2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)考綱關(guān)鍵詞解讀及預(yù)測(cè)分析（2）
———統(tǒng)計(jì)與概率、解析幾何

■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

本刊特邀欄目專家簡(jiǎn)介:

高慧明首屆全國(guó)十佳班主任,全國(guó)著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師,國(guó)家教育部課程改革“全國(guó)先進(jìn)工作者”,全國(guó)著名高考數(shù)學(xué)命題與考試研究專家,國(guó)家教育部“國(guó)培計(jì)劃”全國(guó)中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長(zhǎng)培訓(xùn)特邀主講專家,受邀在全國(guó)各地做有關(guān)高考科學(xué)備考、班級(jí)管理等多場(chǎng)專題報(bào)告?，F(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué)高中部。

一、統(tǒng)計(jì)與概率中的關(guān)鍵詞——隨機(jī)抽樣、隨機(jī)變量、分布列、期望

1.隨機(jī)抽樣。

(1)理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性。

(2)會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本;了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。

2.用樣本估計(jì)總體。

(1)理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差。

(2)能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并作出合理的解釋。

(3)會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征,理解用樣本估計(jì)總體的思想。

(4)會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

3.變量的相關(guān)性。

(1)會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系。

(2)能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶)。

4.古典概型。

(1)理解古典概型及其概率計(jì)算公式。

(2)會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。

5.計(jì)數(shù)原理。

(1)理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步”,并能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

(2)理解排列的概念及排列數(shù)公式,并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

(3)理解組合的概念及組合數(shù)公式,并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

(4)會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。

6.概率與統(tǒng)計(jì)。

(1)理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,認(rèn)識(shí)分布列刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性,會(huì)求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列。

(2)理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布,并能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

(3)理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

解讀:分層抽樣和系統(tǒng)抽樣雖為“了解”的內(nèi)容,但卻是高考命題的重點(diǎn),傷不起呀。唯有試題的難度與“了解”對(duì)應(yīng),考題遵循考綱但不唯考綱。三圖中的頻率分布直方圖與莖葉圖的要求雖低,但為考查重點(diǎn)。尤其是頻率分布直方圖中相關(guān)數(shù)據(jù)的求解是考查的熱點(diǎn)?！疤崛』镜臄?shù)字特征”,平均數(shù)與方差的計(jì)算,要熟記公式喲?！袄斫庥脴颖竟烙?jì)總體的思想”,即樣本與總體的數(shù)字特征相同。樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)是我們求解線性回歸方程的“抓手”?？季V明確提出:“線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶”!“互斥事件的概率加法公式”雖為“了解”的內(nèi)容,但屬高考的重點(diǎn),滲透在概率的每一個(gè)問(wèn)題中——不唯考綱的又一例證。

對(duì)古典概型的要求比較高,屬于命題的重點(diǎn)。幾何概型屬“了解”的內(nèi)容,但高考?？?要定準(zhǔn)衡量的依據(jù)!是長(zhǎng)度或角度?還是面積或體積?計(jì)數(shù)原理的四條要求都不低,兩個(gè)基本原理是我們解決排列組合問(wèn)題的主要依據(jù),要記住“先組后排”,實(shí)際上就是先分類后分步的體現(xiàn)。對(duì)于二項(xiàng)式定理要將通項(xiàng)公式記準(zhǔn)。

“會(huì)求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列”提示我們考查的分布列中隨機(jī)變量的取值是有限的。相互獨(dú)立事件的概率要求雖為“了解”,但卻是高考命題的重點(diǎn),自己提點(diǎn)高要求吧!對(duì)于二項(xiàng)分布要記準(zhǔn)公式,記住規(guī)律,命題有兩個(gè)重點(diǎn):公式求項(xiàng)、賦值求系數(shù)?；貧w直線方程的求解與獨(dú)立性檢驗(yàn)要求為“了解”,所以考題也是簡(jiǎn)單的!

命題預(yù)測(cè):全國(guó)卷對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的命題:2個(gè)小題和1個(gè)大題,小題一般主要考查頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、幾何概型和古典概型、抽樣(特別是分層抽樣)、排列組合、二項(xiàng)式定理。解答題一般考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差,仍然側(cè)重于考查與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密的應(yīng)用題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

2 0 1 7年高考以實(shí)際問(wèn)題為背景,考查了正態(tài)分布和二項(xiàng)分布,考查用概率統(tǒng)計(jì)的基本方法和基本思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查對(duì)非連續(xù)文本閱讀的能力,要求快速?gòu)奈谋局刑崛?、整理、分析?shù)據(jù)并做出判斷,預(yù)計(jì)2 0 1 8年概率與統(tǒng)計(jì)繼續(xù)保持較新的題型。注意高考數(shù)學(xué)命題在逐步淡化數(shù)學(xué)的解題技巧,對(duì)運(yùn)算能力的要求卻有所提高。

