解析幾何教學(xué)中學(xué)生問題表征障礙及對策

趙忠平

摘要：本文通過分析解析幾何教學(xué)中學(xué)生問題表征的主要障礙，提出了排除學(xué)生問題表征障礙的對策.

關(guān)鍵詞：解析幾何教學(xué)；表征能力；培養(yǎng)方法；途徑

“表征”是指信息在大腦中的記載和呈現(xiàn)方式，是一個以已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的建構(gòu)過程.喻平認(rèn)為：問題表征指個體將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，形成問題空間，包括明確問題的給定條件、目標(biāo)和允許的操作.彭聃齡認(rèn)為表征問題就是分析和理解問題.數(shù)學(xué)問題表征就是讀懂題目，“理解”題意，也就是用數(shù)學(xué)語言對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行正確的表示.

一、解析幾何教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)問題表征主要障礙

1 解析幾何概念理解不到位對問題表征能力的影響

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是正確表征問題、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.正確地理解和形成一個數(shù)學(xué)概念，必須明確這個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍.“有研究表明，正確的問題表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或者不完整的問題空間中進(jìn)行搜索，不可能求得問題的正確解.”

2 圖形觀察能力不足對問題表征能力影響

解析幾何首先是幾何問題.一味強(qiáng)調(diào)解析幾何中的代數(shù)運(yùn)算有時會導(dǎo)致煩瑣的過程，而如果在進(jìn)行計算的同時綜合考慮幾何因素的話，即在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，?？傻煤喗荻鴥?yōu)美的解法.圖形觀察能力是數(shù)形結(jié)合的重要部分，解析幾何解決問題的對象是幾何問題，在方法選擇上應(yīng)該注意優(yōu)先考慮幾何方法，其次考慮代數(shù)方法.在解析幾何學(xué)習(xí)中許多同學(xué)不善于觀察圖形，無法從圖形中得到表征問題的有效信息，從而導(dǎo)致解題失敗.

3 代數(shù)計算和代數(shù)表征能力不足對解題能力的影響

對于解析幾何中不少令人興奮不已的運(yùn)算技巧，應(yīng)當(dāng)通過典型問題的分析，讓學(xué)生理解代數(shù)式和代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算機(jī)理，理解它的每一個公式或定理的幾何意義與代數(shù)意義，要了解它成功應(yīng)當(dāng)具備的條件，也要了解它的局限性.理解運(yùn)算技巧的本質(zhì)，有利于從機(jī)理上發(fā)現(xiàn)相似，拓寬技巧的應(yīng)用范圍與深度，產(chǎn)生聯(lián)想遷移的效果.

4 代數(shù)結(jié)果的幾何含義認(rèn)知不到位對解題能力的影響

在解析幾何問題的解決過程之中，學(xué)生習(xí)慣于用符號表征來解決問題.學(xué)生對于幾種不同形式的表征能力的發(fā)展是不均衡的.許多學(xué)生對于代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義認(rèn)知不到位，導(dǎo)致數(shù)形無法有效結(jié)合，影響問題的進(jìn)一步表征和解決.

二、在解析幾何教學(xué)中排除學(xué)生問題表征障礙的對策

1通過“樣例”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生表征能力

笛卡爾說：“我所解決的每一個題，都將成為一個范例，以用于其它的問題……”，因此，學(xué)生正是通過學(xué)習(xí)范例，才能體會和掌握數(shù)學(xué)問題的表征方法.教師在解析幾何教學(xué)中要選擇典型“樣例”，通過對問題的表征“示范”，讓學(xué)生體會問題表征語言的使用，表征形式的選擇，以及多種表征形式之間的轉(zhuǎn)換.通過“樣例”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生表征能力，打開學(xué)生思維，規(guī)范學(xué)生數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用.

2通過“多元表征”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生表征能力

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對同一個概念，從不同角度、利用不同語言都可以進(jìn)行表征，而且表征的結(jié)果的優(yōu)劣對于解題具有直接的影響，教師在教學(xué)中要對不同的表征方法做出示范，引導(dǎo)學(xué)生體會不同表征方式對于解題過程的具體影響，從中選擇最優(yōu)表征方式方法.解析幾何問題的外部表征主要有文字表征、符號表征、圖形表征和操作表征.平時教學(xué)時教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生用多種方法對問題進(jìn)行表征的習(xí)慣，以促進(jìn)學(xué)生合理地表征問題.

例已知點(diǎn)P為圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線x+y-6=0上的動點(diǎn)，求PQ的最大值和最小值.

本題目難度不大，教師要鼓勵學(xué)生運(yùn)用多種表征形式對問題進(jìn)行表征.

表征1設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x21 + y21 = 1，x2+y2-6=0，則PQ=（x1-x2）2+（y1-y2）2，轉(zhuǎn)化成二元函數(shù)，求函數(shù)最值.

表征2設(shè)與直線x+y-6=0平行且與圓x2+y2=1相切的直線方程為x+y+λ=0，聯(lián)立方程組x2+y2=1x+y+λ=0 消去y得x 的一元二次方程，由Δ=0得λ，再算兩平行線間距離.

表征3設(shè)P（cosα，sinα），求P到直線x+y-6=0的距離，d=cosα+sinα-62，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.

表征4計算圓心（0，0）到直線x+y-6=0的距離，再加減半徑.

