重視數(shù)學(xué)思維角度，提高解答問題效率

陳向蓓

摘要：解數(shù)學(xué)題的思維意識是答題者通過審題，在大腦中對題目所涉及問題的一種反應(yīng).當(dāng)學(xué)生具備明確而完善的思維能力，便可在解題困境中靈活選擇自己的思維方式，使問題得到迅速而準(zhǔn)確的解決.因此，注重對數(shù)學(xué)問題思維角度的選擇，是正確解決數(shù)學(xué)問題的重要方向.

關(guān)鍵詞：解題途徑；思路方法；整體結(jié)構(gòu)；思維靈活

一、形象思維

從數(shù)學(xué)問題的感性整體入手，在綜合考查的過程中，運(yùn)用圖表圖形等直觀信息，直接反映事物的本質(zhì)規(guī)律，形象伴隨思維，為數(shù)學(xué)解題提供明確思路方法.

例1復(fù)數(shù)-i一個立方根是i，則它另外兩個立方根是（） .

A 32±12iB- 32±12i

C ±32+12i D ±32-12i

解析抓好復(fù)數(shù)開方的幾何特征：一個復(fù)數(shù)的n次方根對應(yīng)復(fù)平面上等分圓周的n個點(diǎn).如圖1，由|-i|=1，在單位圓上標(biāo)出i對應(yīng)點(diǎn)以后，另兩個等分點(diǎn)便可容易標(biāo)出，故本題應(yīng)選D.

二、 整體思維

在審題中把解題的注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，從整體角度思考，從宏觀上理解和認(rèn)識問題的實(shí)質(zhì)，從而達(dá)到盡快解決數(shù)學(xué)問題的能力.

例2求同時滿足：（1）z+10z是實(shí)數(shù)，且1

解析如果設(shè)z=x+yi，（x，y∈R）解題非常繁瑣.從整體性質(zhì)出發(fā)，設(shè)μ=z+10z，則z2-μz+10=0，由1<μ≤6， Δ=μ2-40<0得：z=12（μ±40-μ2i）.結(jié)合條件（2）知：μ=2或μ=6.因此所求復(fù)數(shù)z=1±3i或z=3±i.

三、類比思維

將數(shù)學(xué)問題題目中的新問題與已知問題進(jìn)行類比，模仿相似問題的處理方法.

例3過棱錐高的三等分點(diǎn)作平行棱錐底面兩個截面，則棱錐被分成的三部分體積比.

解析本題運(yùn)用類比方法，可視截得的棱錐和原棱錐為“相似體”.在平面幾何中，相似三角形面積比等于它們對應(yīng)邊的平方比.類比可知：三棱錐相似時，它們的體積比等于對應(yīng)邊的立方比.如圖2，畫出棱錐的一個側(cè)面，并分出三個相似三角形.那么三個三角形所對應(yīng)的三個棱錐休積比為：13∶23∶33因此所求三部分體積比為12∶（23-13）∶（33-23）=1∶7∶19.

四逆向思維

求解一個問題時，若從正面不能入手或較復(fù)雜，可轉(zhuǎn)換到問題的反面，從相反的方向去思考問題，即而找出解題的捷徑.善于運(yùn)用逆向思維是思維靈活的一種表現(xiàn)，培養(yǎng)逆向思維訓(xùn)練是學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方面.

例4關(guān)于x方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一實(shí)根.求實(shí)數(shù)p取值范圍.

解析按常規(guī)考查關(guān)于x的三次方程解的情況，由于是高次方程，求解比較困難.如果將主元x與參數(shù)p易位，即柳暗花明.整理成關(guān)于p的二次方程p2-（x2+2x）p+x3-1=0.

即：（p-x+1）（p-x2-x-1）=0，解得x=p+1或x2+x+1-p=0由于原方程有且只有一個實(shí)根，即方程x2+x+1-p=0沒有實(shí)數(shù)根.由Δ=1-4（1-p）<0得p<34，因此p的取值范圍為p<34.

五、極端思維

為解脫出高中數(shù)學(xué)解題中的紛紜繁瑣條件，可利用特殊化思維、極端性原則進(jìn)入清晰而單純的境界，為尋求較為復(fù)雜問題的解決，提供行之有效解題途徑.

例5如圖3，多面體ABCDEF中，已知面ABCD邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF和面AC距離是2，求多面體體積.

A92 B5C6D 152

解析因題意，滿足條件的EF不唯一，而多面體的體積不變，即可考慮面ADE⊥面ABCD的極端情況.如圖的多面體可分割成直三棱棱ADE-MNF和四棱錐F-MBCN，那么

VABCDEF=VADE-MNF+VF-MBCN=（12×3×2）×32+13×（32×3）×2=152.因此答案選D.

六、聯(lián)想思維

聯(lián)想是心理條件的反射.解題過程中注重由題目提供的信息想到相關(guān)的知識與熟悉的數(shù)學(xué)知識，通過借助相關(guān)知識解決題目中的問題.

例6已知a是實(shí)常數(shù)， x∈R， f（x+a）=1+f（x）1-f（x），判斷f（x）是周期函數(shù)嗎？如是求出它的一個周期；如不是說明原因.

解析由f（x+a）=1+f（x）1-f（x）聯(lián)想tan（x+π4）=1+tanx1-tanx，所以tanx為原型，a相當(dāng)于π4，而正切函數(shù)周期為π=4×π4，即f（x）的周期為4a.

f（x+2a）=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=-1f（x）.

所以f （x+4a）=f（x+2a+2a）=-1f（x+2a）=f（x）.因此f（x）是周期函數(shù)，4a是一個周期.

七、創(chuàng)造性思維

為解決問題尋求答案，提出自己新的見解或產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)的思維形式就是創(chuàng)造性思維.創(chuàng)造性思維形式是思維的較高表現(xiàn)形式，靈敏與審美是打開學(xué)生創(chuàng)造思維的的金鑰匙.

例7如圖4，ABC-A1B1C1是正三棱錐，AB1⊥BC1，求證AB1⊥A1C.

解析本題是一道典型的立體幾何題，有較多常規(guī)的證明方法.若拋開歐氏幾何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，以一個簡單的旋轉(zhuǎn)就能證明問題，解法可謂超凡脫俗.

以ΔABC，ΔA1B1C1的中心OO1連線為旋轉(zhuǎn)軸，把正三棱柱逆時針旋轉(zhuǎn)120度.可見：AB1的位置被CA1取替，BC1的位置被AB1取替，因此A1C⊥AB1.

思維意識是影響學(xué)生高中數(shù)學(xué)解題能力的本質(zhì)原因，是學(xué)生拓展解題思路的源泉.解題訓(xùn)練不但可以掌握必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與技能，還可以促進(jìn)思維意識的形成、思維能力的拓展.

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