例1 微信已成為人們常用的社交軟件,微信里的“微信運(yùn)動(dòng)”是由騰訊開(kāi)發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào)。手機(jī)用戶可以通過(guò)關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號(hào)查看自己每天行走的步數(shù),同時(shí)也可以和好友進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的比較或點(diǎn)贊?，F(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機(jī)選取了4 0人(男、女各2 0人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如表1:

表1

(1)利用樣本估計(jì)總體的思想,試估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過(guò)1 00 0 0步的概率。

(2)若某人一天的走路步數(shù)超過(guò)80 0 0步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”,否則評(píng)定為“懈怠型”,根據(jù)題意完成表2所示的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有9 0%的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)?

表2

表3

解析:(1)根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可知,4 0位好友中走路步數(shù)超過(guò)1 00 0 0步的有8人,所以利用樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過(guò)1 00 0 0步的概率

(2)根據(jù)題意完成列聯(lián)表,如表4。

表4

例2 某學(xué)校為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活,以班級(jí)為單位組織學(xué)生開(kāi)展古詩(shī)詞背誦比賽,隨機(jī)抽取題目,背誦正確加1 0分,背誦錯(cuò)誤減1 0分,背誦結(jié)果只有“正確”和“錯(cuò)誤”兩種。其中某班級(jí)背誦正確的概率為p=,背誦錯(cuò)誤的概率為,現(xiàn)記“該班級(jí)完成n首背誦后總得分”為Sn。

(1)求S6=2 0且Si≥0(i=1,2,3)的概率。

(2)記ξ=|S5|,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解析:(1)當(dāng)S6=2 0時(shí),即背誦6首后,正確為4首,錯(cuò)誤為2首。

由Si≥0(i=1,2,3)可得,若第1首和第2首背誦正確,則其余4首可任意背誦對(duì)2首;若第1首正確,第2首背誦錯(cuò)誤,第3首背誦正確,則其余3首可任意背誦對(duì)2首。

(2)因?yàn)棣?|S5|的取值為1 0,3 0,5 0,又,則

所以ξ的分布列如表5所示。

表5

二、解析幾何中的關(guān)鍵詞——直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線

1.直線與方程。

(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式。

(2)能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。

(3)掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的三種表示形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)。

(4)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

(5)掌握兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩平行直線間的距離。

2.圓與方程。

(1)掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。

(2)能根據(jù)給定的直線與圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定的兩個(gè)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系。

(3)能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

3.圓錐曲線與方程。

(1)掌握橢圓、雙曲線與拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)。

(2)理解數(shù)形結(jié)合的思想。

4.坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

(1)會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。

(2)能在極坐標(biāo)系中畫(huà)出極坐標(biāo)方程表示的圖形。

(3)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程。

解讀:每條直線都有傾斜角,但不一定有斜率。在解決過(guò)定點(diǎn)的直線問(wèn)題時(shí),要根據(jù)斜率是否存在進(jìn)行分類討論。當(dāng)直線的斜率存在時(shí),我們才能用直線方程的點(diǎn)斜式或斜截式進(jìn)行求解,而用截距式方程解決直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積問(wèn)題則最為方便。兩條直線垂直或平行的條件往往與充要條件的判斷相結(jié)合綜合命題。

在直線和圓的位置關(guān)系中,位置關(guān)系的判斷、弦長(zhǎng)的求解、切線問(wèn)題是命題的重點(diǎn)。圓具有很好的幾何性質(zhì),在解決與切線、弦長(zhǎng)等相關(guān)問(wèn)題的時(shí)候,充分利用點(diǎn)到直線的距離公式可以將問(wèn)題順利地解決。

一個(gè)“掌握”泄露了高考命題的重點(diǎn)——橢圓與拋物線,橢圓又成為重中之重,若有雙曲線的考題,也是比較簡(jiǎn)單的?！袄斫鈹?shù)形結(jié)合的思想”——既要重視坐標(biāo)法,還要注意圓錐曲線形的特征,兩者結(jié)合求解相關(guān)問(wèn)題。

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的基本要求均為“了解”,但“能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化”暴露了命題的重點(diǎn),多為直線和圓的兩種形式方程的有關(guān)問(wèn)題。當(dāng)然也不要忽視參數(shù)方程與普通方程的互化問(wèn)題。

