuǎn)距離為8m

C.乙球追上甲球用時(shí)4s

D.乙球追上甲球時(shí)的速度大小為4m/s

解析當(dāng)乙球速度等于甲球速度時(shí)，乙球相對(duì)甲球靜止，A錯(cuò)誤；由問(wèn)題模型2，設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩球速度相等，則有v=at，得t=1s；甲球位移x甲=vt=2×1=2m，乙球位移x乙=12at2=12×2×1=1m，得兩球相距的最遠(yuǎn)距離Δx=x甲+x0-x乙=2+8-1=9m，B錯(cuò)誤；設(shè)經(jīng)時(shí)間t乙球追上甲球，由軌跡模型-同時(shí)不同地模型，有x0=12at2-vt，代入數(shù)據(jù)得t=4s，C正確；乙球追上甲球時(shí)乙球的速度v乙=at=2×4=8m/s，D錯(cuò)誤.故正確答案為C.

點(diǎn)評(píng)本題涉及軌跡模型（同向運(yùn)動(dòng)-同時(shí)不同地模型），利用結(jié)論法分析兩者相距最遠(yuǎn)的條件，求出時(shí)間.由軌跡模型找出乙球追上甲球時(shí)乙與甲的位移之差等于0.8m，由位移公式列式求出時(shí)間，由速度時(shí)間關(guān)系式求出乙球追上甲球時(shí)的速度.

例2甲、乙兩汽車(chē)正沿同一平直馬路同向勻速行駛，甲車(chē)在前，乙車(chē)在后，它們行駛的速度均為10m/s.當(dāng)兩車(chē)快要到一十字路口時(shí)，甲車(chē)司機(jī)看到綠燈已轉(zhuǎn)換成了黃燈，于是緊急剎車(chē)（反應(yīng)時(shí)間忽略不計(jì)），乙車(chē)司機(jī)為避免與甲車(chē)相撞也緊急剎車(chē)，但乙車(chē)司機(jī)反應(yīng)較慢（反應(yīng)時(shí)間為05s）.已知甲車(chē)緊急剎車(chē)時(shí)加速度大小為4m/s2，乙車(chē)緊急剎車(chē)時(shí)加速度大小為5m/s2，求：

（1）若甲車(chē)司機(jī)看到黃燈時(shí)車(chē)頭距警戒線(xiàn)15m，他采取上述措施能否避免闖紅燈？

（2）為保證兩車(chē)在緊急剎車(chē)過(guò)程中不相撞，甲、乙兩車(chē)行駛過(guò)程中應(yīng)保持多大距離？

解析（1）甲車(chē)緊急剎車(chē)停下所需時(shí)間：t1=v0a1=104s=25s，甲車(chē)滑行距離：x=v202a1=1022×4=125m，由于x=125m<15m，所以甲車(chē)能避免闖紅燈.endprint

（2）本題涉及恰好不相撞問(wèn)題，臨界條件下甲、乙兩車(chē)運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿(mǎn)足以下關(guān)系：①末時(shí)刻兩車(chē)相遇；②末時(shí)刻兩車(chē)速度相等.設(shè)甲、乙兩車(chē)行駛過(guò)程中至少應(yīng)保持距離x0，在乙車(chē)剎車(chē)t2時(shí)間兩車(chē)速度相等，有v0-a1（t0+t2）=v0-a2t2，得t2=2s，乙車(chē)運(yùn)動(dòng)的位移：x乙=v0t0+v0t2-12a2t22=15m，甲車(chē)運(yùn)動(dòng)的位移：x甲=v0t0+t2-12a1t0+t22=125m，由題設(shè)條件可知兩車(chē)軌跡模型為同向運(yùn)動(dòng)-同時(shí)不同地模型，故x0=x乙-x甲=15-12.5=25m.

點(diǎn)評(píng)判斷兩車(chē)能否相撞，即判斷兩車(chē)在速度相等時(shí)是否撞上，因?yàn)樗俣认嗟惹埃臆?chē)的速度大于甲車(chē)的速度，它們間距離在減小，速度相等后，乙車(chē)的速度小于甲車(chē)的速度，所以相撞只能在速度相等之前撞，不能根據(jù)兩者停下來(lái)后比較兩者的位移去判斷.相應(yīng)的解題思路為：先利用末速度相等求出兩物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；再求出在該時(shí)間內(nèi)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移；然后根據(jù)軌跡模型畫(huà)出物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用軌跡圖求出臨界狀態(tài)下的待求量.

例3甲車(chē)以10m/s的速度在平直的公路上勻速行駛，乙車(chē)以4m/s的速度與甲車(chē)平行同向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).甲車(chē)經(jīng)過(guò)乙車(chē)旁邊時(shí)開(kāi)始以05m/s2的加速度剎車(chē)，從甲車(chē)剎車(chē)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求：

（1）乙車(chē)在追上甲車(chē)前，兩車(chē)相距的最大距離；

（2）乙車(chē)追上甲車(chē)所用的時(shí)間；

（3）若乙車(chē)的速度為6m/s，求乙車(chē)追上甲車(chē)所用的時(shí)間.

解析（1）當(dāng)甲車(chē)速度減至等于乙車(chē)速度時(shí)兩車(chē)的距離最大，設(shè)減速過(guò)程經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t，則v乙=v甲-at，解得t=12s；

此時(shí)甲、乙間距離為：Δx=v甲t-12at2-v乙t=10×12-12×05×122-4×12=36m

（2）設(shè)甲車(chē)減速到零所需時(shí)間為t1 ，則有：t1=v甲a=100.5=20s；在t1時(shí)間內(nèi)，甲車(chē)位移：x甲=v甲2t1=102×20=100m；在t1時(shí)間內(nèi)，乙車(chē)位移：x乙=v乙t1=4×20=80m，由于x乙

（3）在甲車(chē)停下的時(shí)間內(nèi)，乙車(chē)的位移x乙=v乙t1=6×20=120m，由于x乙>x甲，可知乙車(chē)追上甲車(chē)時(shí)，甲車(chē)還沒(méi)有停下.

設(shè)乙車(chē)追上甲車(chē)需要t0時(shí)間，在此過(guò)程中有：甲車(chē)位移x甲0=v甲t0-12at20，乙的位移x乙0=v乙t0，依題意x甲0=x乙0，聯(lián)立以上各式解得t0=16s或t0=0（舍），故可知乙車(chē)追上甲車(chē)需要16s.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)兩車(chē)速度相等時(shí)，兩車(chē)間的距離最大，利用結(jié)論法根據(jù)速度相等條件求出時(shí)間，分別求出兩車(chē)的位移，兩者之差即為兩物體間的距離；兩車(chē)相遇時(shí)位移相同，由題設(shè)甲車(chē)做不可逆的勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，注意減速運(yùn)動(dòng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情景是速度最小為零，列位移方程求解.

綜上所述，通過(guò)物理模型構(gòu)建的方法實(shí)施解題的優(yōu)點(diǎn)在于：①軌跡模型的構(gòu)建抓住了相遇和追及問(wèn)題的軌跡特點(diǎn)，使得在分析不同表象的題目時(shí)，能有清晰的軌跡情境，從而簡(jiǎn)化了題目信息；②問(wèn)題模型的構(gòu)建挖掘了模型中可能存在隱含知識(shí)，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，提高了解題的應(yīng)變能力；③兩類(lèi)模型的構(gòu)建完善了題型的知識(shí)體系，活化了知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了聯(lián)想思維的有效遷移.

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