解析幾何熱點(diǎn)問題剖析

■河南省確山縣第一高級(jí)中學(xué) 黃志瑋

高考對(duì)解析幾何的考查主要圍繞“直線和圓的位置關(guān)系、圓錐曲線定義的巧用、離心率的求解、焦點(diǎn)三角形的特征、軌跡方程的探究方法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,以及定值、定點(diǎn)、最值和范圍的求解”等考點(diǎn)展開,求解時(shí)除凸現(xiàn)設(shè)而不解,整體思維外,有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)和向量的基本方法,解題過程始終是圍繞著怎樣簡(jiǎn)化運(yùn)算展開的。

剖析1——用代數(shù)方法探究直線和圓的綜合問題

例1 (廣東省汕頭市2 0 1 7屆三模)已知圓C經(jīng)過(2,4),(1,3)兩點(diǎn),圓心C在直線x-y+1=0上,過點(diǎn)A(0,1),且斜率為k的直線l與圓相交于M,N兩點(diǎn)。

(1)求圓C的方程。

解析:(1)選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求解。設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,依題意,可得方程組解得所以圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1。

例2 (2 0 1 7年安徽省馬鞍山市二模)已知A(0,7),B(0,-7),C(1 2,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A,B的橢圓,則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是____。為定值。用幾何法求數(shù)量積時(shí)注意切割線定理的應(yīng)用。過點(diǎn)A(0,1)作直線A T與圓C相切,切點(diǎn)為T,則A T2=7,所以,所以為定值,且定值為7。

②代數(shù)法研究直線和圓的位置關(guān)系,數(shù)量積用坐標(biāo)表示。依題意可知,直線l的方程為y=k x+1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),將y=k x+1代入(x-2)2+(y-3)2=1,化簡(jiǎn)整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,則

感悟:解答直線與圓的綜合問題,要運(yùn)用平面幾何的知識(shí)弄清問題的本質(zhì)所在,再進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算。運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法,借助韋達(dá)定理,將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線斜率k的關(guān)系,進(jìn)而求出k,另外要注意檢驗(yàn)是否符合題意。

剖析2——巧用圓錐曲線的定義解題

解析:定義法探求軌跡方程,由兩點(diǎn)間距離公式可得|A C|=1 3,|B C|=1 5,|A B|=1 4。由A,B都在橢圓上,得|A F|+|A C|=|B F|+|B C|,|A F|-|B F|=|B C|-|A C|=2＜1 4,故F的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支。因?yàn)閏=7,a=1,所以b2=4 8,則F的軌跡方程是-1)。

感悟:求軌跡方程的常用方法有:①直接法,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),根據(jù)題意列出關(guān)于x,y的等式即可;②定義法,根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義,可直接求出方程;③參數(shù)法,把x,y分別用第三個(gè)變量表示,消去參數(shù)即可;④代入法,將代入f(x0,y0)=0。本題巧用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

剖析3——求橢圓或雙曲線離心率的思維方法

感悟:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題,關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a,c的齊次式方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍及題設(shè)條件等。

剖析4——代數(shù)法或幾何法探究拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最值問題

例4 (2 0 1 7年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)5月模擬)已知拋物線y2=4x,焦點(diǎn)記為F,過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),則的最小值為____。

解析:用坐標(biāo)溝通關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值。因?yàn)镕(1,0),設(shè)直線A B:y=k(x-1),代入y2=4x可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1。由拋物線的定義可得,將代入得|A F|-。令x2-1=t,則x2=t+1,所以

感悟:若P(x0,y0)為拋物線y2=2p x(p＞0)上一點(diǎn),由定義易得若過焦點(diǎn)的弦A B的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長(zhǎng)為|A B|=x1+x2+p,x1+x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出;遇到焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可利用數(shù)形結(jié)合的方法尋求簡(jiǎn)化運(yùn)算的捷徑。

剖析5——與圓錐曲線有關(guān)的最值或范圍問題

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點(diǎn)B(3,0)且斜率大于0的直線l與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn),直線A P,A Q與x軸分別交于M,N兩點(diǎn),求|BM|+|BN|的取值范圍。

(2)巧設(shè)直線方程,聯(lián)立橢圓方程得到關(guān)于y的一元二次方程,由判別式大于零,運(yùn)用韋達(dá)定理,將|BM|+|BN|表示為關(guān)于m的函數(shù)式,分離常數(shù),進(jìn)而可得結(jié)果。

設(shè)直線l的方程為x=m y+3,P(x1,y1),Q(x2,y2)。由直線A P的方程為y-,可得,即

因?yàn)閙＞0,m2＞1,所以m＞1,因此0＜,即,所以|BM|+|BN|的取值范圍是(2,6)。

感悟:解決圓錐曲線中的最值或范圍問題一般有兩種途徑:一是利用幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中的最值或范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法及均值不等式法。本題第(2)問就是用函數(shù)單調(diào)性法求|BM|+|BN|的范圍的。

剖析6——與圓錐曲線有關(guān)的探索性問題

例6 (2 0 1 7年第二次全國(guó)大聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系x O y中,曲線與直線y=k x+a(a＞0)交于M,N兩點(diǎn)。

(1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程。

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠O PM=∠O PN?請(qǐng)說明理由。

(2)存在符合題意的點(diǎn),證明如下:設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2。將y=k x+a代入

所以x1+x2=4k,x1x2=-4a。

當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),所以∠O PM=∠O PN,故P(0,-a)符合題意。

感悟:圓錐曲線中的探索性問題采用“肯定順推法”,其步驟為:假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素存在,否則,元素不存在。本題中,將∠O PM=∠O PN轉(zhuǎn)化為直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線PM的斜率與直線PN的斜率之和為0,再將其坐標(biāo)化探究得到b=-a時(shí)存在,思路固定,字母運(yùn)算復(fù)雜,需要細(xì)心和耐心。