命題預(yù)測(cè):全國(guó)卷對(duì)解析幾何的命題:2個(gè)小題和1個(gè)大題,小題主要以考查直線、圓及圓錐曲線的性質(zhì)為主,一般結(jié)合定義,借助于圖形可容易求解。大題一般以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為命題背景,并結(jié)合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、平面向量等知識(shí),考查求軌跡方程問(wèn)題,探求有關(guān)曲線性質(zhì),求參數(shù)范圍,求最值與定值,探求存在性等問(wèn)題。另外,要注意對(duì)二次曲線之間結(jié)合的考查,比如橢圓與拋物線,橢圓與圓等。坐標(biāo)系與參數(shù)方程主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)和方程的互化,在極坐標(biāo)系下的點(diǎn)與線、線與圓的位置關(guān)系;就參數(shù)方程而言,主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化,圓、橢圓、直線參數(shù)方程的幾何意義,直線的參數(shù)方程在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中,弦長(zhǎng)、割線長(zhǎng)等的計(jì)算問(wèn)題。坐標(biāo)系與參數(shù)方程輪換考或結(jié)合起來(lái)考。

解析幾何的考查近幾年趨于常規(guī),選取的方法非?；A(chǔ),考查同學(xué)們的運(yùn)算能力。全國(guó)卷非常注重適度的、最基本的幾何分析,以及圍繞“代數(shù)化、基本幾何分析、結(jié)論”進(jìn)行考查。很多題目背后都有一般性的結(jié)論,高考命題中不排斥結(jié)論,甚至多次考查結(jié)論,最重要的是掌握其方法。加強(qiáng)對(duì)教材知識(shí)的挖掘,充分注意課本的基礎(chǔ)作用和示范作用;提高認(rèn)識(shí),通過(guò)典型例題分析明確解決圓錐曲線問(wèn)題的基本思路。

加強(qiáng)用函數(shù)和方程的思想解決幾何問(wèn)題的研究;掌握常用的解題策略方法,拓寬簡(jiǎn)化運(yùn)算的渠道;加強(qiáng)思維優(yōu)化的培養(yǎng),強(qiáng)調(diào)思維的簡(jiǎn)捷性和解法的最優(yōu)化;重視積累,豐富同學(xué)們自身的解題工具(知識(shí)點(diǎn)、二級(jí)結(jié)論、方法);加強(qiáng)計(jì)算能力的培養(yǎng),尤其是加強(qiáng)多變量的計(jì)算能力的培養(yǎng);提升同學(xué)們的化簡(jiǎn)變形能力;加強(qiáng)意志品質(zhì)的培養(yǎng),加強(qiáng)幾何直觀的說(shuō)明和證明。特別要注意:重視非標(biāo)準(zhǔn)方程向標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化,避免非標(biāo)準(zhǔn)方程下基本量的求解出錯(cuò);不要受思維定勢(shì)的影響,圓錐曲線的焦點(diǎn)位置,特征量的表示及幾何意義;考慮直線斜率不存在的情況;求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程后注意變量的范圍;直線與圓錐曲線聯(lián)立后考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0以及有根條件;求最值的過(guò)程中進(jìn)行換元注意新變量的取值范圍。

例3 已知點(diǎn)C為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑C P上,且有點(diǎn)A(1,0)和A P上的點(diǎn)M,滿足

(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程。

(2)若斜率為k的直線l與圓x2+y2=1相切,與(1)中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F,H,O是坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)時(shí),求k的取值范圍。

解析:(1)由題意知MQ是線段A P的垂直平分線,所以|C P|=|Q C|+|Q P|=,故點(diǎn)Q的軌跡是以C,A為焦點(diǎn),焦距為2,長(zhǎng)軸為的橢圓,所以故點(diǎn)Q的軌跡方程是

(2)設(shè)直線l:y=k x+b,F(x1,y1),H(x2,y2)。直線l與圓x2+y2=1相切?

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線l:y=k x+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若kOM·kON=,求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍。

(2)設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y=k x+m,得(4k2+1)x2+8k m x+4m2-4=0,依題意,Δ=(8k m)2-4(4k2+1)·(4m2-4)＞0,化簡(jiǎn)得

【同步練習(xí)】

1.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和P。

(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l:y=k x+m與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn)。若存在實(shí)數(shù)λ,使,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

圖1

(1)求橢圓E的方程。

(2)若A,B分別是橢圓E的左右頂點(diǎn),直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸,P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線A P交l于點(diǎn)M。

①設(shè)直線OM的斜率為k1,直線B P的斜率為k2,求證:k1k2為定值;

②設(shè)過(guò)點(diǎn)M垂直于P B的直線為m,求證:直線m過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

【參考答案】

(2)由題意知,ξ的取值為0,1,2,3。

所以ξ的分布列如表6所示。

表6

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組消去y并整理得(4+k2)x2+2k m x+m2-4=0,依題意可得:

(2)①設(shè)P(x0,y0)(y0≠0),則直線A P的方程為,令x=2,得所以

所以直線m過(guò)定點(diǎn)(-1,0)。