直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見類型及解題策略

■河南省溫縣第一高級中學(xué) 馬惠云

高考解析幾何解答題第二問大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,主要問題是求范圍、方程、定值或最值等。其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題在思想上要重視數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想、化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用。方法上其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,基本的運(yùn)算技巧是設(shè)而不求,整體代入。但是也要注意運(yùn)用平面圖形的幾何性質(zhì)發(fā)現(xiàn)某些量的值或數(shù)量關(guān)系,從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。

例1 設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過F且與C交于A,B兩點(diǎn)。若|A F|=3|B F|,則l的方程為( )。

圖1

解法一:如圖1所示,作出拋物線的準(zhǔn)線l1及點(diǎn)A,B到準(zhǔn)線的垂線段A A1,B B1,并設(shè)直線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)M。設(shè)|B F|=m,由拋物線的定義可知|B B1|=m,|A A1|=|A F|=3m。由B B1∥,所以|MB|=2m,則|MA|=6m。故∠AMA1=3 0°,得∠A F x=∠MA A1=6 0°,結(jié)合選項(xiàng)知C項(xiàng)正確。

例2 已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2。

(1)求曲線Γ的方程。

(2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A。直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N。以MN為直徑作圓C,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B,如圖2所示。試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時,線段A B的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論。

圖2

解析:(1)解法一:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn),依題意,點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn),直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y。

(2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動時,線段A B的長度不變。證明如下:

設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則

方法小結(jié):(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時一般要用待定系數(shù)法求p的值,但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程,若是標(biāo)準(zhǔn)方程,則要由焦點(diǎn)位置(或開口方向)判斷是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)注意應(yīng)用拋物線定義中的距離相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而解決問題。

(3)直線與拋物線有一個交點(diǎn),并不表明直線與拋物線相切,因?yàn)楫?dāng)直線與對稱軸平行(或重合)時,直線與拋物線也只有一個交點(diǎn)。