例談基本不等式求最值的十種策略

張剛

摘要：利用基本不等式求最值時(shí)，要堅(jiān)持“一正二定三等”這三個(gè)原則，這里蘊(yùn)含著不等式的最值定理：“積定和最小，和定積最大”利用這個(gè)定理時(shí)，往往由于所給的式子不一定直接具備基本不等式的結(jié)構(gòu)條件，這就需要我們對(duì)所給的式子進(jìn)行恒等變形構(gòu)造，使之達(dá)到基本不等式的條件下面本文介紹十種常用的構(gòu)造方法，以期達(dá)到拋磚引玉的作用.

關(guān)鍵詞：不等式；最值；策略

一、整體化處理

例1若a，b滿(mǎn)足1a+2b=ab，則ab的最小值等于（ ）.

A2B2 C22D4

解由基本不等式得ab=1a+2b≥22ab，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號(hào)，整理得ab≥22.故選C.

評(píng)注遇到求a+b，ab的最值，一般可以對(duì)題設(shè)條件直接使用基本不等式，獲得關(guān)于a+b，ab的不等式，進(jìn)而化簡(jiǎn)變形，即可順利求解.

二、湊配系數(shù)

例2求函數(shù)y=sin2x·cos2x+1sin2x·cos2x的最小值.

解引入待定正實(shí)數(shù)λ，μ，且λ+μ=4，則

y=sin22x4+4sin22x=sin22x4+λsin22x+μsin22x≥2sin22x4·λsin22x+μsin22x≥λ+μ，當(dāng)且僅當(dāng)sin22x4=λsin22x且sin22x=1，即λ=14，μ=154時(shí)等號(hào)同時(shí)成立，所以y有最小值174.

評(píng)注一般來(lái)說(shuō)，見(jiàn)到和就想積，湊積為定值，則和有最小值；見(jiàn)到積就想到和，湊和為定值，則積有最大值若問(wèn)題滿(mǎn)足了運(yùn)用基本不等式的條件“正”“定”，而取等條件無(wú)法直接確定時(shí)，我們應(yīng)引入?yún)?shù)，利用待系數(shù)法探索恰當(dāng)?shù)娜〉葪l件，從而確定適當(dāng)?shù)南禂?shù).

三、加減配常數(shù)項(xiàng)

例3已知x<54，求函數(shù)fx=4x-2+14x-5的最大值.

解由5-4x>0，得fx=-[5-4x+15-4x]+3≤-2+3=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)fx的最大值為5.

評(píng)注求解本題需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是對(duì)已知條件的適當(dāng)變形構(gòu)造，由x<54得到5-4x>0；二是對(duì)目標(biāo)函數(shù)解析式的適當(dāng)變形構(gòu)造，以便活用結(jié)論“若x<0，則x+1x=--x+-1x≤-2-x·-1x=-2”.

四、連續(xù)使用基本不等式

例4若a>b>0，求a2+16ba-b的最小值為.

解a2+16ba-b≥a2+16b+a-b2=a2+64a2≥16（當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b且a=8a，即a=2b=22時(shí)等號(hào)成立），故a2+16ba-b的最小值為16.

評(píng)注此處第一次運(yùn)用基本不等式，實(shí)質(zhì)也是化二元為一元的消元過(guò)程連續(xù)多次使用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件是否一致，否則就會(huì)出錯(cuò).

五、分離（分子）常數(shù)

例5若對(duì)任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，則a的取值范圍是.

解因?yàn)閤>0，所以x+1x≥2，所以xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以xx2+3x+1的最大值為15，所以由已知不等式恒成立得a≥15，故a的取值范圍是15，+∞.

評(píng)注對(duì)xx2+3x+1的分子、分母同除以x可得到1x+1x+3，其優(yōu)點(diǎn)是將變量x全部集中在分母位置，為靈活運(yùn)用基本不等式創(chuàng)造有利的條件.

六、變用公式

例6函數(shù)y=2x-1+5-2x（12

解y2=2x-1+5-2x2

=4+22x-15-2x

≤4+2x-1+5-2x=8.

又y>0，所以0

評(píng)注基本不等式a+b2≥ab有幾個(gè)常用變形結(jié)論：a2+b22≥ab，a+b22≥ab，a2+b22≥a+b2，a2+b22≥a+b22前兩個(gè)變形結(jié)論很直接，后兩個(gè)變形結(jié)論不易想到，應(yīng)重視.

七、對(duì)數(shù)變換

例7已知a>0，b>0，ab=8，則當(dāng)a的值為時(shí)log2a·log22b取到最大值.

解因?yàn)楫?dāng)log2a·log22b取最大值時(shí)，log2a·log22b必定同號(hào)，所以log2a·log22b≤log2a+log22b22=log22ab22=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)故當(dāng)a的值為4時(shí)，log2a·log22b取到最大值.

評(píng)注本題重點(diǎn)考查ab≤a+b22與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則logaM+logaN=logaMN的交匯.

八、三角變換

例8已知0

解考慮到已知條件為正切關(guān)系式，則應(yīng)將目標(biāo)式取正切化簡(jiǎn)變形.

因?yàn)?0且0≤x-y<π2，

所以tanx-y=tanx-tany1+tanxtany=23tany+1tany≤33.

當(dāng)且僅當(dāng)tany=33，即x=π3，y=π6時(shí)等號(hào)成立，因正切函數(shù)在0，π2上單調(diào)遞增，所以x-y≤π6故t=x-y的最大值為π6.

評(píng)注解題思路：需要借助正切函數(shù)的單調(diào)性，間接獲得x-y的最大值.

九、常數(shù)代換

例9若直線xa+yb=1a>0，b>0過(guò)點(diǎn)1，2，則a+b的最小值等于.

解由已知得1a+2y=1，與目標(biāo)式結(jié)合構(gòu)造積為定值的倒數(shù)結(jié)構(gòu).

a+b=a+b1a+2b=3+2ab+ba≥3+22，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=2+2時(shí)取到最小值3+22.

評(píng)注常數(shù)代換是將目標(biāo)函數(shù)式中的常數(shù)用已知式進(jìn)行等量代換，或者將目標(biāo)函數(shù)式與已知代數(shù)式相乘，然后通過(guò)化簡(jiǎn)變形，求得目標(biāo)函數(shù)的最值，其中常用“1”的代換.

十、y=1a+ab型變換

例10設(shè)a+b=2，b>0，則當(dāng)a=時(shí)，12a+ab取得最小值.

解12a+ab=a+b4a+ab=a4a+b4a+ab≥-14+2b4a·ab=34，當(dāng)且僅當(dāng)b4a=ab且a<0，即a=-2，b=4時(shí)取等號(hào)故當(dāng)a=-2時(shí)，12a+ab取得最小值.

評(píng)注本題難點(diǎn)在于：關(guān)注常數(shù)代換及拆分、放縮變形，注意a4a≥-14.

總之，基本不等式在高考數(shù)學(xué)試題中，是重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)，也是與其他數(shù)學(xué)知識(shí)容易交匯命題考查的難點(diǎn)之一，因此所給題目的條件特點(diǎn)，深化理解、強(qiáng)化應(yīng)用，靈活選擇上面這十種常用的變換策略，相信在有關(guān)基本不等式求最值的問(wèn)題中就會(huì)輕松破解.