淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想

江敏娟

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的思想和數(shù)學(xué)思維，運用一定的教學(xué)和學(xué)習(xí)策略，讓學(xué)生首先掌握基本的數(shù)學(xué)知識、概念和定理，然后再結(jié)合抽象邏輯思維和具體圖形進行分析，從而相對透徹地理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，以達到增強學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的。中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法是數(shù)形結(jié)合思想，這就要求學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，讓數(shù)與形的信息相互滲透，由此可以開拓學(xué)生的解題思路，使數(shù)學(xué)問題簡單化。淺析了中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想，希望能指導(dǎo)教學(xué)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念

中學(xué)數(shù)學(xué)大綱指出：“通過對數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，對學(xué)生進行對立統(tǒng)一觀點的教育?！睂W(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認識、理解、掌握和熟練運用是一個有序的進程。這跟一個數(shù)學(xué)題型和一個數(shù)學(xué)知識點是不同的，不是通過幾節(jié)課的學(xué)習(xí)就可以掌握和運用的。因此要讓學(xué)生熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想，就必須在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)當(dāng)中都有所突出，例如，從最初的對數(shù)學(xué)概念的理解，到數(shù)學(xué)課堂中的講解，再到解決數(shù)學(xué)問題時的運用和練習(xí)，都滲透著這一思想。只有這樣，學(xué)生才能在潛移默化中熟悉并靈活使用數(shù)形結(jié)合思想。

一、什么是數(shù)形結(jié)合思想

偉大的數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化成一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！庇纱丝梢姡瑘D象對數(shù)學(xué)問題的解決有著很大的幫助作用。整個中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中始終貫穿著數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)軸與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、反比例及一次、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。只有認識了數(shù)學(xué)思想，才能認識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，只有在培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認識上花大功夫，才能讓其學(xué)會活用知識，達到知識正遷移的效果。數(shù)學(xué)知識反過來是數(shù)學(xué)思想的載體，知識要通過思想去理解、去建構(gòu)，缺乏思想，知識就是空洞的，便失去了意義。然而，在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，在傳統(tǒng)的教學(xué)思想框架下，很多教師并不重視對數(shù)學(xué)思想方法的理解和傳授，還是注重對知識的教授，從而忽略了講解知識的過程在對其相應(yīng)數(shù)學(xué)思想的滲透，導(dǎo)致學(xué)生無法做到對知識的舉一反三。由此，數(shù)學(xué)思想的滲透，可以使學(xué)生帶著輕松愉悅的心情學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神。由于數(shù)形結(jié)合問題可供選擇的范圍較大，對知識的覆蓋面廣，綜合性和邏輯性較強，因此必須培養(yǎng)學(xué)生獨立探索的能力和創(chuàng)新精神。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的反映形式就是數(shù)學(xué)概念，即一種數(shù)學(xué)思維模式。在教授數(shù)學(xué)概念時，教師要突出數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生對所學(xué)概念理解透徹。通常教材上給出的概念是比較抽象的，不利于學(xué)生進行理解，例如，在講解圓與圓的位置關(guān)系時，外切、相離、相交、內(nèi)含和內(nèi)切等五種關(guān)系，就是“形”，而教材上給出的以d、r1、r2之間的數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系，就是“數(shù)”。對比之下，教材上的講解就相當(dāng)抽象，不利于學(xué)生理解，也不利于激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，在上課前，教師可以讓學(xué)生制作數(shù)學(xué)知識的模型，上課時，以實物作參照來講解知識，這樣學(xué)生就能借助“形”的直觀性來研究“數(shù)”的特征。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要部分，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時都覺得難度較大，在高考中所占比重也較大。在學(xué)習(xí)函數(shù)時，教師運用數(shù)形結(jié)合的思想進行教學(xué)，能有效地幫助學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)定理的相關(guān)內(nèi)容，清晰地分析函數(shù)的基本條件，從而讓學(xué)生明白解題的關(guān)鍵，增強其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。二次函數(shù)的抽象性很強，為此很多學(xué)生覺得疑惑不解，做題比較困難。采用圖象的方式題目就變得直觀易懂多了，二次函數(shù)圖象能將抽象的函數(shù)關(guān)系用比較直觀的圖象表達出來，有助于學(xué)生正確寫出函數(shù)中各點的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)的解析式。中學(xué)生不太能完全理解數(shù)形結(jié)合的思想，所以應(yīng)用起來也不夠熟練，大多數(shù)情況下，學(xué)生選擇用數(shù)形結(jié)合思想來解題，都是因為他們無法理解題目中的函數(shù)內(nèi)容，對于學(xué)生來說，用代數(shù)法來解決函數(shù)問題是他們的習(xí)慣。因此，在進行數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)時，要突出數(shù)形結(jié)合思想，運用函數(shù)直觀圖象幫助學(xué)生深入理解函數(shù)概念，強化學(xué)生轉(zhuǎn)換函數(shù)表達方式的能力。

