淺談圓錐曲線的焦點三角形

■河南省溫縣第一高級中學(xué) 薛芳芳

在解析幾何中,《圓錐曲線》這一章在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占很重的分量,橢圓、雙曲線中有一類比較典型的問題,就是所謂的焦點三角形問題。焦點三角形的一個頂點在橢圓(或雙曲線)上,其余兩個頂點是該橢圓(或雙曲線)的兩個焦點。焦點三角形的問題往往與圓錐曲線的離心率、三角形的面積、三角形的周長和距離、角度等有關(guān)。此類問題能夠較好地考查同學(xué)們對數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的掌握情況。下面我們主要探討一下有關(guān)焦點三角形與圓錐曲線的離心率方面的問題。

例1 已知F1,F2是雙曲線(a＞0,b＞0)的左右焦點,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線交于不同的四點,順次連接焦點和這四個點恰好組成一個正六邊形,則該雙曲線的離心率為____。

圖1

解析:如圖1,根據(jù)題意,易知△P F1F2為直角三角形,∠F1P F2=9 0°,∠P F2F1=3 0°,所以又|P F2|-,所以,即

點評:本題主要是利用雙曲線的定義進(jìn)行解題,這道題可以變化為其他題。

變式一:如圖2,F1,F2是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左右焦點,A,B是以O(shè)為圓心,|O F1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且△F2A B為等邊三角形,則該雙曲線的離心率為____。

圖2

變式二:以橢圓的焦距為直徑的圓交橢圓于四個點,這四個點連同兩個焦點恰好是一個正六邊形的六個頂點,則該橢圓的離心率為____。

例2 過橢圓的左焦點F作直線交橢圓于A,B兩點,若|A F|∶|B F|=2∶3,且直線與長軸的夾角為,則橢圓的離心率為____。

解析:設(shè)A F=2m,B F=3m,準(zhǔn)線為l,作A A1⊥l,B B1⊥l,垂足分別為A1,B1,過A作A D⊥B B1,交B B1于點D,由第二定義知,所以,所以,在△A D B中,所以,即

點評:本題綜合考查橢圓的離心率與直線傾斜角,考查橢圓的性質(zhì)和橢圓第二定義,還考查同學(xué)們的計算能力。

由例2我們可以得到一些結(jié)論:

結(jié)論3:過拋物線y2=2p x的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|A F|=m,|B F|=n,直線與拋物線的對稱軸的夾角為θ,則有

關(guān)于圓錐曲線的焦點三角形,本文只是談一下自己的簡單理解,希望能夠?qū)ν瑢W(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助,還有許多重要的性質(zhì)值得我們?nèi)ネ诰颉⒀芯俊?/p>