通過對問題表征的比較，讓學(xué)生認(rèn)識到問題表征在問題解決中的重要性.拿到題目不要急于制定解題計劃，而是要審明題意，進(jìn)而表征問題.教師在教學(xué)中，要用不同方式對概念的發(fā)生、發(fā)展過程進(jìn)行表征，及時培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題的表征能力.

3創(chuàng)建數(shù)學(xué)交流平臺，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)交流是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，學(xué)會表達(dá)、傾聽、接受等交流方法，從而達(dá)到對知識的深刻理解，達(dá)成共識、共享、共進(jìn)的良性循環(huán).它是學(xué)生對思維結(jié)果和思維過程的表達(dá)，是多種解題表征方法的分享、溝通和理解，更是多種觀點(diǎn)的分析、比較、歸納、批判和整合的互動過程.

（1）教學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)閱讀

數(shù)學(xué)閱讀是以數(shù)學(xué)文本為內(nèi)容獨(dú)立開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，是學(xué)生與文本的數(shù)學(xué)交流，主要是學(xué)生在已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過閱讀自主認(rèn)知數(shù)學(xué)知識的過程.通過數(shù)學(xué)閱讀，可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力，為良好的數(shù)學(xué)交流奠定基礎(chǔ).數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的方法，指導(dǎo)學(xué)生將重點(diǎn)問題表征和難點(diǎn)問題表征做適當(dāng)?shù)娜Ξ嫼蜆?biāo)注，需要將問題表征形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換的地方，指導(dǎo)學(xué)生嘗試用其它表征形式進(jìn)行重新表征.endprint

（2）教學(xué)生學(xué)會傾聽

認(rèn)真聽講是每一個學(xué)生必須具備的良好習(xí)慣，聽講不僅聽老師講解，還要聽同學(xué)的發(fā)言.聽老師的講解是學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)問題表征的最好范本，聽同學(xué)的回答交流，可以在問題表征中形成對比，提高自己數(shù)學(xué)問題表征能力.指導(dǎo)學(xué)生聽課的同時要學(xué)會做課堂筆記，及時記錄教師對例題的分析思路和表征方式，記錄的方式可采用流程圖、關(guān)鍵點(diǎn)提示、問題表征轉(zhuǎn)換等摘要記錄，以自己能理解為標(biāo)準(zhǔn)，不要記得太過詳細(xì).

（3）教學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)表達(dá)

數(shù)學(xué)表達(dá)是使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的交流，有書面表達(dá)和口頭表達(dá)等.學(xué)會數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)好數(shù)學(xué)最基本的要求.但在平時的教學(xué)中，教師更注重書面表達(dá)，忽視了學(xué)生口頭表達(dá)能力的培養(yǎng)，事實(shí)上，學(xué)生的口頭表達(dá)更能快速反映學(xué)生對問題的理解，教師也才能及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題表征過程中存在的問題，也才能及時點(diǎn)撥、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生修正問題表征結(jié)果.為學(xué)生提供更多的口頭交流數(shù)學(xué)知識的機(jī)會，有利于學(xué)生提高學(xué)生口頭表達(dá)能力，有利于提高學(xué)生心理素質(zhì)，推進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的思考，激發(fā)學(xué)生的反思需要.

4利用題組教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對“形同質(zhì)異問題”和“形異質(zhì)同問題”的表征能力

題組教學(xué)是解題教學(xué)的重要組織形式，通過題組教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生積極的思維定勢，鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技巧，也有利于通過問題條件結(jié)論的適當(dāng)變化，揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，提煉解題思想方法.

5.通過數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征的方向

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問題表征的重要方向，也是數(shù)學(xué)問題表征的重要工具.在問題表征過程中，數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想等思想方法可以指引問題表征的方向，以及問題表征之后解決的途徑，一些重要的數(shù)學(xué)方法如點(diǎn)差法、設(shè)而不求法、代入法、參數(shù)法、交軌法等在解析幾何中應(yīng)用廣泛，對于問題的表征具有重要的導(dǎo)向作用.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要及時滲透數(shù)學(xué)思想方法，形成學(xué)生穩(wěn)定的解題思維能力.

6重視學(xué)生元認(rèn)知能力的開發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征過程的反思

元認(rèn)知是學(xué)習(xí)策略的核心.在解析幾何解題訓(xùn)練中，要求學(xué)生掌握“一閱讀，二畫圖，三分析，四列式，五計算，六檢驗(yàn)”的方法步驟，培養(yǎng)學(xué)生解題自我調(diào)控能力.解題后要及時總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，建立“錯題集”，寫出解題反思，學(xué)習(xí)他人的好方法，注重解題策略的改進(jìn)和完善，養(yǎng)成自我認(rèn)真總結(jié)、認(rèn)真反思的好習(xí)慣.

總之，解析幾何教學(xué)中教師要及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題表征方面的出現(xiàn)的障礙，分析產(chǎn)生問題表征障礙的原因，有針對性的幫助學(xué)生突破問題表征障礙，選擇正確合理的問題表征形式，有效培養(yǎng)學(xué)生分析解決綜合問題的思維能力.只有充分暴露學(xué)生問題表征思維過程，才能有效糾正和防止問題表征錯誤思維過程的再現(xiàn)，才能強(qiáng)化正確的思維路徑，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性.endprint