（三）數(shù)形結(jié)合思想對學(xué)生積極性的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念、公式等知識都明顯地被寫在教材中，學(xué)生可以看得見，是為有形的，但是數(shù)學(xué)思想作為一種隱含在數(shù)學(xué)知識體系中的東西，是無形的，并且零散地分散在教材內(nèi)容當(dāng)中。所以，教師作為教學(xué)活動的主要執(zhí)行者，必須要更新教學(xué)理念，要從思想上認識到在數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要性，將掌握數(shù)學(xué)知識和滲透數(shù)學(xué)思想方法都作為教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計中突出數(shù)學(xué)思想方法。同時教師要認真鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透方式，在實際教學(xué)活動中展開實施。如此一來，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，受到教師潛移默化的影響，有助于學(xué)生明白數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并提高自主學(xué)習(xí)的意識，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想

（一）例題講解中，突出數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)知識的教學(xué)有兩個要點，即明線——數(shù)學(xué)知識以及暗線——數(shù)學(xué)思想方法。自新課改以來，數(shù)學(xué)教材中加入了很多探究活動和討論及思考的內(nèi)容，探究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新型學(xué)習(xí)成了時下教學(xué)的熱點話題，新教材更加注重學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。由此可以說明，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，因此，在講解例題時，教師應(yīng)該先讓學(xué)生自己尋找解決方法，學(xué)生答題時，教師應(yīng)該查看其解答情況。對于一頭霧水、無從下手的學(xué)生，教師應(yīng)該進行逐步引導(dǎo)，先讓其畫出圖象，再引導(dǎo)其根據(jù)圖象得出題目答案。同時教師應(yīng)該指出是數(shù)形結(jié)合的思想，讓題目難度降低，并要求學(xué)生掌握這種思想并熟練應(yīng)用。比如說方程和函數(shù)：x2+3x+2=0的解是二次函數(shù)y=x2+3x+2，y=0時函數(shù)與x軸的交點。在解這個題目時，首先學(xué)生會用代數(shù)法得出方程的解，然后就需要運用數(shù)形結(jié)合思想，畫出函數(shù)圖像，就能看出函數(shù)與x軸的交點，從而寫出交點坐標(biāo)。由此可得，數(shù)形結(jié)合思想不僅可以降低題目難度，還能提高解題的準確性。

（二）反復(fù)訓(xùn)練，不斷總結(jié)

學(xué)生數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的形成，必須經(jīng)過循序漸進和反復(fù)訓(xùn)練，如此一來，學(xué)生才能真正地理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想。在教學(xué)活動中，教師對數(shù)學(xué)思想的提煉和概括是十分重要的，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉知識要點和概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，同時要在恰當(dāng)?shù)臅r間做總結(jié)，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)思想的重要作用，這樣才能切實落實數(shù)學(xué)思想方法的滲透。例如，在章節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)束時，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生集體復(fù)習(xí)本章節(jié)所學(xué)數(shù)學(xué)知識，在復(fù)習(xí)的過程中師生共同把其中的數(shù)形結(jié)合思想方法概括出來，這樣學(xué)生獨立分析問題和解決問題的能力都能得到提升。比如在復(fù)習(xí)二次函數(shù)時，在師生共同復(fù)習(xí)知識點的過程中，教師要讓學(xué)生明確地認識到：函數(shù)解析式中每個參數(shù)的變化都會引起函數(shù)圖象的變化，同時圖象的位置也決定著每個參數(shù)的大小變化。通過這種復(fù)習(xí)方式，學(xué)生更加了解二次函數(shù)中隱含的數(shù)形結(jié)合思想，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，解決數(shù)學(xué)問題時也會變得更加靈活。

（三）重視數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的運用

中學(xué)數(shù)學(xué)不僅僅是讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)知識，更要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，鍛煉其數(shù)學(xué)思維。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和現(xiàn)代思維，這是素質(zhì)教育的根本要求。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法主要是數(shù)形結(jié)合，這有助于學(xué)生把數(shù)學(xué)抽象概念、理論和直觀的具體圖象相結(jié)合，達到具體思維和抽象思維的聯(lián)合。數(shù)形結(jié)合思想能夠引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進行全面具體的分析，既開拓了學(xué)生的視野，同時也讓他們學(xué)會從不同的層次和角度觀察和分析事物，進而學(xué)會分析問題和思考問題，從而培養(yǎng)其良好的思維模式。數(shù)形結(jié)合思想把抽象的數(shù)學(xué)概念、問題和邏輯與較直觀的數(shù)學(xué)圖象結(jié)合起來，從而統(tǒng)一了靜態(tài)思維與動態(tài)變化，使得學(xué)生能直觀地看到問題所在，同時又可以動態(tài)地觀察和分析深層次的問題，使其學(xué)會用變化、發(fā)展的眼光看問題。而且，數(shù)形結(jié)合思想對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和具體概括能力也有很大幫助，這對學(xué)生推斷能力的發(fā)展也有巨大的促進作用，有助于其更好地運用數(shù)學(xué)解決生產(chǎn)和生活中的實際問題，讓數(shù)學(xué)不再是課本上的知識，而是真正能指導(dǎo)實踐的知識體系。

四、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的原則及途徑

（一）等價原則

等價原則是指將具有代數(shù)性質(zhì)的“數(shù)”轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的具有幾何性質(zhì)的“形”，也就是說要解決的問題的形與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系具有一致性。方程或不等式問題經(jīng)常可以轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點位置關(guān)系的問題，然后借助函數(shù)圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題。

例如：方程x3=2sinx的跟實數(shù)個數(shù)為

A.3個 B.5個 C.7個 D.9個

錯解：作函數(shù)y= 與y=-2sinx的草圖。由于兩個函數(shù)都是奇函數(shù)，所以只需要作x>0或x=0的部分，又因為x>8時， >2≥2sinx。所以圖形只需取[0，3π]就行了。除原點外還有一個交點，再由奇偶性知有7個交點，故選C。

當(dāng)x= 時，（ ） = >2x>2sin 。由此可得，在（0，2π）內(nèi)還有一個交點，因此答案為D。

（二）坐標(biāo)法

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個轉(zhuǎn)折點就是建立坐標(biāo)系，從而使初等數(shù)學(xué)進入數(shù)形結(jié)合階段。坐標(biāo)系主要應(yīng)用在兩個方面，一是將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過得出代數(shù)結(jié)論從而得到幾何結(jié)論；二是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題，通過獲得幾何結(jié)論得到代數(shù)結(jié)論。

例如：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，則z=y+2x的最大值等于多少？

分析：首先根據(jù)題目條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，然后利用z的集合意義求最值，則只需要求出直線z=2x+y經(jīng)過可行域內(nèi)的點B時，從而得出z的最大值即可。

解：先根據(jù)題目條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，最大值是y軸上的截距的最大值，當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點B（1，2）時，z最大，最大值是4.

總之，由于幾何具有直觀性，所以數(shù)形結(jié)合思想是從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋找解決代數(shù)問題的方法。用形象直觀的圖像來幫助教學(xué)活動順利進行，把抽象問題變得直觀一些，使復(fù)雜問題變得簡單化，從而解決問題，這就是數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想有其深刻的科學(xué)內(nèi)涵，因此要求教育工作者將其作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種必不可少的工具，在日常的教學(xué)活動中合理地滲透數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸和坐標(biāo)系，同時結(jié)合教材內(nèi)容來引導(dǎo)學(xué)生解決問題，提升學(xué)生解決問題的能力。本文關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想做了簡要探討，首先就數(shù)形結(jié)合思想的含義作一闡述，進而對數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作一展示，接著提出如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，最后得出培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的原則和途徑。通過本文寫作，以期對數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展有一定的推動作用。

參考文獻：

[1]田萬海.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].杭州：浙江教育出版社，2002.

[2]李冬勝.數(shù)學(xué)思維方法[M].太原：山西人民出版社，2010.

編輯 溫雪蓮